高中数学教学论文：浅议高中数学解题程序.doc

浅议高中数学解题程序摘 要：数学解题对于掌握高中数学至关重要，而有效的解题思路是解题成功的关键。本文主要从怎样解题入手，结合具体例题，为大家提供了一种解题的套路。关键词：数学、解题、有效、程序 现在很多高三学生，拿到一道数学题，尤其是综合性较强的解答题，往往感觉束手无策，找不到正确、有效的思路，以致数学成绩很难提高。从高中数学学科的教育与学习来看,也就是从掌握高中数学来看,著名的美国数学家和教育家G.玻利亚指出:“掌握高中数学意味着什么?这就是说善于解题,不仅善于解一些标准的题,而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发现创造的题。”所谓解题程序，是指一个完整的解题过程中应遵循的基本步骤。大体上说，可以把解题的一般程序分为以下几个步骤：第一步 仔细审题，理解题意。即明确已知与目标，发掘题设内涵；第二步 思索解法，拟定计划。即探求解题途径，设计解题方案；第三步 实现计划，叙述解法。即进行推理计算，合理清晰表达；第四步 回顾检查，讨论提高。即查缺补漏反思，总结解题经验。遵循这一程序，可以减少解题的盲目性，预防因审题不周而解法不当；预防因漫无计划而瞎碰乱撞；预防因讨论不全而草率作结。为搞清楚解题的四个主要步骤，我们不妨从教育学角度和剖析解题过程的心理活动所作出的一张“怎样解题”表先作一番流览。 “怎样解题”表 弄清问题 （1） 未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？（2） 画一张图。引入适当的符号。（3） 把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？拟定计划（1） 你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？（2） 你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？（3） 看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。（4） 这里有一个与你现在的问题有关，且已解决的问题。（5） 你能否利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？（6） 你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？（7） 回到定义去。（8） 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？（9） 你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？ 实现计划（1） 实现你的求解计划，检验每一步骤。（2） 你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？ 回 顾（1）你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能看出它来？（2）你能不能把这结果或方法用于其它的问题？我们试按解题表来认识下题的解题程序。例： 在ABC中，A，B，C所对的边分别是abc,且c=10,P为ABC内切圆上的动点，求点P到顶点ABC的距离的平方和的最大值与最小值第一步 理解题意 本题的条件是（i）c=10;(ii) ;(iii) P为ABC内切圆上的动点,（显然，条件(ii)实质上包含二个等式）所求的结论是要求出点P到顶点ABC的距离的平方和的最大值与最小值。综观之，这是一道关于图形的最值问题。第二步 拟定计划设想以前未曾遇到过这个问题，但曾见过也解过与它密切相关的两类问题： 第一，已知三角形中某些边角之间的数量关系，要求判断这三角形的形状或解出它。第二，在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距离的和或平方的最值。于是原问题可分裂为两个较为简单的问题： abc为ABC的三边，且c=10, ，试确定ABC的形状及其大小。 在确定的ABC的内切圆上有一动点P，试求PA+PB+PC的最大值与最小值。对第小题，ABC已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来，对第小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出。至此，一个比较完整的解题计划可以说是已经拟定了。第三步 实现计划由，用正弦定理作代换，得，即sinA·cosA=sinB·cosB可得sin2A=sin2B.,知AB，且AB是三角形内角，2A=-2B，即A+B=ABC是直角三角形。再由c=10, 及a+b=c可得a=6,b=8.如图11建立直角坐标系，使ABC的三个顶点为A（8，0）B(0, 6)，C（0，0）在tABC中，有a+b=c+2r 得r=2, 内切圆的圆心O（2，2），方程为（x2）+(y2)=4.设圆上的任一点为P（x,y）,则有S=+ =(x8)yx(y6)xy =3(x2)(y2)4x76 =884x因P是内切圆上的点,故0x4,于是当x=4时,有S=72,当x=0时,有S=88.第四步 回顾讨论 对上面解题过程的运算检验无误后可考虑：x=0时，P点运动到BC边上的切点M，此时得所求平方和最大值为88；当x=4时，P点运动到过M的直径的另一端点N，此时的所求平方和最小值为72. 此外，能否用别的方法来导出结果呢？对第1小题也可一开始用余弦定理作代换，对第2小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点P也可以利用参数式表示，于是有好几种解法。（略） 本题虽然是一道不复杂的综合题，但善于解题的人也会从中获得一些有益的经验，例如：()如果本题前部分不用正弦或余弦定理作代换，后半部分不使用解析法，虽仍能设法确定三角形并推导出目标函数，但解题过程的繁复程度会明显上升。这说明，对于同样的题设条件，选用不同的解题方法其繁简程度是有显著区别的。()从上题的解答中，我们可以认识到图形中的最值常在动点位于某些特殊位置时产生。()使我们看到：注意数形结合，使计算大为简化，并且更能揭露问题的实质。 波利亚把数学问题的求解程序分为四个步骤；把“怎么解题”中的问题与建议分成了四组。这每一步骤都有其重要性。可能会有这样的情况：一个解题者想出了一个异常好的念头，于是跳过所有的预备步骤，答案就脱口而出了，如此幸运的念头当然是求之不得的，但是也可能发生很不如愿和很不走运的事，通过上述四个步骤中的任何一个步骤都没有想出好念头。还有更糟糕的是并没有理解问题就进行推演或作图。一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的。我们在实行其计划的过程中检查每一步，就可以避免许多错误。如果不去重新检查，考虑已完成的解答，则可能失去最好效果。 上面这张“怎样解题”表对规范解题者的解题程序以及寻求数学问题的解决有着极大的帮助。用好这张表，首先要了解这张表，学习怎样正确地运用这些问题与建议，并通过试验尝试，通过应用来学习、掌握这张表；其次，决不可生搬硬套地运用它们，不应当按照某种刻板的习惯，不加选择地提出问题和建议。要准备各式各样的问题和建议并作出判断，根据具体情况找出特殊的建议。例如，如果我们的问题属于求证题，提问方式就必须适当改变。 前提是什么？结论是什么？ 把前提的各部分分开。 找出前提与结论间的联系。 看着结论！试想出一个相同或相似结论熟悉定理。 仅仅保持前的一部分，舍去其余部分；这结论是否仍有效？你能不能从前提导出某些有用的东西？你能不能想出容易导出此结论的其它前提？如果需要的话，你能不能改变前提，或改变结论，或者二者都改变，使得新前提和新结论彼此更接近？ 你是否利用了整个前提？ 如此等等，提出顺乎自然而又趣味盎然的问题和建议是灵活运用这张表，遵循解题程序所必不可少的。参考文献：1G.玻利亚著，阎育苏译，怎样解题，科学出版社，19822刘云章，赵雄辉，数学解题思维策略，湖南教育出版社，19923卢正勇，数学解题思路 ，福建教育出版社，1987