高中数学论文：以不变应万变.doc

高中数学论文 发挥教材功能，以不变应万变摘要 随着近几年高考改革的不断深入，新教材，新内容对高考带来很大的冲击，在高考中所占的比重也越来越大，高考对学生能力方面也提出新的要求，但传统的知识在高考中仍然占有一定的地位。如何在短短的两个多月时间里，科学安排复习，提高复习效率，这是摆在我们高三教师面前的一个难题。因而我们在备考07年高考时，要发挥教材功能，以不变应万变。关键词 解析几何、 教材功能、典型例题2007年台州市高三年级第一次调考已尘埃落定。一模考试历年来作为各校对高考复习的一次检测考试，具有很强的指导性和反思性。随着近几年高考改革的不断深入，新教材所带来的高考内容的变化，高考对学生创新精神和实践能力也都提出新的要求，但传统的“三基”在高考中仍然占有一定的地位。因而我们在备考07年高考时，在不断强调“变”的同时，也要狠抓基础，以不变应万变才是一种很好的备考策略之一，深入题海，走出书海是我们的基本思路。从本次考试的情况来看，学生对解析几何大题掌握不好，得分率不高，其实该题是一道源于教材的例题，这就为我们如何发挥教材功能，进一步提高学生的解题能力敲了一次很好的警钟。 一模20题原题如下：已知P（0，4），Q（0，-4），过点P的直线交抛物线于A、B两点.(1)求证:AQP=BQP;(2)是否存在平行于x轴的定直线,使得被以AP为直径的圆所截得的弦长为定值?如果存在,求出的方程;如果不存在,APBQO试说明理由.无独有偶，07年舟山地区模拟卷中也出现相同题目：已知直线P过定点P（4，0）交抛物线y2=2mx（m>0）于A、B两点，坐标原点O为PQ中点.（1）求证AQP=BQP（2）若m=2，试判断是否存在垂直于X轴的直线L被以AP为直径的圆所截得的弦长为定值？解法如下：（1）设直线L方程为y=k(x-4)（若k不存在，结论显然成立）把x=+4代入抛物线方程，y2=2m(+4)y2y-8m=0 设A（x1, y1) B(x2,y2)所以 y1 +y2=, y1y2=-8m, 即y1=又tanAQP=,tanBQP=，tanAQP=BQP因为AQP、BQP都为锐角 所以AQP=BQP（2）AP为直径的圆方程为即x2-（x1+4）x+ y2-y1y-4x1=0 (1)不妨设L1方程为x=a代入（1）得y2-y1y+a2-a(x1+4)+4 x 1=0 （2）则L1被圆截得的弦长S=|y1-y2|=( y1、y2为方程（2）两根)= （3）要使（3）与X1无关，显然a=3,这时S=2即存在直线x=3，使得被以AP为直径的圆截得的弦长恒为2该题难度并不大，但学生的得分却不高，而上述两题却都能在教材中找到痕迹。教材（实验修订本高二（上）119页的习题为：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和抛物线相交两个交点的纵标为y1、y2，求证：y1y2=P2（*）这是一道有关焦点弦问题的典型习题。显然以上两题都源自此题，并且各自在设问上作了很好的改变，与目前高考讲究探究性精神相吻合，在解题方法上，则沿用解析几何最常用的方法代数法。可以说出题者匠心独运，都是很值得研究的好题。鉴于此，下面谈几点如何发挥教材功能，以提高学生解题能力的粗浅看法。1、 重视教材习题结论的应用现在教材中的习题和复习参考题，许多题目源自老教材中的一些定理，重视挖掘这些题目在解题中作用，将有效地提升学生的解题能力，使学生不仅看到树木，更看到森林。因此，老师要深入研究教材的意图，沉入题海，使自己成为解题专家，并能逐步提炼出解题的思维方法，从而为学生提供更好的示范和指导。例1，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q求证： + 的定值解：设P（x1,y1）Q(x2,y2)，PQ过焦点F由（*）y1y2= P2， x1= ，x2 =所以x1 x2=，由抛物线定义可知PF= x1+ QF= x2+ + =+=为定值例2：直线L过抛物线y2=2px(P>0)的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两个点A、B直线L是否能垂直平分线段AB？试证明你的结论解：若直线LX轴，显然这样的A、B两点不存在若直线L与X轴不垂直，不妨设L方程为y=k(x-) ,A(x1,y1) B(x2,y2)由（*）已知y1、y2= -P2欲使L垂直平分AB则KAB= 即y1+y2=-2pkAB中点M（ xM= yM= 若yM=k(xM,则有=,即显然不合,所以这样的点不存在。例3：过抛物线x2=4ay(a>0)焦点F作直线交抛物线于A、B两点设AOB（O为原点）的面积为S，试判断S2：|AB|的值是否与直线斜率有关?解:由已知F(0,a)A(x1,y1) B(x2，y2) AB方程为y=kx+a代入抛物线方程x2=4a(kx+a)得 x2-4akx-4a2=0 所以x1+x2=4ak,x1x2=-4a2 所以|AB|= =4a(1+k2)O到直线AB距离为：d=S2=|AB|2·d2=· 16 a 2 (1+k2)2·=4a4(1+k2)S2: |AB|=4 a4(1+k2) ：4 a(1+k2)= a3与直线斜率无关。2、注意教材习题解答过程所蕴含的数学思想方法受之以鱼，不如授之以渔。对教材中的典型习题，不只是引导学生简单地记住结论，更重要的是深入分析和体会解题过程中所体现出来的学科思想方法，并将它提炼成为解决其他问题的锐利武器，从而达到举一反三，事半功倍作用。解题能力的迁移正是典型习题的重要功效之一。例4：在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由ABxyNCO解：（）依题意，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去得NOACByx由韦达定理得，于是，当时，（）假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，NOACByxl则，点的坐标为，令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线例5：如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:；（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.解：（）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 设A、B两点的坐标分别是 、x2是方程的两根.，所以 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，m），从而. 所以 （）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（4，4）.由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为 设圆C的方程是则解之得 所以圆C的方程是 即 3、改进教材习题的条件和结论，引导学生主动探究深入研究教材习题的条件与结论的关系，往往可挖掘一系列问题，教材习题也正是处于这一系列问题链的核心，它既揭示问题的本质，同时从横向（条件）与纵向（结论）上留有很大的空间，从而为学生的探究提供更多的机会，使我们的复习既深入题海，又能走出题海。 以（*）为例，直线不是经过焦点，而是x轴上某一定点，结论又会如何？又将条件与结论对换（研究逆命题），命题是否依然成立。 例6：过x轴上一定点（m,0），作直线与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A、B，若A（x1、y1）B(x2、y2)那么y1、y2是否为定值？例7：直线L与抛物线y2=2Px(P>0)交于两点A、B，若A（x1、y1），B（x2、y2），若y1、y2=-P2，那么直线L是否经过一定点？若x1x2=-p2又如何？以上两个问题解答并不难，不再一一给出答案。4、加强多题一解与一题多解的研究，使学生的知识结构形成网络化。随着考试改革的不断深化，推进素质教育已得到社会各界人士的广泛支持，大量重复练习，让学生成为解题机器已越来越不适应社会发展需要。高考数学改革的方向之一就是朝“不要复习也能考，老办法复习考不好”（国家考试中心语）而努力。对于备考工作，一定的练习量是必需的，但如果一味依靠习题数量而没有发展内含，有时可能还适得其反。以上谈到的抛物线的焦点弦的一些问题链，其思想方法完全可以推广到其它圆锥曲线，焦点弦问题起到举一反三作用，殊途道同，达到多题一解的效果。同时，还可不断地将问题引向深入，使学生的解题能力达到质的提升。 例8：直线L经过抛物线y2=2px焦点，与抛物线交于A、B，过B作抛物线准线的垂线，垂足为B1，问A、O、B1三点是否共线？ 例9：抛物线y2=2px上一点A，连AO交抛物线准线于B，过B作x轴平行线交抛物线于C，问AC是否经过定点？学无止境，教学是一门遗憾艺术，解题也是如此。只有教师不断地深入教材，深刻把握教材的内在联系，通过解题能力的不断提高，才能提高学生应对千变万化的数学题，为适应当前高考改革，提高教学质量走出一片新天地。 参考文献1、解析几何专题讲座 朱恒元 2006.102、高三数学第二轮专题复习策略 杨炼 2006.33、高中数学课堂教学模式的探索 许学文 2006.24、教材典型性例题的功能 王叶锋 2006.10