三角函数大题专项(含问题详解).docx

三角函数专项训练1在ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2Asin2C）（ab）sinB（1）证明a2+b2c2ab；（2）求角C和边c2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知bsinAacos（B）（）求角B的大小；（）设a2，c3，求b和sin（2AB）的值3已知，为锐角，tan，cos（+）（1）求cos2的值；（2）求tan（）的值4在平面四边形ABCD中，ADC90°，A45°，AB2，BD5（1）求cosADB；（2）若DC2，求BC5已知函数f（x）sin2x+sinxcosx（）求f（x）的最小正周期；（）若f（x）在区间，m上的最大值为，求m的最小值6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知asinA4bsinB，ac（a2b2c2）（）求cosA的值；（）求sin（2BA）的值7设函数f（x）sin（x）+sin（x），其中03，已知f（）0（）求；（）将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，求g（x）在，上的最小值8在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，a5，c6，sinB（）求b和sinA的值；（）求sin（2A+）的值9ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长10ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）8sin2（1）求cosB；（2）若a+c6，ABC的面积为2，求b11已知函数f（x）cos（2x）2sinxcosx（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x，时，f（x）12已知向量（cosx，sinx），（3，），x0，（1）若，求x的值；（2）记f（x），求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值13在ABC中，A60°，ca（1）求sinC的值；（2）若a7，求ABC的面积14已知函数f（x）2sinxcosx+cos2x（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求f（x）的单调递增区间15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c2acosB（1）证明：A2B；（2）若cosB，求cosC的值16设f（x）2sin（x）sinx（sinxcosx）2（）求f（x）的单调递增区间；（）把yf（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，求g（）的值17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2BbsinA（1）求B；（2）已知cosA，求sinC的值18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c2acosB（）证明：A2B；（）若ABC的面积S，求角A的大小19在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+（）证明：sinAsinBsinC；（）若b2+c2a2bc，求tanB20在ABC中，AC6，cosB，C（1）求AB的长；（2）求cos（A）的值21已知函数f（x）4tanxsin（x）cos（x）（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间，上的单调性22ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）c（）求C；（）若c，ABC的面积为，求ABC的周长参考答案1在ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2Asin2C）（ab）sinB（1）证明a2+b2c2ab；（2）求角C和边c【解答】证明：（1）在ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，由正弦定理得：2R2，sinA，sinB，sinC，2（sin2Asin2C）（ab）sinB，2（）（ab），化简，得：a2+b2c2ab，故a2+b2c2ab解：（2）a2+b2c2ab，cosC，解得C，c2sinC22在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知bsinAacos（B）（）求角B的大小；（）设a2，c3，求b和sin（2AB）的值【解答】解：（）在ABC中，由正弦定理得，得bsinAasinB，又bsinAacos（B）asinBacos（B），即sinBcos（B）cosBcos+sinBsincosB+，tanB，又B（0，），B（）在ABC中，a2，c3，B，由余弦定理得b，由bsinAacos（B），得sinA，ac，cosA，sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1，sin（2AB）sin2AcosBcos2AsinB3已知，为锐角，tan，cos（+）（1）求cos2的值；（2）求tan（）的值【解答】解：（1）由，解得，cos2；（2）由（1）得，sin2，则tan2，（0，），+（0，），sin（+）则tan（+）tan（）tan2（+）4在平面四边形ABCD中，ADC90°，A45°，AB2，BD5（1）求cosADB；（2）若DC2，求BC【解答】解：（1）ADC90°，A45°，AB2，BD5由正弦定理得：，即，sinADB，ABBD，ADBA，cosADB（2）ADC90°，cosBDCsinADB，DC2，BC55已知函数f（x）sin2x+sinxcosx（）求f（x）的最小正周期；（）若f（x）在区间，m上的最大值为，求m的最小值【解答】解：（I）函数f（x）sin2x+sinxcosx+sin2xsin（2x）+，f（x）的最小正周期为T；（）若f（x）在区间，m上的最大值为，可得2x，2m，即有2m，解得m，则m的最小值为6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知asinA4bsinB，ac（a2b2c2）（）求cosA的值；（）求sin（2BA）的值【解答】（）解：由，得asinBbsinA，又asinA4bsinB，得4bsinBasinA，两式作比得：，a2b由，得，由余弦定理，得；（）解：由（），可得，代入asinA4bsinB，得由（）知，A为钝角，则B为锐角，于是，故7设函数f（x）sin（x）+sin（x），其中03，已知f（）0（）求；（）将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，求g（x）在，上的最小值【解答】解：（）函数f（x）sin（x）+sin（x）sinxcoscosxsinsin（x）sinxcosxsin（x），又f（）sin（）0，k，kZ，解得6k+2，又03，2；（）由（）知，f（x）sin（2x），将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数ysin（x）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到ysin（x+）的图象，函数yg（x）sin（x）；当x，时，x，sin（x），1，当x时，g（x）取得最小值是×8在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，a5，c6，sinB（）求b和sinA的值；（）求sin（2A+）的值【解答】解：（）在ABC中，ab，故由sinB，可得cosB由已知及余弦定理，有13，b由正弦定理，得sinAb，sinA；（）由（）及ac，得cosA，sin2A2sinAcosA，cos2A12sin2A故sin（2A+）9ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得SABCacsinB，3csinBsinA2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA2sinA，sinA0，sinBsinC；（2）6cosBcosC1，cosBcosC，cosBcosCsinBsinC，cos（B+C），cosA，0A，A，2R2，sinBsinC，bc8，a2b2+c22bccosA，b2+c2bc9，（b+c）29+3cb9+2433，b+c周长a+b+c3+10ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）8sin2（1）求cosB；（2）若a+c6，ABC的面积为2，求b【解答】解：（1）sin（A+C）8sin2，sinB4（1cosB），sin2B+cos2B1，16（1cosB）2+cos2B1，16（1cosB）2+cos2B10，16（cosB1）2+（cosB1）（cosB+1）0，（17cosB15）（cosB1）0，cosB；（2）由（1）可知sinB，SABCacsinB2，ac，b2a2+c22accosBa2+c22××a2+c215（a+c）22ac153617154，b211已知函数f（x）cos（2x）2sinxcosx（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x，时，f（x）【解答】解：（）f（x）cos（2x）2sinxcosx，（co2x+sin2x）sin2x，cos2x+sin2x，sin（2x+），T，f（x）的最小正周期为，（）x，2x+，sin（2x+）1，f（x）12已知向量（cosx，sinx），（3，），x0，（1）若，求x的值；（2）记f（x），求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值【解答】解：（1）（cosx，sinx），（3，），cosx3sinx，当cosx0时，sinx1，不合题意，当cosx0时，tanx，x0，x，（2）f（x）3cosxsinx2（cosxsinx）2cos（x+），x0，x+，1cos（x+），当x0时，f（x）有最大值，最大值3，当x时，f（x）有最小值，最小值213在ABC中，A60°，ca（1）求sinC的值；（2）若a7，求ABC的面积【解答】解：（1）A60°，ca，由正弦定理可得sinCsinA×，（2）a7，则c3，CA，sin2C+cos2C1，又由（1）可得cosC，sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC×+×，SABCacsinB×7×3×614已知函数f（x）2sinxcosx+cos2x（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求f（x）的单调递增区间【解答】解：f（x）2sinxcosx+cos2x，sin2x+cos2x，由于函数的最小正周期为，则：T，解得：1（2）由（1）得：函数f（x），令（kZ），解得：（kZ），所以函数的单调递增区间为：（kZ）15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c2acosB（1）证明：A2B；（2）若cosB，求cosC的值【解答】（1）证明：b+c2acosB，sinB+sinC2sinAcosB，sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，sinBsinAcosBcosAsinBsin（AB），由A，B（0，），0AB，BAB，或B（AB），化为A2B，或A（舍去）A2B（II）解：cosB，sinBcosAcos2B2cos2B1，sinAcosCcos（A+B）cosAcosB+sinAsinB+×16设f（x）2sin（x）sinx（sinxcosx）2（）求f（x）的单调递增区间；（）把yf（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，求g（）的值【解答】解：（）f（x）2sin（x）sinx（sinxcosx）2 2sin2x1+sin2x21+sin2xsin2xcos2x+12sin（2x）+1，令2k2x2k+，求得kxk+，可得函数的增区间为k，k+，kZ（）把yf（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y2sin（x）+1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）2sinx+1的图象，g（）2sin+117在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2BbsinA（1）求B；（2）已知cosA，求sinC的值【解答】解：（1）asin2BbsinA，2sinAsinBcosBsinBsinA，cosB，B（2）cosA，sinA，sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c2acosB（）证明：A2B；（）若ABC的面积S，求角A的大小【解答】（）证明：b+c2acosB，sinB+sinC2sinAcosB，sinB+sin（A+B）2sinAcosBsinB+sinAcosB+cosAsinB2sinAcosBsinBsinAcosBcosAsinBsin（AB）A，B是三角形中的角，BAB，A2B；（）解：ABC的面积S，bcsinA，2bcsinAa2，2sinBsinCsinAsin2B，sinCcosB，B+C90°，或CB+90°，A90°或A45°19在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+（）证明：sinAsinBsinC；（）若b2+c2a2bc，求tanB【解答】（）证明：在ABC中，+，由正弦定理得：，sin（A+B）sinC整理可得：sinAsinBsinC，（）解：b2+c2a2bc，由余弦定理可得cosAsinA，+1，tanB420在ABC中，AC6，cosB，C（1）求AB的长；（2）求cos（A）的值【解答】解：（1）ABC中，cosB，B（0，），sinB，AB5；（2）cosAcos（A）cos（C+B）sinBsinCcosBcosCA为三角形的角，sinA，cos（A）cosA+sinA21已知函数f（x）4tanxsin（x）cos（x）（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间，上的单调性【解答】解：（1）f（x）4tanxsin（x）cos（x）xk+，即函数的定义域为x|xk+，kZ，则f（x）4tanxcosx（cosx+sinx）4sinx（cosx+sinx）2sinxcosx+2sin2xsin2x+（1cos2x）sin2xcos2x2sin（2x），则函数的周期T；（2）由2k2x2k+，kZ，得kxk+，kZ，即函数的增区间为（k，k+），kZ，当k0时，增区间为（，），kZ，x，此时x（，由2k+2x2k+，kZ，得k+xk+，kZ，即函数的减区间为（k+，k+），kZ，当k1时，减区间为（，），kZ，x，此时x，），即在区间，上，函数的减区间为，），增区间为（，22ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）c（）求C；（）若c，ABC的面积为，求ABC的周长【解答】解：（）在ABC中，0C，sinC0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）sinC，整理得：2cosCsin（A+B）sinC，即2cosCsin（A+B）sinC2cosCsinCsinCcosC，C；（）由余弦定理得7a2+b22ab，（a+b）23ab7，SabsinCab，ab6，（a+b）2187，a+b5，ABC的周长为5+