微积分与高中数学的联系及应用毕业论文.doc

【标题】微积分与高中数学的联系及应用 【作者】周 鹏 飞 【关键词】微积分  中学数学  极值 【指导老师】米 永 生 【专业】数学教育 【正文】1 引言数学是一门逻辑性很强的科学，各个知识联系紧密，互相渗透。将高等数学的理论应用于高中数学，使其内在的本质联系得到体现，进而去指导高中数学的教学工作，降低教学的难度和学生学习的难度，是一个值得研究的课题。把微积分的知识应用于解决中学数学问题上，能起到以简取繁的作用，使一些证明更严整或更简单，并为许多问题提供新的解决途径；同时，微积分知识运用技巧性强，它有利于优化学生的认知结构，开阔思路，从而能够使学生形成良好的创造性思维和创新意识，是培养学生能力和科学素养的理想素材。本文介绍中学数学的8个方面应用微积分解题的情况，着重结构分析，突出解题技巧，尽现微积分解题特点。2 不等式与恒等式的证明不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反应了变量之间很重要的一种关系。论证不等式的方法很多，本文着重介绍用微积分知识证明不等式的几种常用方法，常见的有函数的单调性，微分中值定理，级数中的泰勒公式，极值的判定法，定积分的性质等。2.1利用函数的单调性证明不等式若函数 在区间 可微，则 在 严格递增(递减)的充要条件： ，利用此法证明不等式时，一般取不等式两边的函数之差为新函数f(x)，然后讨论 的单调性。例 21【1】当0 x  ,求证sin x   x 。分析:若令F( x) = sin x   x , F( x) =   -  ,由于导数符号不断变化, 故辅助函数F( x) 无单调性, 需重设辅助函数F( x) ,可用除法试之。证明:令F( x) = , F(0) =  F( x) = 1 , F( ) =      F( x) =  ,令g( x) = x  - sin x , g(0) = 0   g( x) = - x  -   0 ,g( x) 单调递减,因此g( x) g(0) = 0F( x) 0 , F( x) 单调递减,F( x) F( ) =  sin  x   例2.2  当 时，求证 .证明：  令 ，  可知 在 时单调递增，故 所以 在 上是单调递增，又得 即 证得当 时 .注  初等数学中讨论函数 的单调性时,经常在某区间任取 , ,令 ,若 ,则 在该区间单调增加,若 , 则 在该区间单调减少。该方法的优点是直观易懂,其缺点是函数表达式较复杂时,判断 的正负比较困难,往往要求运用较高技巧,且适用面也较窄。运用微积分方法讨论函数单调性时，只需求出 ,再考虑 的正负即可。该方法简便易行，不需多大技巧，且适用面也较宽。2.2 利用微分中值定理证明不等式一般地，若所要证明的函数不等式或数值不等式含有增量 或者可以生成增量 （或增量的商 ），则可以考虑借助于拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明，证明的关键是函数和区间的选取。定理2.22  （拉格朗日中值定理）若函数 满足：（1）在 连续；（2）在 可导；则在(a,b)内至少存在一点 ，使 。例 2.3  证明：                                                                    证明  令 在 ，因为 在区间 连续可导 ，对 用拉格朗日中值定理，存在 。使得：  = 得到：    所以 。注  不等式的证明方法多种多样，没有统一的模式。初等数学常用的方法是恒等变形，数学归纳法，使用重要不等式等方法，往往需要较高的技巧。利用微分中值定理证明不等式使过程大大简化。2.3利用泰勒公式证明不等式 对于所给条件涉及到具有二阶或更高阶导数的题目，可考虑借助于函数的泰勒公式证明。特别是已知最高阶导数的取值范围时，可用此条件来估计有关的量，证得不等式。例 2.63   设   =1,f(x)二阶可导，且f''(x)>0，求证：f(x)x。证明：由f(x)二阶可导，所以f(x)连续，又   =1，所以f(0)=0。f'(0)=    =   =1，由泰勒公式将f(x)在零点处展开，f(x)=f(0)+f'(0)x+  f''()x(f''(x)>0)，即证之。 设函数 在 上二阶可导，且 ，证明：注  利用泰勒公式来证明此类题目，增强了中学数学的严谨性。2.4  利用定积分性质证明不等式4当证明的不等式中含有积分号时，一般可利用定积分的性质，适当放大或缩小，达到证题的目的。例 2.7 证明：     证明  令 则 ，由 得驻点  当 时，     当 时， 于是 在 处取得（最）小值 ，最大值在区间端点达到 ，故当 时，有   再由定积分性质，有      .注  利用定积分的性质来证明不等式问题，有利于对数学思维能力的培养。2.5利用极值证明不等式当给定的不等式是具体的函数，且又给出自变量的变化范围，欲证明它大于等于或小于等于某个定数，这时往往用最值证明比较简单。例 2.4  证明不等式：当p>1,0x1 时，   + 1。证明：设函数f(x)=xp+(1- x)p，则f'(x)=p - p 令f'(x)=0，得x= 令m=min f(0),f(1),f( )，M=max f(0),f(1),f(  ) ，则m=  ，M=1故当p>1,0x1 时，有   + 1。 注  利用函数极值证明不等式，能使解题思路更清晰，更准确。2.6  利用函数凹凸性的特点证明不等式若函数 是凸函数，则在 上有 ， 若函数 是凹函数，则在 上有 ， 例2.65  求证：x   + y   > (x + y)  ，（ x > 0, y > 0, x  y ）。分析：函数结构中各部分类似，故可构造函数f (t) = t   ，原不等式既证：  >   ，由凹凸的定义知，只需证明f (t)在（0，+ ）内为凹即可。证明：设f (t) = t   ，则f (t) =   +1， f(t ) =  > 0即f (t)在（0，+ ）内为凹故  >   ，故不等式成立例 2.56  证明： 证明  令 ，所以 在 或 上是凹函数     因此， ，即  注  利用函数凹凸性的特点来证明不等式，先要构造成凸函数或凹函数，然后利用它们的性质来证明不等式，使问题更简单明确。3 代数式化简中的应用用导数，积分解此类题，常可使解法简便，巧妙。例 6.1  化简 ：     解  把 看作变量， 与 看作常量，令              （6.1）          上式两端取不定积分得                                        （6.2）                 由（6.1），（6.2），得          （6.3） 由（6.3）式，令 ，得 ， 故，原式 .注  在中学数学中，代数式化简这个问题可以说相当简单或者说相当复杂，对于很简单的代数式，用一般的方法就可以解决，但是对于比较复杂的代数式化简，用常规办法很难做出来，用导数，积分的知识来解，常可使解法简便，巧妙。4 求函数的极值，切线与单调区间问题由导数的几何意义，可以很容易地求得曲线的切线，也可以方便地求出函数的单调区间和极值。这类问题也是近年来高考考查的重点。其方法主要是先求一阶导数，然后根据一阶导数的值是大于 ，还是小于 ，还是等于 ，来判断增减性及极值问题。                    例 3.1  已知函数 在 处取得极值。（1）讨论 和 是函数 的极大值还是极小值；（2）过点 ，作曲线 的切线，求此切线的方程。解  （1） ，依题意 解得 ,所以  令 得 若 则 ，故 在 上是增函数， 在 上是增函数。若 ，则 ，故 在 上是减函数。所以 是极大值; 是极小植。（2） 曲线方程为 .点 不在曲线上。设切点为 ，则点 的坐标满足 .由于 ，故切线的方程为 .注意到点 在切线上，有 .化简得 解得 .因此，切点为 切线方程为 .注  上面这个例题充分说明了微积分在求函数极值，单调区间方面的应用，使问题解起来更容易，错误率也下降。达到以简取繁的作用。在初等数学中，经常用不等式，配方等方法求极值。这些方法的优点是学生熟悉，易于掌握。但这些方法往往有三个缺点：一是技巧性要求较高，特别是对复杂的问题；二是适用面较窄，只能解一些特殊的问题；三是容易混淆极值和最值两个概念，遗漏了极值。用微积分法求极值，有固定程序可循，技巧性要求低一些，适用面也广一些，极值和最值也容易区分。比如下面的例题。3.2   求 解   ，令 ，得  解得 或 ，由 可得 或 .因此，     当 时，得 ；当 时，得 ；     当 时，得 ； 此题若用配方法解，可得       当 时，得 ；     当 时，得 ，但很容易遗漏 。5 因式分解用导数，积分进行因式分解，常可使解法简便，巧妙。作为中学教师，除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等方法外，还应善于用高等数学方法解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难，繁，而用高等数学方法则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学有很大的作用。例 5.1  分解因式 ： 解  把 看作变量, 与 看作常量。令 求 对 的导数，得           对上式取不定积分，得          其中 是常数，此处 是含有变量 与 的代数式，从而得恒等式           上式中令   注  本题是比较常规的题型，如果按照常规的方法来解，先把括号打开，然后再找出能合并的项，要求较高的观察能力，而且非常费时，相当繁杂。用微积分中的知识来解决此类题目，相当节约时间，减少繁杂程度。6方程根的讨论在初等数学中，一般是先解方程，然后再讨论根的情况。对于比较复杂的方程，我们是很难解的，在这里我们就用微积分的知识来讨论方程根的情况。例 4.1  试证：当 时，方程 有唯一解 证明  设 ，则当 时,因为 所以由连续函数介值定理知， 在 上有解，即 ，使 .此外，因为 ，故  由结论可知，当 时， 有且只有一个交点，关于函数 是否有交点的问题，可通过对方程 根的讨论得到完美的解答。例 4.2 求证 ： 有两个相异实根，并且一个根大于 ,另一个根小于a.分析   本题用初等数学的方法证明必须分为两步：先利用判别式证明方程有两个相异实根，再利用求根公式求出方程的两个根，并与a比较其大小，这样做具有一定的运算量，显得麻烦现采用微积分的方法，可将两步并为一步，显得简捷    证明  设 则 因为 ，所以在区间 和 内分别存在 和 ， 使 ， 由连续函数的介值定理，在区间 和 内分别存在 和 使 这表明 注  不仅如此，根据这一证法，我们还可以深化和拓广这一方程的研究，获得新的结论。因为 ，所以 同样介于方程的两根之间，我们还可以看到 右端的对于本题的结论来说并非是至关重要的，关键是方程的右端必须是一个正数。于是综合以上两点，可以得到更为一般的结论：设 必有两个相异实根，且 均介于方程的两根之间。7 函数的变化性态及作图函数的图象以其直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特征的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数的图象。中学教材在介绍二次函数、指数函数及三角函数等函数时，通常用描点法作出函数的图像。这种图像一般是粗糙的，不一定能准确地反映曲线在一些点和区间上的性态。利用导数作为工具，可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断，从而比较准确地作出函数的图象。一般来说，描绘函数的图像可以按以下步骤进行：(1)求出函数 的定义域，确定图像范围。(2)判别函数 是否具有奇偶性或周期性，缩小描绘图像的范围。(3)求函数 的不连续点，并讨论函数在不连续点的左、右变化情况，可能存在极限，也可能趋向无穷(此时有垂直渐近线)。如果函数定义域是无限区间，则要讨论当 无限增加时， 的变化趋势，若存在极限，则有水平渐近线；若趋于无穷，应考虑是否有斜渐近线。(4)计算函数 的一、二阶导数，并求解 和 ，讨论 的单调性、局部极值、凹凸性与拐点，列表。(5)计算曲线的稳定点、局部极值点、拐点的坐标以及曲线与坐标轴交点的坐标。(6)在直角坐标系中，标出关键点的坐标，画出渐近线，再按讨论的性态逐段描绘。例 7.1    作函数 。解  定义域为 .曲线与 轴的交点为（0，2）.利用连续函数的零点存在定理可知，在区间 内曲线与 轴有交点。                                                                             令 得驻点  列表如下：表7.1x  0  1  2   + 0 - - - 0 + - - 0 + + + + 极大值 拐点 极小值 凹凸性 凹 凸     作图象如下：                               图7-18  实际应用问题微积分进入中学后, 会使中学数学的应用范围迅速扩大, 许多以前不能解决的应用问题现在可以解了, 许多用初等方法解起来十分困难的问题现在变简单了。    例 8.1   铁路线上  段的距离为100km，工厂 距 处为20km， 垂直于 （如图8-1）为了运输需要，要在 线上选定一点 向工厂修筑一条公路。已知铁路每km货运的运费与公路上每km 的货运的运费之比为 。为了使货物从供应站 运到工厂 的运费最省，问 点应选在何处？ 图8-1解  设 (km)，那么 , 设从 点到 点的总运费为 ，由已知可得 : ，  因为 的最小值在驻点处或端点处取得。当 时， ，当 时， ； 时， ，其中 为最小，因此，当 时，总运费最省。注  此题若用初等数学的方法做, 将会十分麻烦, 此处运用微积分知识做， 就显得很简单。另外，运用微积分知识还可解决许多用初等数学无法解决的应用问题。9 在解析几何方面的应用例 9.1  已知平面上两定点 试在椭圆 位于第一象限的那部分上求一点 ，使 的面积最大分析  设 点的坐标为 ，则 因为含有绝对值，不便于讨论，为计算方便考虑函数 问题化为求 在条件 下的最大值。        解  设C点的坐标为 ,则 要使三角形 的面积最大，等价于使 最大，              （9.1）                   （9.2）                                       （9.3） 由（9.1）与（9.2）得 ，与（9.3）联立 解得 代入得 而当 时，即在点 时，三角形面积为2，当 时，即在点 时，三角形面积为3.5，由此可知，三角形ABC面积最小，而三角形ABE的面积最大。即取点E时，可使三角形的面积最大。 思考:  要求一个多元函数在某一区域上的最大或最小值，可先求出函数在区域内一切据点的值以及在边界上的值，这些数中最大或最小的一个便是所求的最大或最小值另外，几何中长度、面积、体积等的极值问题都可以利用微积分知识解题综上所述，微积分在中学数学的几个应用中技巧独特，它使我们发现，一个完整的“解题单元”总是不同程度地包含：“陌生结构发散思维、求异思维熟悉结构不断尝试解题实现回顾解题、推广经验”这一过程在这一过程中，频繁的结构转换是惯用的。  初等数学中一些常用面积体积公式由于受专业的限制，只能直接给出，不可能论证其来源。此时，用微积分学也可给予解答。例 9.2  求椭圆 解  如图所示： 图9-1 此时，若 则其即为圆的面积公式 注  微积分在研究面积公式上甚有用途，不仅可以论证椭圆的面积公式，还可以论证圆锥体积公式等。10 总述微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”10。微积分的思想能激发学生的学习兴趣，它使中学数学中的某些问题找到了新途径，使学生掌握更有用的变量数学知识，有利于学生数学思维能力的培养。本文谈到了微积分在中学数学9个方面的应用，主要是导数知识的进一步引如，积分知识的引如，微分中值定理知识的引入，连续函数介值定理的引入，使解题过程大大简化，技巧性降低。同时能使学生学习数学的兴趣大大提升。教师通过用中学的方法和用微积分的方法对同一道题讲解，能够明显的区分出用微积分的方法解题更为简便。所以，教师掌握相关的微积分知识对中学数学教育有极大的辅助作用，也是必要的。微积分在解决中学数学问题中的应用远不止这些，在其他如推导一些面积和体积公式，讨论函数单调性。微积分在研究函数性质上也甚有用途，如可通过函数的导数去研究函数的单调性，极值，凹凸以及求曲线的渐近线 。在这方面的例子很多，在此不再多占篇幅。综上所述，用微积分学来研究高中数学问题，涉及范围既有广度，又有深度。所以不可将此看作是问题的简单重复讨论，应该认为是问题的持续深入研究，而且是很有必要的。