任意角三角函数1（教学设计）.docx

任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数(1)(教学设计)一、教学目标：一、知识与技术（1）把握任意角的正弦、余弦、正切的概念（包括这三种三角函数的概念域和函数值在各象限的符号）；（2）明白得任意角的三角函数不同的概念方式二、进程与方式初中学过:锐角三角函数确实是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把那个概念推行到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终取得任意角三角函数的概念.3、情态与价值任意角的三角函数能够有不同的概念方式，而且各类概念都有自己的特点.过去适应于用角的终边上点的坐标的“比值”来概念，这种概念方式能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推行，有利于引导学生从自己已有认知基础动身学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有必然的不利阻碍，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一样函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能取得，这与函数值是一个确信的实数也有不同，这些都会阻碍学生对三角函数概念的明白得.本节利用单位圆上点的坐标概念任意角的正弦函数、余弦函数.那个概念清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的概念（包括这三种三角函数的概念域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的概念（包括这三种三角函数的概念域和函数值在各象限的符号）.三、学法任意角的三角函数能够有不同的概念方式，本节利用单位圆上点的坐标概念任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.四、教学假想 y P（a，b） r O M【创设情境】提问：锐角的正弦、余弦、正切如何表示？借助右图直角三角形，温习回忆.对边邻边sin=，con=，tan=（图1）引入：锐角三角函数确实是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?一、三角函数的概念如图,设锐角的极点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,那么线段的长度为,线段的长度为.那么; ; .试探：关于确信的角，这三个比值是不是会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？显然，咱们能够将点取在使线段的长的特殊位置上，如此就能够够取得用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：; ; .试探：上述锐角的三角函数值能够用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推行以后，咱们应该如何对初中的三角函数的概念进行修改，以利推行到任意角呢？本节课就研究那个问题任意角的三角函数.关于确信的角，上面三个比值都是一个确信的实数，这确实是说，正弦、余弦、正切别离可看成从一个角的集合到一个比值集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这些函数都叫做三角函数。 指出： （1）sin不是sin与的乘积，它是一个比值。三角函数记号是一个整体，离开自变量的“sin”，“tan”等是没成心义的； （2）由于一个角对应一个实数，一个实数也对应一个角，即角的集合与实数集之间能够成立一一对应关系。因此，三角函数也能够看成是以“实数”为自变量的函数。实数（可取的）角三角函数（实数）【探讨新知】1.探讨:结合上述锐角的三角函数值的求法,咱们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,咱们只需在角的终边上找到一个点,使那个点到原点的距离为1,然后就能够够类似锐角求得该角的三角函数值了.因此,咱们在此引入单位圆的概念:在直角坐标系中,咱们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.2.试探:如何利用单位圆概念任意角的三角函数的概念?如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:（1)叫做的正弦(sine),记做,即；（2）叫做的余弦(cossine),记做,即；（3）叫做的正切(tangent),记做,即.注意:当是锐角时，此概念与初中概念相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.试探:若是明白角终边上一点,而那个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面咱们已经明白,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.咱们只需计算点到原点的距离,那么,.因此，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间能够成立一一对应关系，故三角函数也能够看成实数为自变量的函数.归纳：三角函数概念及概念域：三角函数定义一：单位圆法定义二：比值法定义域4.例题选讲例1（讲义P12例1）.求的正弦、余弦和正切值.学生活动：让学生自己试探并独立完成.然后与讲义的解答相对照一下，发觉此题的难点.教师活动：此题题意很简单，可是如何入手却是难点，关键是对本节课的三角函数概念的要点有无领会清楚（任意角三角函数的概念要点：点、点的坐标、点到极点的距离），因此此题的重点的地方是如何利用单位圆找到那个点P，如图4能够明白，又点P在第四象限，取得，如此就能够够很容易患到此题答案.不妨让学生取，可否也取得点P的坐标，取得的三角函数值是不是与单位圆的一样。如此能够让学生更深刻体验三角函数的概念.变式训练1：求的正弦、余弦和正切值.例2（讲义P12例2）已知角的终边过点，求角的正弦、余弦、正切值.教材给出这两个例题，主若是帮忙明白得任意角的三角函数概念.我也能够尝试其他方式:如例2:设则.于是 ,.变式训练2：已知角的终边过点P（12，-5），求角的三角函数值。5.探讨:请依照任意角的三角函数概念,设终边上一点坐标P(x,y)，将正弦、余弦和正切函数的概念、概念域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：三角函数定义及定义域三角函数值在各象限的符号定义（比值法）定义（单位圆法）r=1定义域第一象限第二象限第三象限第四象限Y正正负负X正负负正正负正负分析：三角函数在各象限的符号正弦值关于第一、二象限为正（），关于第三、四象限为负（）；余弦值关于第一、四象限为正（），关于第二、三象限为负（）；正切值关于第一、三象限为正（同号），关于第二、四象限为负（异号）注意：假设终边落在轴线上，那么可用概念求出三角函数值.6诱导公式的推导：例3（讲义P14例4）.确信以下三角函数值的符号,然后用计算器验证:(1); (2); (3); (4)解析：（1）负 （2）负 （3）正 （4）负变式训练3：确信以下三角函数值的符号（1）sin2 （2）sin20说出与以下各角终边相同的角的一样表达式： （1）300；（2）-；（3）。 观看：角3900和-3300的角与300的角终边的位置相同。 试探：它们的同一三角函数值的关系如何？什么缘故？ 归纳：依照三角函数的概念能够明白，任意角的三角函数值取决于角终边的位置，终边相同的角的同一三角函数的值相等。那么，如何写出它的数学表达式呢？ 诱导公式：学生口答其数学表达式，教师板书：sin(k+)=sin；cos(k+)=cos；tan(k+)=tan； (其中) 问：用弧度制如何写出这组公式？答：sin(2k+)=sin；cos(2k+)=cos； tan(2k+)=tan； (其中) 以上这组公式通常叫做诱导公式（一）。公式（一）的特点： 观看：诱导公式（一）的结构有何特点？ 归纳：这组公式的两边是同名函数，角度相差3600（或2）的整数倍，抓住函数与角度两个方面的特点利于经历公式。例4（讲义P13例3）求证：当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角.例5（讲义P14例5）.求以下三角函数值:(1); (2); (3)利用公式一,能够把求任意角的三角函数值, 转化为求到(或到)角的三角函数值. 另外能够直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.变式训练5：求以下各三角函数值：（1） cos43210；（2）sin(-)；（3）tan(-)。 分析：利用诱导公式（一）进行恒等变形。 解：（1）cos43210=cos(123600+10)=cos10=；（2） sin(-)=sin(-2；又解：sin(-)=sin(-+4)=sin=.（3） tan(-)=tan(-2+)=tan=tan()= -tan= -1；又解：tan(-)=tan()=tan=tan()= -tan= -1课堂巩固练习（讲义P15练习NO：1；2；3；4；5；6；7）课堂小结、巩固反思(1)本节的三角函数概念与初中时的概念有何异同?(2)你能准确判定三角函数值在各象限内的符号吗?(3)请写出各三角函数的概念域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗？课时必记一、设终边上一点坐标P(x,y)，将正弦、余弦和正切函数的概念、概念域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：三角函数定义及定义域三角函数值在各象限的符号定义（比值法）定义（单位圆法）r=1定义域第一象限第二象限第三象限第四象限y正正负负x正负负正正负正负二、诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等。sin(2k+)=sin；cos(2k+)=cos； tan(2k+)=tan； (其中)sin(k+)=sin；cos(k+)=cos；tan(k+)=tan； (其中)作用：把任意角的三角函数化为0到2的三角函数。3、专门声明：题中要求用计算器计算的一很不用计算器，只需把任意角的三角函数化为0到2的三角函数4、特殊角的三角函数值：度60090018002700弧度0sin010-10cos10-101tan01不存在-10 不存在0分层作业A组：一、（讲义P20习题1.2A组 NO：1）二、（讲义P20习题1.2A组 NO：2）3、（讲义P20习题1.2A组 NO：6）4、（讲义P20习题1.2A组 NO：7）五、（讲义P20习题1.2A组 NO：8）六、设kZ，求以下各三角函数值：（1） sin2k；（2）sin(2k+)；（3）sin(2k+)；（4）sin(2k+)。解：（1）sin2k=sin0=0；（1） sin(2k+)=sin =1；（2） sin(2k+)=sin =0（3） sin(2k+)=sin = -1。 指出：由（1）（3）可归纳出sinn=0 (nZ)。B组：一、(tb0126703)在ABC中，假设sinAcosBtanC<0，那么ABC是（C）。（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）不能确信二、(tb0126803)计算：（1） mtan0+ncos-psin3-qcos+rsin(-5)=_（答：0）（2） sin=_（答：1）C类：1、(tb0126605)已知角的终边通过点P(3cos,-4cos)，其中为第二象限角，求sin、cos、tan的值。 （答：sin=；cos=；tan=）