一题多解求双曲线的离心率.doc

一、典例分析，融合贯通 典例1 【2016年山东卷理科第13题】已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率为 【解法1】直接法由题意，所以，于是点在双曲线上，代入方程，得，在由得的离心率为.【点睛之笔】直接代入，少走弯路！【解法2】通径法易得，所以，由，得离心率或（舍去），所以离心率为 【点睛之笔】通径法，此径通幽！【点睛之笔】几何法，利用图形画出美好未来！【解后反思】解法1：直接将数据代入，直奔主题，不走回头路！解法2：利用通径，减少计算量！解法3：利用数形结合法，以形助数！典例2 【2009全国卷，理4】设双曲线(a0, b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A. C. D.【点睛之笔】设而不求法，不求也能求！【解法2】导数法设切点 切线斜率 · .· 又 ，故选C.【点睛之笔】导数法，快速确定解题方向！【解后反思】解法1:设而不求法，再也不求人！解法2：利用导数的几何意义，迅速突破难点，确定解题方略！3. 典例3双曲线的离心率为e1,双曲线的离心率为e2, 则 _, e1+e2 的最小值为_. e1·e2的最小值为_ .由双曲线离心率定义知： , 故有.【点睛之笔】均值不等式，不患寡而患不“均”！【解法2】换元法不妨设，则问题相当于：求、的最小值。由均值不等式得： ， ，等号成立，当且仅当 ，即 ，进而推出 即时.而 ， ，等号成立，当且仅当时取等号（由去分母可得：） .故答案依次为： .【点睛之笔】换元法，换了都说好！【解后反思】解法1：一正二定三相等，解起题来不需等！解法2：换元法，越换越简练，越换越明了！二、精选试题，能力升级1.【2018辽宁省八中模拟】已知双曲线的左、右焦点为、，在双曲线上存在点P满足,则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 2.【2018广东省海珠区一模】已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，即，圆化为标准方程，半径为， 双曲线的两条渐近线均和圆相切， ， ， 双曲线离心率对于，故选C.3.【2018广西柳州市一模】若双曲线 上存在一点P满足以为边长的正方形的面积等于（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 4.【2018湖南省永州市一模】已知点为双曲线右支上一点， 分别为双曲线的左右焦点，点为的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图，设圆与的三边、分别相切于点，连接、，则，它们分别是的高， 其中是的内切圆的半径，因为所以，两边约去得，根据双曲线定义，得， 离心率为，双曲线的离心率取值范围为，故选A. 5.【2018陕西西工大附中六模】已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点， 为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为( )A. B. 2 C. D. 4【答案】B 6.【2013课标全国，理4】已知双曲线C：(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ay By Cy Dy±x【答案】：C【解析】：， .a24b2，.渐近线方程为. 7.【2011全国新课标，理7】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A B C 2 D 3【答案】B【解析】8.【2015高考新课标1，理5】已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )（A）（-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，）【答案】A【解析】由题知，所以= =，解得，故选A.9.【2018湖南两市九月调研】已知为双曲线的左焦点，定点为双曲线虚轴的一个端点，过两点的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率为_【答案】 10.【2008全国1，理21】双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程