朝阳区高考二模数学(理)试题及答案1.doc

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学测试题（理工类） 2011.5 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 注意事项： 1.答第一部分前，考生必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知全集U=R，集合A=x0<2x<1,B=xlog3x>0,则A(CU B)= (A)xx>1 (B)xx>0 (C)x0<x<1 (D)xx<0 （2）设x,yR那么“x>y>0”是“>1”的 （A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件 （3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8,则侧视图的面积为 （A）8 （B）4 （C）4 （D） （4）已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,则实数a的值为 (A)1 (B) (C)2 (D)4 （5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”。现从1,2,3, 4,5, 6 这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 （A）120个 （B）80个 （C）40个 （D）20个 （6）点P是抛物线y24x上一动点，则点P到点A（0,1）的距离与到直线x=1的距离和最小值是 （A） （B） （C）2 （D） （7）已知棱长为1的正方体ABCDA1 B1 C1 D1中，点E,F分别是棱BB1 ，DD1 上的动点，且BE=D1 F=（0）。设EF与AB所成的角为，与BC所成的角为，则+的最小值 （A）不存在 （B）等于60° （C）等于90° （D）等于120°（8）已知点P是ABC的中位线EF上任意一点，且EFBC，实数x,y满足+ x+y=0.设ABC,PBC,PCA,PAB的面积分别为S,S1 ,S2 ,S3 ,记=,=,=.则当·取最大值时，2x+y的值为 （A） （B） （C）1 （D）2 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。（9）已知复数z满足iz=1-i,则z=_. （10）曲线C：(为参数)的普通方程为 。 （11）曲线y=33x2 与x轴所围成的图形面积为 。 （12）已知数列an满足a1=2,且an+1an+ an+12an=0,nN* ,则a2= ;并归纳出数列an的 通项公式an 。 （13）如图，PA与圆O相切于点A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知BPA30°,PA 2,PC1,则PB= ；圆O的半径等于 。 （14）已知函数f（x）=ax2+(b+1)x+b1,且a（0,3），则对于任意的bR，函数F（x）= f（x） x总有两个不同的零点的概率是 。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题满分13分） 已知函数f（x）2sinx·sin（+x）2sin2x+1（xR）。 （I）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间； （II）若f()=,x0(-,),求cos2x0的值。 （16）（本小题满分13分） 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮 核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售。已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响。 （I）求该产品不能销售的概率； （II）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利80元）。已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E(X)。 （17）（本小题满分13分） 在长方形AA1 B1 B中，AB2AA1 =4,C,C1分别是AB，A1 B1的中点（如图1）。将此长方形沿CC1 对折，使二面角A1CC1B为直二面角，D,E分别是A1 B1，CC1的中点（如图2）。（I）求证：C1D平面A1BE；（II）求证：平面A1BE平面AA1 B1 B；（III）求直线B C1与平面A1BE所成角的正弦值。 （18）（本小题满分13分） 设函数f(x)=x+(xa)2 ,aR. （I）若a=0，求函数f(x)在1,e上的最小值； （II）若函数f(x)在，2上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围； （III）求函数f(x)的极值点。 （19）（本小题满分14分） 已知椭圆C：（ab0）经过点A（2,1），离心率为.过点B（3,0） 的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N. （I）求椭圆C的方程； （II）求·的取值范围； （III）设直线AM和直线AN的斜率分别为KAM和KAN,求证：KAM+KAN为定值。 （20）（本小题满分14分） 对于正整数a,b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r,0r<b.特别地，当r=0时，称b 能整除a,记作ba,已知A1,2,3,，23。 （I）存在qA,使得201191q+r（0r<91），试求q,r的值； （II）求证：不存在这样的函数f：A1,2,3，使得对任意的整数x1,x2A,若x1- x21,2,3,则f(x1 )f(x2)； （III）若BA，card(B)=12(card(B)指集合B中的元素的个数),且存在a,bB,b<a, ba,则称B为“和谐集”。求最大的mA，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由。 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学测试题答案 （理工类） 2011.5 一、选择题： 题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） 答案 D B C A C D C A 二、填空题： 题号（9） （10）（11） （12） （13）（14）答案-1i(x+1)2 +(y1)2=1 4 12 7 三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：f(x)2 sinx·cosx2sin2x+1 1分 sin2x+cos2x 2分 sin（2x+）3分 （I）函数f(x)的最小正周期T.5分 令2k2x+2k+(kZ), 6分 所以2k2x2k+, 即kxk+. 所以函数f(x) 的单调递增区间为k，k+(kZ). 8分 （II）解法一：由已知得f()=sin x0+cos x0=, 9分 两边平方，得1+ sin2 x0 所以sin2 x0 11分 因为x0(-,)，所以2 x0（-，）. 所以cos2 x0.13分 解法二：因为x0(-,)，所以x0+（0, ）. 9分 又因为f()sin（2·+） sin （x0+）， 得sin（x0+）. 10分 所以cos（x0+）. 11分 所以cos2 x0sin（2 x0+）sin2（x0+）2 sin（x0+）cos（x0+） 2··.13分 （16）（本小题满分13分） 解：（I）记“该产品不能销售”为事件A，则 P（A）1（1）×（1）. 所以，该产品不能销售的概率为. 4分 （II）由已知，可知X的取值为320，200, 80,40,160. 5分 P（X320）（）4，P（X200）·()3·， P（X80）·（）2·()2, P（X40）=··()3=, P（X160）=()4.10分 所以X的分布列为 X-320 -20080 40160 P 11分 E（X）=-320×-200×80×+40×+160×40 所以均值E（X）为40. 13分 （17）（本小题满分13分） 解法一： （I）证明：取A1 B的中点F，连接DF,EF. 因为D,F分别是A1 B1，A1 B的中点， 所以DF是A1 BB1的中位线。1分 所以DFBB1CC1，且DFBB1CC1。 又因为E是CC1的中点， 所以C1ECC1。 所以DFC1E，且DFC1E。 所以四边形C1EFD是平行四边形。 所以C1DEF。3分 又EF平面A1 BE，C1D平面A1 BE， 所以C1D平面A1 BE。4分 （II）证明：因为CC1A1C1，CC1B1C1且A1C1B1C1C1， 所以CC1平面A1C1B1。 因为BB1CC1，所以BB1平面A1C1B1。 因为C1D平面A1C1B1，所以BB1C1D。 又A1C1C1B1，且D是A1 B1的中点，所以C1DA1 B1。 因为A1 B1BB1B1，所以C1D平面AA1 B1 B。6分 由（I）知EFC1D。 所以EF平面AA1 B1 B。7分 又因EF平面A1 BE， 所以平面A1 BE平面AA1 B1 B。8分 （III）解：由已知，将长方形AA1 B1 B沿CC1对折后，二面角A1CC1B为直二面角， 因为在长方形AA1 B1 B中，C,C1分别是AB，A1 B1的中点， 所以CC1BC，CC1AC。所以ACB是二面角A1CC1B的平面角。 所以ACB90°.所以BCAC. 又BCCC1，ACCC1C， 所以BC平面AA1CC1，即BC平面A1EC1. 10分 所以·BC. 其中A1C1·C1E·2·1, A1B·EF··. 设点C1到平面A1EB的距离为h， 所以·h·h，即h.12分 设直线BC1与平面A1BE所成角为， 所以sin. 所以直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值为.13分 解法二： （I）证明：由已知，将长方形AA1 B1 B沿CC1对折后，二面角A1CC1B为直二面角，因为在长 方形AA1 B1 B中，C,C1分别是AB，A1 B1的中点， 所以CC1BC，CC1AC。所以ACB是二面角A1CC1B的平面角。 所以ACB90°.所以BCAC. 所以CA，CB，CC1两两垂直. 2分 以点C为原点，分别以CA，CB，CC1为x,y,z轴，建立空间直角坐标系. 3分 因为AB2AA14,且D,E分别是A1 B1，CC1的中点， 所以C1（0,0,2），D（1,1,2），A1（2,0,2）,B（0,2,0），E（0,0,1）. 4分 所以（1,1,0）,（-2,2,-2），（0,-2,1）. 设平面A1 BE的法向量为n=（x,y,z）, 所以所以 令y=1,则z2,x=-1. 所以n（-1,1,2）. 5分 又因为·n（1,1,0）·（-1,1,2）0. 所以n. 又因为C1D平面A1 BE， 所以C1D平面A1 BE. 6分 （II）证明：由（I）知 A（2,0,0），A1（2,0,2），B（0,2,0），（0,0,2），（-2,2,0）. 设平面AA1 B1 B的法向量为m（x,y,z）, 所以所以 令y1,则x1,z0,所以m（1,1,0）. 7分 由（I）知，平面A1 BE的法向量为n（-1,1,2）. 所以m·n（1,1,0）·（-1,1,2）0. 所以mn.所以平面A1 BE平面AA1 B1 B。9分 （III）解：由（I）知，B（0,2,0），C1（0,0,2）.所以（0,-2,2）. 又由（I）知，平面A1 BE的法向量为n（-1,1,2）. 设直线BC1与平面A1BE所成角为， sincosn, .12分 所以直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值为.13分 （18）（本小题满分13分） 解：（I）f(x)的定义域为（0,+）. 1分 因为f(x)+2x>0,所以f(x)在1,e上是增函数， 当x1时，f(x)取得最小值f(1)1. 所以f(x)在1,e上的最小值为1. 3分 （II）解法一：f(x)+2（xa） 设g（x）2x2-2ax+1, 4分 依题意，在区间，2上存在子区间使得不等式g（x）0成立. 5分 注意到抛物线g（x）2x2-2ax+1开口向上，所以只要g（2）0，或g（）0即可 6分 由g（2）0，即8-4a+10,得a， 由g（）0，即-a+10,得a, 所以a， 所以实数a的取值范围是（-，）. 8分 解法二：f(x)+2（xa），4分 依题意得，在区间，2上存在子区间使得不等式2x2-2ax+10成立. 又因为x0,所以2a（2x+）. 5分 设g（x）2x+，所以2a小于函数g（x）在区间，2的最大值. 又因为g（x）=2-， 由g（x）=2-0解得x>； 由g（x）=2-0解得0x. 所以函数g（x）在区间（，2）上递增，在区间（，）上递减. 所以函数g（x）在x，或x2处取得最大值. 又g（2），g（）3,所以2a，a 所以实数a的取值范围是（-，）. 8分 （III）因为f(x) ，令h(x)2x2-2ax+1 显然，当a0时，在（0,+ ）上h(x) 0恒成立f(x) 0，此时，函数f(x)没有极 值点；9分 当a0时， （i）当0，即0a时，在（0,+ ）上h(x)0恒成立，这时f(x) 0，此 时，函数f(x)没有极值点；10分 （ii）当0时，即a时， 易知，当x时，h(x) 0,这时f(x) 0； 当0x或x时，h(x) 0,这时f(x) 0； 所以，当a时，x是函数f(x)的极大值；x是函数f(x)的极小值点. 12分 综上，当a时，函数f(x)没有极值点； 当a时，x是函数f(x)的极大值点；x是函数f(x)的极小值点. 13分 （19）（本小题满分14分） 解：（I）由题意得解得a，b. 故椭圆C的方程为.4分 （II）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k(x-3), 由得（1+2k2）x212k2x+18k26=0. 5分 因为直线l与椭圆C交于不同的两点M,N, 所以144k44（1+2k2）（18k26）24（1k2）0.解得-1k1. 6分 设M,N的坐标分别为（x1 ,y1）,（x2 ,y2）, 则x1+x2，x1x2，y1k（x13）, y2k（x23）. 7分 所以·（x13）（x23）+ y1y2 8分 （1+k2）x1x23（x1+ x2）+9 +.9分 因为-1k1，所以2+3. 故·的取值范围为（2,3. 10分 （III）由（II）得KAM+KAN 11分 -2. 所以KAM+KAN为定值-2. 14分 （20）（本小题满分14分） （I）解：因为201191×22+9,所以q22,r9. 2分 （II）证明：假设存在这样的函数f：A1,2,3，使得对任意的整数x,y,若，则f(x)f(y). 设f(1)a，a1,2,3，f(2)b，b1,2,3，由已知ab. 由于，所以f(3)f(1), f(3)f(2). 不妨令f(3)c，c1,2,3，这里ca,且cb, 同理，f(4)b，且f(4)c， 因为1,2,3只有三个元素，所以f(4)a. 即f(1)f(4)，但是3,与已知矛盾. 因此假设不成立，即不存在这样的函数f：A1,2,3，使得对任意的整数x,y,若 ，则f(x)f(y). 8分 （III）当m8时，记M7+ii=1,2,16,N=2(7+i)i=1,2,3,4,记P,则card(P)=12,显然对任意1ij16,不存在n3,使得7+jn(7+i)成立.故P是非“和谐集”此时P8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23.同理，当m9,10,11,12时，存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”. 因此m7. 10分 下面证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”. 设Ba1,a2,a11,7. 若1,14,21中之一为集合B的元素，显然为“和谐集”. 现考虑1,14,21都不属于集合B，构造集合B12,4,8,16，B23,6,12，B35,10,20，B49,18，B511,22，B13,15,17,19,23. 以上B1B2B3B4B5每个集合中的元素都是倍数关系.考虑BB的情况，也即B中5个元素全都是B的元素，B中剩下6个元素必须从B1B2B3B4B5这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系. 综上所述，含7的含意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7. 14分