高中数学第三讲 充分条件和必要条件练习北师大版选修21 【精编】 .doc

第三讲 充分条件和必要条件一、考试说明理解必要条件、充分条件的意义，会分析四种命题的相互关系二、基础知识建构1、“若p则q”是真命题，即pÞq；“若p则q”为假命题，即pøq.2、(1)若 ，则p是q的充分不必要条件.(2)若pø q, 但pÜq,则p是q的 .(3)若 ,则p是q的充分条件，也是必要条件,也是充要条件(一般要回答是充要条件)(4)若 ,则p是q的既不充分也不必要条件.3、证明p是q的充要条件,分两步：证明：充分性,把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.必要性,把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推理论证得出p.所以,p是q的充要条件.4、充分条件、必要条件常用判断法(1)定义法：判断B是A的什么条件，实际上就是判断BÞA或AÞB是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断；(2)转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题的逆否命题进行判断；(3)集合法：在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B、，则：若AÍB,则p是q的充分条件；若AÜB,则p是q的充分非必要条件；若AÊB,则p是q的必要条件；若AÝB,则p是q的必要非充分条件；若A=B,则p是q的充要条件若AåB,且AæB,则p是q的非充分又非必要条件.5、当pÞq时,称条件p是条件q的充分条件，意指为使q成立,具备条件p就足够了，“充分”即“足够”的意思,当pÜq时,也称条件p是条件q的必要条件，因为qÞp等价于非pÞ非q,即若不具备q,则p必不成立,所以要使p成立必须具备q .“必要”即“必须具备”的意思.“若p则q”形式的命题，其条件p与结论q之间的逻辑关系有四种可能：(1)pÞq但qÞp不一定成立：这时,p是q的充分而不必要条件；(2)qÞp但pÞq不一定成立：这时,称p是q的必要而不充分条件；(3)pÞq且qÞp：这时,称p是q的充分且必要条件；(4)pÞq不一定成立且qÞp不一定成立：这时,称p是q的既不充分也不必要条件.6、由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断7、一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。三、高考怎么考（精选）1、（09浙江 2）已知是实数，则“且”是“且”的 ( C )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】对于“且”可以推出“且”，反之也是成立的2、（09山东 5）已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( B )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.3、（09安徽 4）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是高.考.资.源.网( A （A）p:b+d , q:b且cd 高.考.资.源.网（B）p:a1,b>1 q:的图像不过第二象限高.考.资.源.网（C）p: x=1, q:高.考.资.源.网（D）p:a1, q: 在上为增函数高.考.资.源.网解析：由b且cdb+d，而由b+d b且cd，可举反例。选A4、（09四川 6）已知为实数，且。则“”是“”的 BA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C充要条件 D. 既不充分也不必要条件【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）解析：推不出；但，故选择B。解析2：令，则；由可得，因为，则，所以。故“”是“”的必要而不充分条件。5、（09湖北 7）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是 ( A )A. B. C. D. 【解析】易得准线方程是 所以 即所以方程是联立可得由可解得A6、（08安徽 7）是方程至少有一个负数根的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：当，得a<1时方程有根。a<0时，方程有负根，又a=1时，方程根为，所以选B7、（08湖南 2）“成立”是“成立”的( B )A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】由得，由得，所以易知选B.8、（07山东 9）下列各小题中，是的充要条件的是（ D ）：或；：有两个不同的零点；是偶函数；ABCD9、（07天津 3）“”是“”的（A）充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件10、（07湖北 6）若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ B ）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件11、（07上海 10）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种 已知是两个相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是直线用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件： (，并且与相交（，并且与相交）)四、分析预测对策1、分析：本部分考查的重点仍是充要条件等基本知识点，但在试题中常与函数、三角、不等式、立几、解几等结合，以选择题、填空题为主2、预测：从考试说明来看，要求是“理解”，则在今后的高考中仍会作为热点进行出题3、对策：针对本知识点的试题分清条件及结论，然后再推理和判断正面判断较难时，可以转化为该问题的逆否命题进行判断K1K3K2BAK4K1五、经典例题K3K2BAK4K3K2BAK4K3K2BAK4K3K2BAK4K3K2BAK4K3K2BAK4K3K2BAK4K3K2BAK4K3K2BAK4K3K2BAK4（一）充分条件、必要条件的判定和求解1、设计电路如图所示，关于K1,K2,K3,K4，灯A,灯B,灯C回答下列问题.(1)灯B亮是灯A亮的什么条件？灯B亮是灯C亮的什么条件？C(2)写出一个灯A亮的充分条件(关于K1,K2,K3,K4)；(3)写出一个灯B亮的必要条件(关于K1,K2,K3,K4)；(4)写出灯C亮的充要条件(关于K1,K2,K3,K4).略解：（1）灯B亮是灯A亮的必要不充分条件，灯B亮是灯C亮的既不充分也不必要条件。 （2）灯A亮的充分条件：K1,K2同时合上（答案不唯一） （3）灯B亮的必要条件：K2合上（答案不唯一） （4）灯C亮的充要条件：K1,K3合上或K1,K4合上针对练习：(1)设函数¦(x)=|x3x|,则¦(x)在区间(m,m+)（m>0）上不是单调函数的充要条件是( B ) A.0<m< B.0<m<1 C.<m<1 D.m>1 (2)若条件p：|4x3|1,q：x2(2a+1)x+a2+a0,若Øp是Øq的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 .0,（二）充要条件的证明2、设集合U=(x,y)|xR,yR,A=(x,y)|2xy+m>0,B=(x,y)|x+yn0,C=(x,y)|x2+y2=1,求证：“集合CÍA(ðUB)”的充要条件是“m>且n<”(1)“充分性”：任取(a,b)C,令a=cosq,b=sinq, m>且n< , 又2cosqsinq+m>·sin(q+j)+0, (a,b)A cosq+sinqn>sin(q+)+0, (a,b)ðUB ,(a,b)A(ðUB)由于(a,b)的任意性,所以集合CÍA(ðUB),(2)“必要性”： 任取(a,b)C, 令a=cosq,b=sinq, CÍA(ðUB), (a,b)A, 2cosqsinq+m>0对任意q的恒成立, m>(2cosq+sinq)max=,同理(a,b)ðUB, cosq+sinqn>0对任意q的恒成立,n<( cosq+sinq)min=, m>且n<反思：充要条件的证明需分充分性和必要性两步进行，具体解题时往往需要结合不等式三角等其他知识.六、知识、规律、方法小结1、判断充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件，最根本的方法是根据定义，运用“Þ”号：若pÞq且p÷q,则p是q的充分非必要条件；若pøq且pÜq,则p是q的必要非充分条件；若pq,则p是q的充分必要条件.2、处理充分、必要条件问题时，首先要分清楚条件与结论，然后才能进行推理和判断.3、判断命题的充要关系有三种方法(1)定义法：直接判断若p则q,若q则p的真假.(2)等价法：即利用AÞB与ØBÞØA；BÞA与ØAÞØB；AB与ØBØA的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：若AÍB,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B,则A是B的充要条件.4、确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例方法来说明5、解决充要条件的问题,首先要明确命题中谁是条件，谁是结论，其次看清题目要求是解决一个方面呢还是充分必要两个方面，如证明p是q的充分不必要条件，则除了证明pÞq,还要举反例说明q推不出p,解决充要条件问题常见的方法有：定义法：集合法,一般地，设集合A=(x|x满足条件P),B=x|x满足条件q,若AÍB,则p是q的充分条件,若AÊB,则p是q的必要条件；等价转化法,例如：ØqÞØp等价于pÞq,即p是q的充分条件；传递法,即p1Þp2ÞÞpn,则p1是pn的充分条件,条件的必要性同样也有传递性.七、从基础到能力 A组（基础过关）1、“m=”是“直线y=x+m与圆x2+y2=1相切”的( A )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既充分也不必要条件2、已知甲：()x,21x,成等比数列；乙：lgx,lg(x+1),lg(x+3)成等差数列，则甲是乙的 条件.(必要不充分)3、已知曲线C：x2+y2+Gx+Ey+F=0(G2+E24F>0),求曲线C在x轴上所截的线段的长度为1的充要条件.证：必要性：令y=0,则x2+Gx+F=0,设x1,x2为此方程的根,若|x1x2|= =1则G24F=1充分性：若G24F=1>0, x2+Gx+F=0,有二根x1,x2, 且x1+x2=G，x1·x2=F|x1x2|2=|x1+x2|24 x1·x2= G24F=14、在空间中,“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( B )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5、已知a,b,c均为实数,则“b24ac0”是“关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0解集为Æ”的( B )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6、平面a平面b的一个充分条件是( D )A.存在一条直线m,ma,mb B.存在一条直线m,mÌa,mbC.存在两条平行直线m,n, mÌa,nÌb,mÌa,mb,naD.存在两条异面直线m,n,mÌa,nÌb,mÌa,mb,na7、已知条件p：x23x+2>0, 条件q：x>a,且Øp是Øq的充分不必要条件，则a的取值范围为( A ) A.a2 B.a>2 C.a2 D.a18、在ABC中,角A,B所对的边长为a,b，则“a=b”是“acosA=bcosB”的( A )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件注：a=bÞA=BÞ acosA=bcosB 反之：acosA=bcosBÞsinAcosA=sinBcosB sin2A=sin2B 2A=2B或2A+2B=， 选A9、若x,yR,则“x>1或y>2”是“x+y>3”的( B )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件注意：看其逆否：x+y3是 的什么条件.B组（提高创新）1、已知：集合G=(x,y)|,集合H=(x,y)|(x3)2+|y4|=0,则“HÍG”必要不充分条件是( B ) A.u7 B.u7 C.u D.u2、已知空间任一点O和不共线的三点A,B,C,满足=x+y+z(x,y,zR),则“x+y+z=1”是“点P位于平面ABC内”的( C )A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3、若不等式|x1|<a成立的充分条件是0<x<4, 则a的取值范围是 .a34、已知真命题“若ab,则c>d”和“若a<b,则ef ”,则“cd”是“ef ”的 条件.(充分)5、关于x的方程lg(xa)=2(lgxlg3)至少有一个实数根的充要条件是 .a6、已知数列an和bn满足bn= (nN*) ,求证: an是等差数列的充要条件是bn是等差数列证明：必要性：设an成等差数列 ，公差为d，则bn= = =a1+(n1)d从而bn+1bn= a1+n·da1(n1)d= d为常数,故bn是等差数列,公差为d.充分性：设bn是等差数列,公差为d , 则bn=b1+(n1)d .bn(1+2+n)=a1+2a2+nan (1)bn-1(1+2+n1)=a1+2a2+(n1)an (2)(1)(2)得： nan= bnbn-1 (n2),an=b1+(n1)d b1+(n2)d= b1+(n1)d , 又a1也符合, an= b1+(n1)d ,从而得an+1an=d 为常数故an是等差数列综上所述，数列an是等差数列的充要条件是bn也是等差数列7、已知关于x的方程(1a)x2+(a+2)x4=0，aR. 求 (1)方程有两个正根的充要条件；(2)方程至少有一个正根的充要条件.略解：（1） Þ 1<a2或a10(2)a=1时求得x= 方程有一正根一负根 a<1有两个正根1<a2 ,或a10综上，所求充要条件是a2或a108、若a, bR,则使|a|+|b|>1成立的一个充分不必要条件是 ( B )A.|a+b|1 B.a2+b2>1 C.a<1或b<1 D.a1且b19、a、b为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件：aa，bÌb；aa，bb ；aa，bb；aa，bb且a与a的距离等于b与b的距离.其中是ab的充分条件的有 ( C )A. B. C. D.10、函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是 ( D )A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a2+b2=0 注:f(x)为奇函数，则f(0)=b=0 ,f(x)+f(x)0, 求得a=0, a=b=0 ,故选D11、已知O为平面内一定点，设条件p：动点p满足=+l(+)，lR；条件q：点P的轨迹通过ABC的重心，则条件p是条件q的( B )A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 =l(+)ÞP的轨迹通过ABC的重心，而qøp, p是q的充分不必要条件，故选B。12、a、b、c(0，+)且表示线段长度，则a、b、c能构成锐角三角形的充要条件是 ( D ) A.a2+b2<c2 B. |a2b2|<c2 C.|ab|<c<|a+b| D. |a2b2|<c2< a2+b2 略解：由a2+b2<c2得cosC<0,C为锐角 , A错由|a2b2|<c2得 c2<a2b2<c2 可得A为锐角 , C无法判断.由|ab|<c<|a+b|øa、b、c构成锐角由c2< a2+b2 C为锐角 c2>a2b2 A为锐角c2< a2b2 B为锐角 故选D13、设命题p：|4x3|1；命题q:x2(2a+1)x+a(a+1)0.若Øp是Øq的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 0a