人教版高中数学新课程标准实验教科书数学4《平面向量》教学建议.doc

人教版高中数学新课程标准实验教科书数学4平面向量教学建议 一、向量进入中学数学的背景分析1 向量的双重性：向量是一个具有几何和代数双重身份的概念，同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构通过向量的运用对传统问题的分析，可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系，也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础这方面的案例包括平面几何、立体几何和向量解析几何2认识向量的另外角度：把平面和空间看出是一个向量场，可以培养学生对结构数学的认识，而结构数学是现代数学发展的主要方向这里也可以把向量的引入理解为现代数学与初等数学的衔接的组成部分之一3.“数、量与运算”的扩大：从“数、量和运算”发展的角度理解“向量”，把向量的加法（减法）、数乘以向量和向量的数量积看作新的运算，使学生认识到数、量和运算的形式在不断的发展更为重要的是在教材和教师教学的处理上应该表现出“数、量和运算”的一个发展趋势链，其中数的发展包括正整数（自然数）零和自然数正分数（有限小数和无限循环小数）非负有理数有理数无理数（无限不循环小数）实数复数，从代数结构的角度看，经历了整数环有理数域实数域复数域（1883年Hamilton的四元数域是不满足乘法交换律的复数域的扩大，在此意义上说复数域是最大的数域），这些“数”所对应的“量”都是一类的，并且至此“运算”的结构没有改变，从整体上看“数”在发展，而“量”及“运算”没有本质的发展因此向量不是“数”的简单扩大，它所关注的不是“数”的扩大问题，而是“量及运算”的扩大问题因而在向量的引入时，不宜从代数方程的角度出发，可能从力学的实际背景出发更能体现出“量”的发展同时还应该强调的是向量代数是以前所有“数的运算”的一个发展（如果我们能够引入向量的向量积运算，将使学生第一次看到运算可以不满足交换律的真正案例），使学生对此问题有一个发展的理解，由此也为今后引入矩阵及其运算做了铺垫4数学和物理学的关系在向量中的体现：数学和物理学的关系在中学阶段应该得到重视和发展，事实上一个良好的物理或现实背景是学生对数学产生兴趣和学好数学的重要因素，并且数学和物理世界是如此的紧密关联。数学和物理学的关系是有目共睹的而向量在力学中的应用即使在中学阶段也是不难发现的使学生尽早地认识到数学与物理世界的紧密关系，不仅可以增强学生学习的兴趣，同时也使学生认识到数学伟大的社会性5国际数学教育对向量的处理：国际数学教育的发展已全面反映了综合几何的学习的落后，向量和矩阵进入中学数学是一个大的趋势。比如美国的学校数学的原则和标准、新西兰数学课程标准和澳大利亚数学教学大纲都在此问题上有全面的反映从总体上分析，基本共识是基于以下的事实：1899年希尔伯特的几何学基础的发表，标志着几何学基础的彻底革新，也发展了现代数学的公理化模式以此为推动力，数学本体上在这个方面的研究几乎穷尽中学的综合几何就是扩大了公理体系的希尔伯特几何的简单情形如果我国几何教学仍然停留在此不动，那么很难说我们的数学教育反映了数学发展的进程，也与国际数学教育的发展相去甚远6向量的教学实践过程可行性问题：在中学阶段引入是完全可以接受的这是因为，第一，学生有初步的平面坐标几何的基础；第二，教师有良好的立体几何的教学背景，教师在把传统的综合几何转移到向量代数处理立体几何时有很好的直观背景，并可以使之迁移到学生的学习过程中去除此之外，现代化技术（包括多媒体教学技术和后PC时代的掌上技术）在向量的“教与学”中可以帮助教师和学生利用图形计算器、计算机和动态几何软件不仅可以解决几何“直观性”的问题，同时也使得学生的向量学习入门更容易理解在国际上这种案例是很多的二内容与课程学习目标本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容。1通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。2通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。3通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。4了解向量的线性运算性质及其几何意义。5了解平面向量的基本定理及其意义。6掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。7会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。8理解用坐标表示的平面向量共线的条件。9通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。10体会平面向量的数量积与向量投影的关系。11掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。12能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。13经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。三教材特点：1突出向量的物理背景与几何背景。注意从丰富的物理背景和几何背景中引入向量概念。通过日常生活中确定“位置”中的位移概念，说明学习向量知识的意义；通过物理学中的重力、浮力、弹力、速度、加速度等作为实际背景素材，引出向量的概念；利用有向线段给出了向量的几何背景，并定义了向量的模、单位向量等概念。这样的安排，可以使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中的作用，使学生建立起理解和运用向量概念的背景支持。借助几何直观，并通过与数的运算的类比引入向量运算，以加强向量的几何背景。例如，关于向量的减法，在向量代数中，常有两种定义方法，第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，即如果a+x=b，则x叫做向量b与a的差。这样，作ba时，可先在平面内取一点O，再作，则就是ba。第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知、，定义。在这种定义下，作时，可先在平面内任取一点O，作，则由向量加法的平行四边形法则知，。由于，即就是。实践表明，中学生理解第一种定义方法存在困难，但能容易地作出；接受第二种定义方法容易，但作较繁。为便于学生接受，教科书先类比相反数给出相反向量，再把定义为，然后借助几何直观得出的作法（向量减法的几何意义）。2.强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用。为了强调向量作为刻画力、速度、位移等现实中常见现象的有力的数学工具作用，本章特别注意联系实际。特别是在概念引入中加强与实际的联系。例如，在引入向量的概念时，联系了位移、物体在液体中的受力分析、弹簧受力分析等；向量的加法运算、平面向量的正交分解、平面向量的数量积等都与相应的物理问题建立联系；向量加法的三角形法则和平行四边形法则与位移的合成、力的合成相联系。向量也是解决数学问题的好工具。例如，和（差）角的三角函数公式、线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量为工具进行推导；向量作为沟通代数、几何与三角函数的桥梁，是一个很好的数形结合工具。教科书通过“平面几何中的向量方法”进行了介绍，并在第三章用向量方法来推导两角差的余弦公式。这些处理也都是为了体现向量作为基本的、重要的数学工具的地位。3.根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容。向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受，根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排：向量的实际背景及基本概念向量的线性运算平面向量基本定理及坐标表示向量的数量积向量应用举例。具体的考虑是：（1）借助力、速度、位移等现实中的常见现象，让学生认识引进向量的必要性，并得出向量是既有大小又有方向的量，给出向量的概念。（2）数学中引进一个新的量，自然要看看它的运算及其运算律的问题。（3）受到数轴上的点表示数的启发，向量能不能用类似于数轴上的点的形式来表示呢？（4）从运算的角度看，自然要研究两个向量是否可以相乘，如果可以，那么结果怎样？（5）学习的目的在于应用，应用的过程中可以加深理解相关知识，因此安排了“向量的简单应用”。本章内容的这种想法，如果能够让学生在学习过程中明确起来，那么对他们掌握本章内容会有很大帮助。这里需要说明的是，向量的坐标表示的引入，由于目的不同而有不同的处理方式。高等数学教材中，往往采取先介绍向量的概念及各种运算，并直接用向量解决有关几何问题，然后再引进坐标，并用向量和坐标方法讨论空间直线、平面、二次曲面及一般的曲面，其目的是突出向量的工具性。本章为了尽早让学生知道处理几何问题的另两种方法向量法和坐标法，突出数形结合的思想，在平面向量基本定理、平面向量的正交分解后就引进向量的坐标，并把向量的线性运算及向量的共线等用坐标表示。4.强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位。向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决。另外，向量及其运算（运算律）与几何图形的性质紧密相联，向量的运算（包括运算律）可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算（运算律）来表示。例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律（a+b=b+a）又可以表示平行四边形的性质（在平行四边形ABCD中，ADBC，ABCD，ABD ）。这样，建立了向量运算（包括运算律）与几何图形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算（运算律）把向量与几何、代数有机地联系在一起。几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”。这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果。如果把解析几何的方法简单地表述为形到数数的运算数到形，则向量方法可简单地表述为形到向量向量的运算向量和数到形。教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”。为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语。5通过与数及其运算的类比，向量法与坐标法的类比，建立相关知识的联系，突出思想性。向量及其运算与数及其运算既有区别又有联系，在研究的思想方法上可以进行类比。这种类比可以打开学生讨论向量问题的思路，同时还能使向量的学习找到合适的思维固着点。为此，教科书在向量概念的引入，向量的线性运算，向量的数量积运算等内容的展开上，都注意与数及其运算（加、减、乘）进行类比。例如，向量概念的引入用了这样一段话：我们可以从一支笔、一棵树、一本书抽象出只有大小的数量“1”。类似地，我们可以对力、位移这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。又如，在学习向量的运算及运算律时，也是从数谈起的：“数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？”“数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法。”“数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算。类似的，向量的加法是否也有运算律呢？”“我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数。向量的减法是否也有类似的法则？”再如，在向量的坐标表示中，先提出问题：“在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？”然后再利用平面向量基本定理得出向量的坐标表示，并把向量（有向线段）的坐标与点的坐标对应起来，实现向量的运算到数的运算的转化。6用恰时恰点的问题引导学生的数学思维。本章充分利用“观察”“思考”“探究”等栏目设置了大量问题，教科书通过这些问题来启发学生独立思考，加强数学知识的形成过程，提高学生的数学思维水平。例如，引进向量加法运算时，通过“探究”栏目，创设从力的合成到向量加法的问题情景；讨论向量加法的运算律时，提出“数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律与结合律？请画图进行探索。”在讨论向量数乘运算时，先提出“已知非零向量a，作出a+a+a和（a）（a）（a）。你能说明它们的几何意义吗？”平面向量基本定理的引入，先让学生思考“给定平面内任意两个向量，请作出向量3e1+2e2，e12e2。平面内任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢？”引导学生从具体到抽象，概括出平面向量基本定理。四对本章教学的总体要求：1.教学应着眼于学生体会数学与现实生活以及其他学科的联系。向量具有丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计、可运动机器人设计与操控中有着广泛应用。向量也是刻画物理量如力、位移、速度、加速度等的数学工具，它体现了数学与物理的天然联系。因此，向量的学习有助于学生认识数学与实际生活以及物理学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。2.教学要着眼于理解数学运算的意义与价值，发展运算能力。向量作为代数对象，可以进行运算。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。数运算，字母、多项式运算，向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等是数学中的基本运算。从数运算，字母、多项式运算到向量运算，是运算的一次飞跃。向量的数量积运算可以刻画向量的长度，从而使得我们可以通过向量的代数运算刻画长度、体积、面积等几何度量问题。向量运算更加清晰地展现了不同类型的代数运算的特征及其功能，同时，向量运算具有一些数运算不同的运算律，这对于学生进一步理解其他数学运算、发展学生的运算能力具有重要作用。向量的学习，有助于学生进一步体会数学运算的意义以及在运算在建构数学系统中的作用，为理解函数、映射、变换运算、矩阵运算等奠定了基础。3.教学要着眼于让学生掌握处理几何问题的代数方法，体会数形结合思想。向量既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数的对象，向量可以进行运算。作为几何的对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。运用向量刻画几何对象和几何度量问题都是通过向量的代数运算来实现的。因此，向量提供了一种通过代数运算刻画几何对象、位置关系以及几何度量问题的工具。向量集数形于一身，是沟通代数与几何的天然桥梁。另外，教学应注意突出向量的物理背景和几何背景，教与学的重点应落实在向量的代数性质及其几何意义上，要关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用。五教学内容、教学要求、重难点：2.1节内容：平面向量的实际背景及基本概念基本要求：1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、相等向量、平行向量、共线向量的概念。2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量。3.了解向量平行的概念及表示法，了解相反向量的概念。发展要求：平面向量的几何意义及应用。重点：向量的概念、相等向量的概念以及向量的几何表示。难点：正确理解向量的概念和共线向量的概念。2.2节内容：平面向量的线性运算基本要求：1.掌握向量加、减法的定义。并理解其几何意义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量与差向量。2.掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算。3.掌握实数与向量积的定义及向量数乘的运算，并理解其几何意义。4.理解两个向量共线的条件。5.了解向量的线性运算性质及其几何意义。发展要求：掌握向量的运算律以及向量运算的几何意义。重点：向量加、减法的定义及运算法则，实数与向量的积的定义及运算性质。难点：对向量加、减法定义的理解。2.3节内容：平面向量的基本定理与坐标运算基本要求：1.理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。2.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。3.掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，会依据向量的坐标判断向量是否共线。发展要求：掌握利用向量求分点坐标的方法；重视类比思想的培养。重点与难点：平面向量的基本定理。2.4节内容：平面向量的数量积基本要求：1.理解平面向量数量积及其几何意义。2.体会平面向量数量积与向量投影的关系。3.掌握平面向量数量积的性质、运算律。4.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算。5.能运用数量积表示两个向量的夹角。6.会用数量积来处理有关的长度、角度和垂直问题。发展要求：掌握平面向量数量积的应用。重点：平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。2.5节内容：平面向量应用举例基本要求：1.了解向量知识在实际生活中有着广泛的应用。2.能运用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题和其他一些实际问题。发展要求：合理选择向量，解决数学问题。重点：引导学生分析题意，将实际问题转化为数学问题，将几何图形的性质转化为向量关系，将物理量之间的关系抽象为向量关系。难点：将实际问题转化为向量问题。六教学中的注意点：1.引导学生用数学模型的观点看待向量内容在向量概念的教学中，要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成与分解，物体受力做功等，通过这些实例是学生了解向量的物理背景、几何背景，引导学生认识向量作为描述现实问题的数学模型的作用。同时还要通过解决一些实际问题或几何问题，使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法。2.加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路向量既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥；作为几何对象，向量可以刻画几何元素（点、线、面），利用向量的方向可以与三角函数发生联系，通过向量运算还可以描述几何元素之间的关系（例如直线的垂直、平行等），另外，利用向量的长度可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。教学中，教师应当充分关注到向量的这些特点，引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习本章知识。值得特别注意的是，在本章的教学之初，应引导学生通过与数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路，在学完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平。3.引导学生认真体会向量法的思想实质向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量方法是几何研究的一个有效的强有力工具。教学中应当通过实例，引导学生认真体会通过建立向量及其运算（运算律）与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，掌握向量法的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。其中，由于向量的数量积集距离和角这两个刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量于一身，因而它在解决几何问题中的作用更大，应当通过适当的问题引起学生的注意.4.注意与数及其运算、解析几何的思想方法的类比前已指出，向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比使学生体会向量研究中的问题与方法，使向量的学习有一个好的思维固着点。这样的类比是教学中提高思想性的有效手段，因此教学中应当予以充分的关注。另外，从思想实质来说，向量法与解析法是完全一致的，教学中可以引导学生回顾数学2中归纳的解析法的“三步曲”，然后让学生自己概括出向量法的“三步曲”。顺便指出，作为向量数量化依据的平面向量基本定理，教科书是通过具体的例子来说明同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这种表示是学生所不熟悉的。教学中应当充分用好具体例子，使学生形成对基本定理的直观理解，但不要加以证明。在进入平面向量的坐标表示以及平面向量的坐标运算后，可以引导学生通过例题，在解决线段的定比分点、平移、平面上两点之间的距离等问题的过程中，使学生看到结果与在数学2中得到的一样，从而进一步体会平面向量基本定理的内涵。