关于高中新课程数学选修23《概率、统计》内容的教学分析.doc

关于高中新课程数学选修2-3概率、统计内容的教学分析摘要：高中新课程中的数学选修课，是课改中的一大亮点，克服了旧教材中选修课的形同虚设。如何开设好数学选修课，本文对数学选修2-3概率内容（人教版A版）如何教学，从知识要求及变化、重点和难点、教学案例三个方面加以阐述。关键词：概率;整体定位;课程标准;教学要求;重点和难点;教学案例 一、问题提出的背景作为信息时代的公民，无论从事什么职业，都会遇到大量无组织的数据和信息，人们需要有处理和解释信息的能力，需要有根据信息做出判断和决策的能力，概率统计知识已成为现代公民知识结构中必备的成分。一些发达国家很早就在中小学课程中加入概念统计内容，经几十年的概率统计教学，积累了较丰富的经验。相反，这部分内容进入我国中学课程相对较晚，经过1960年、1978年、1980年、1988年4次变动1，才在九年义务教育初级中学数学教学大纲中，将“统计初步”列入初中数学必修内容，至此，中学生开始较系统地学习统计知识。2001年，教育部颁布的义务教育阶段数学课程标准（实验）中，进一步把“概率统计”作为4个模块之一，分学段地规定了统计教学内容和达到的要求。2003年，教育部普通高中数学课程标准（实验稿）中，“概率统计”也是必修课5个模块之一，而且在选修模块中都是文理科学生必学内容，从而概率在中学课程中的地位得以重新确定。由于“概率”在我国中小学数学教学中起步较晚，在实施新课程实验中，教师亟需掌握“概率”如何教，才能符合新课程标准，符合编写教材者真正的意图。对高中新课程数学选修2-3概率内容，本文将从知识要求及变化、教学的重点和难点、教学案例三个方面加以阐述。二.知识要求及变化1.整体定位标准对随机变量及其分布这部分内容的整体定位如下：学生将在必修课程学习概率的基础上，学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差及内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念，观察、分析问题的意识。 为了更好的理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：（1）“离散型随机变量”与“样本数据”存在定位上的区别。“离散型随机变量” 与“样本数据” 两者概念不能混为一谈。“离散型随机变量”是由实验结果确定的，“样本数据” 是由抽样方式确定的，导致了两者的差别。应列举实例，加以区别。（2）通过实例，理解所有的概念，避免过分注重形式化的倾向。这部分内容的每个概念，都必须运用数学和生活中的大量详实事例引证或推理。教学中不应简单从抽象的定义出发，机械地模仿，得出概念。重点是理解“离散型随机变量及其分布列”、“均值”、“方差”、“正态分布”的概念。（3）“随机观念”贯穿于这部分内容的始终。首先要认识离散型随机变量的分布列对刻划随机现象的重要性；其次掌握超几何分布、二项分布是两个非常重要的应用广泛的概率模型。另外正态分布应用更广泛。通过这些“分布” 的学习，初步学会一种方法（即利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法），形成一种意识（用随机观念观察分析问题的意识）。但“方法” 和“意识”的培养，仍然离不开实例。2课程标准的要求（1）离散型随机变量及其分布列 在对具体问题的分析中，理解取有限量的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻划随机现象的重要性。通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。（2）二项分布及其应用在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解几次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。（3）离散型随机变量的均值与方差通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。（4）正态分布 通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。3、课程标准要求的具体化和深广度分析（1）如何理解“取有限值的离散随机变量及其分布列” 的含义。通过实例比较并体会“离散型随机变量” 与“随机变量” 的区别。例如：问题1 某人射击一次可能出现命中0环，命中1环，命中10环等结果，即可能出现的结果可以由0，1，2，10这11个数表示。思考：a、某人射击一次的实验中，可能出现的结果（基本事件）是什么？ b、为什么可以由0，1，10这11个数字表示实验中可能出现的结果？分析：因为实验中的可能出现的结果自然的对应着一个实数，根据这种对应关系，我们可以用结果对应的数量表示它。如0表示命中0环，9表示命中9环等。例如：问题2 某林场树木最高达到30米，林场树木的高度一个随机变量。随机变量可以取那些值？问题1中的命中环数与问题2中的树木的高度这两个随机变量取值有什么不同？分析：随机变量可以取（0，30）内的一切取值，问题1中的随机变量的取值是可以按一定次序一一列出；问题2中的随机变量的取值是一区间内的一切取值。总结：通过对问题2的思考分析（问题2随机变量不作教学要求）突出离散型机变量的取值特征，概括定义，加深对离散型随机变量的理解。 注意在离散型随机变量的分布列中，研究离散型随机变量X的可能值，只研究有限个的情况，无限个的情况不研究，这是新课程与传统课程的差别。另外，还必须掌握离散型随机变量的分布列具有的两个性质：（1） pi0，i=1，2，n （2）=1例如：下面表中列出的是某随机变量的分布列的有（ ） X135P0.50.30.2X12345P0.70.10.10.2-0.1 X012nP X123nP A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个解析: 离散型随机变量的分布列要满足两个性质:(1) pi0，i=1，2，n （2）=1用这个标准去衡量既可得到结果。和是某随机变量的分布列；不是。因为不满足性质(1)；也不是。因为将概率求和不等于1，不满足性质(2)。答案是B（2）如何理解“两点分布、超几何分布与二项分布”。课程标准要求只研究两点分布、超几何分布与二项分布，注意超几何分布的使用条件为不放回地抽取，二项分布的使用条件为在n次独立重复实验中有放回地抽取。（3）如何理解“离散型随机变量的期望与方差”的概念及其性质。第一，通过对具体实例的分析，理解离散型随机变量的期望与方差。离散型随机变量的期望与方差反映了离散型随机变量的平均水平，而离散型随机变量X的方差反映了X取值的稳定性。例如：袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，若取到一样个红球则得2分，用X表示得分数，求：（1）X的概率分布 （2）X的数字期望与方差解析：（1）由题意知，X可取值是0，1，2，3，4。易得其概率分布如下：X01234P（2） EX=0×+1×2×3×4×DX的求值略 注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数X的分布列。第二，通过具体实例，理解离散型随机变量的数学期望与方差的性质在解决和分析数学问题中的作用，而且只掌握具有三种关系的随机变量的数学期望和方差，三种关系是具有线性关系的随机变量服从两点分布服从二项分布例如：一次英语测验由50道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。解析：设X为该生选对试题个数，为成绩，则X（50，0.7），=3XEX=50×0.7=35 DX=50×0.7×0.3=10.5故E=E(3X)=3EX=105 D=D(3X)=9DX=94.5总结：在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题。这样才能避免烦琐的运算过程，提高运算速度和准确度。（4）如何正确认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。第一、通过实例，认识正态分布和正态曲线的意义。可以由高尔顿板实验，从频率的角度探究小球的分布规律。以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率值为纵标，画出频率分布直方图。随着重复次数的增加，这个频率直方图的形状就越来越像一条钟形曲线，即正态曲线。从而进一步认识正态分布。第二，可以用计算机和几何画板研究正态曲线随着和变化而变化的特点。并结合的解析式及概率的性质，可以发现正态曲线有六个特点和3原则。4 教学要求（1）标准与大纲要求的对比与说明：内 容标准目标表达大纲目标表达离散型随机变量及其分布列 在对具体问题的分析中，理解取有限量的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。二项分布及其应用在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解几次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。离散型随机变量的均值与方差通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。正态分布 通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。了解正态分布的意义及主要性质，在具体内容上,标准与大纲有明显区别：标准中这部分内容是理科选修内容，大纲要求也是理科选修内容，这是它们的相同点。在大纲中要求的“了解”、“会求”在标准中分别变为“通过实例理解”、“能解决”。从知识要求上来看，标准要求较大纲高一些，具体参看上表。（2）教学要求新课标要求本章和统计案例一章约22个课时完成。与原教学大纲比较，约多了8课时；新课程要求学习两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，而原教学大纲只要求学习几何分布不学习超几何分布；新课程要求学习条件概率，而原教学大纲中不要求学习条件概率；新课标要求用定级分表示随机变量在某区间上的概率（即正态曲线在某区间上的面积），而原教学大纲要求利用标准分布表进行有关概率计算。研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率。分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型，要求通过实例引入这两个概率模型，不追求形式化的描述。教学中，应引导学生利用所学知识解决一些实际问题。教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常用的统计软件解决实际问题。三、重点和难点分析1、在“离散型随机变量及其分布列”这一小节中，两点分布、超几何分布、二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位，因此本节内容的重点是离散型随机变量的分布列；由于随机变量与离散型随机变量不同于从前学习函数时遇到的变量，它是按照一定概率取值的变量。按学生的现有知识和认识水平难以透彻理解，所以教学难点是建立随机变量与离散型随机变量的概念，以及对它们有正确的理解；关键是多考察实际例子，通过它们加深对随机试验、随机变量及离散型随机变量的认识，并熟悉它们的分布列。2、在“二项分布及其应用”这一小节中，由于条件概率、事件的相互独立性这两个重要概念及相关公式，为独立重复试验中的二项分布打下铺垫，因此本节内容的重点为条件概率，事件的相互独立性、二项分布。由于条件概率、事件的相互独立性以前没有学习过，按学生的现有知识和认识水平难以透彻理解，所以教学难点是建立条件概率、事件的相互独立性的概念、公式以及对它们有正确的理解；关键是多考察实际例子，加深对概念公式认识。 3、在“离散型随机变量的均值与方差”这一节中，离散型随机变量的均值（或数学期望）与方差，应着眼于随机现象的整体和全局问题。因此本节内容的重点和难点是离散型随机变量的期望与方差的求法。关键是分析实际例子，通过它们加深对随机变量的数学期望与方差的理解，并能熟练写出随机变量的分布列，根据分布列正确计算随机变量的期望与方差。4、在“正态分布”这一节中，根据新课标的要求，要认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。因此本节的教学重点是正态分布的意义和正态曲线的性质，难点是要结合指数函数的性质来理解这些性质。突破难点的关键是把指数函数的性质与正态曲线图形结合起来，并配合多媒体手段以增强直观性。四重点、难点教学案例条件概率一、教学目标：1、 理解条件概率的概念、公式、性质，并能运用它们计算事件的概率。2、 提高学生推理论证、抽象概括能力，培养学生对数学概念的理解能力和应用能力。二、教学重点和难点重点：条件概率的概念难点：理解条件概率的概念三、教学设计（一） 创设情境，导入新课问题1、3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？分析：由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为.问题2、如果已经知道第一名同学没有抽中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？分析：若抽到中奖奖券用“Y”表示，没有抽到用“”表示，因为已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么所有可能的抽取情况变为A=。由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为（用n（A）表示事件中基本事件的个数），不妨记为P（BA）。结论：知道第一名同学的抽取结果，即知道了事件A的发生，会影响事件B发生的概率，从而导致了P（B）P（BA）。（二） 分析问题，归纳概念问题3、对于上面的事件A和B，计算P（BA）的一般想法是什么？分析：在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和B同时发生，即AB发生。对于古典概型，由于组成事件A的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率为P（BA）=为了把条件概率推广到一般情形，我们对上述公式作如下变形：P（BA）=因此有P（BA）=由于上式已经不涉及古典概型，可以将它作为条件概率的推广定义。设A、B为两个事件，且P（A）0，称P（BA）=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般把P（BA）读作A发生的条件下B的概率。条件概率的性质：1、 0P（BA）12、 若B和C是两个互斥事件，则P（BC）=P（BA）+P（CA）（三）例题示范，学会应用例1 详见数学选修2-3，（人民教育出版社A版）P.60.例1解析详见同上例2 详见同上 (P6061例2)解析详见同上(四) 课堂练习,巩固新知详见同上(P61练习1.2)(五)小结：本节主要学习了条件概率的概念、公式性质及其应用。（六）作业 数学选修2-3（人民教育出版社A版）P68习题2.2 A组2，4“概率”这部分内容长期处在被遗忘的角落，教师对这部分内容也生疏，这要求教师数学观和数学教学观要不断改变，如何进行“概率”内容的教学，本文仅是作者个人见解，仅供同行们参考和商榷。致谢：感谢湖南师范大学昌国良教授对本文悉心指导，感谢海南省教育研究培训院罗才忠老师对本文指出宝贵意见。参考文献1张福生，邹一心，赵小平。贴近生活，重视应用，强调参与。数学教学，1998，（6）.12教育部。普通高中数学课程标准（实验）。北京：人民教育出版社，2003。3杨玉东，范文贵。高中数学新课程理念与实施。海南：海南出版社出版发行。20014人民教育出版社中学数学室编著。教师教学用书（数学第三册（选修II）。北京：人民教育出版社。2004。5人民教育出版社，延边教育出版社联合出版。教案（数学 第三册 （选修II）。2002。6人民教育出版社编著。教学第三册（选修II）全日制普通高级中学教科书。北京：人民教育出版社。2004。7人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著。数学（选修2-3）（普通高中课程标准实验教科书）。北京：人民教育出版社。2005。