人教版高中数学《用裂项法证明不等式》教学案例.doc

培养学生发现、探究、解决问题的能力 用裂项法证明不等式教学案例一、相关背景介绍：在今年的高三教学中，发现学生对与数列有关的不等式的证明题常常束手无策，这块内容又是一个考点，通常出在大题目的第三小题，还可与函数数列结合起来出题，证明这些不等式常常要用到几种常用的裂项法、放缩法、构造法，但在用的过程中不是一成不变的套用公式,它需要学生根据题目的特点灵活变化。而本校的学生，一般只能用最简单的裂项法来证明不等式，为此，我关于这块内容，做了一些整理，进行教学。二、本节课教学目标：1、知识与技能：使学生掌握用分式裂项法证明不等式的方法，能对分式裂项法深入理解，学会运用不等式证明过程中比较、放缩的技巧；2、过程与方法：让学生经历阅读、理解、探索、求解的过程，从而培养学生，类比的思想，渗透化归转化的思想。在错误中逐步修正，寻求合理有效途径，以解决问题的能力；3、情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养学生实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神。三、设计理念：通过一个例题的导入，让学生复习最简单的分式裂项证明不等式的方法，为后面的题目打好基础，然后引入变式一，讲解变式一的目的是为了让学生更深刻的理解例一，同时还能把不等式证明同数列求和联系起来，培养学生思维的广度与深度，并在求解的过程中，渗透化归转化的思想。然后再引入变式二，把学生引入了防缩法证明不等式，为下节课做好准备，此外，还强调让学生自己思考问题，探索问题，解决问题，在错误中，不断修正自己的解法，从而最后找到正确的途径，它能提高学生学习的积极性，培养学生抽象思维的能力，分析问题，解决问题的能力。在整节课的最后，提出的思考，让这节课的问题得到了延伸，也起到了分层教学的目的。四、课堂实录：在教学过程中，我首先引入一个简单的例题：例一：求证（此题用裂项法解，学生一般都能证明）证明：由可得不等式左边然后我在例一的基础上引入了两个变式请学生思考。变式一：求证：在此题的证明过程中，我先引导学生尝试用例一的解法去解，学生动笔以后发现也就是说与例一有一定的差距，接着我就提问一：“比较两式会发现问题出在分子的2上，那么如何解决这个问题？”学生回答：“可除以一个2。”这样一来问题就解决了不等式证明可以如下由可得不等式左边做完变式一后我提出了几个问题：“观察变式一的分母，你能否从这些数中找到一个我们都熟悉的数列，这个数列是什么数列？”“能否自己编一道与数列有关的证明题，可用裂项法证明？”学生很容易在分母中找到等差数列，有学生编了一题，但是不知道是多少，在同学的帮助下最后找到答案变式二：证明此题的分母是完全平方，所以不能直接用裂项法，此时我让学生类比例一与变式二，让学生在比较中发现问题，找到解决问题的途径，第一个学生提出想把转化为，因此得出结论这个想法虽好，但是与所要证明的不等式有一定的差距，原本应放大的不等式结果缩小了，面对这个现象，我向学生提出问题：“如何能根据刚才那个同学所讲的，把分母的完全平方变成相邻的两个数，同时不等式不是缩小，而是放大了？一个分式在分子不变的情况下分母如何处理才能放大呢？”根据我的提问，几个程度好的同学已经能够想到解决的方法，我即时给予表扬，并提出改正方案：当n2时,当n=1时, <2显然成立根据上面所讲，我再次提出问题：“如何证明？”“与变式二比较，原先证明小于2现在要证明小于，也就是说放缩的范围更加精确，、这个式子中, 对整个式子的影响最小, 与2比较差了,如何解决这个的问题?”虽然我提出的问题比较零散,但给了学生一定的时间思考问题,让学生反复的尝试,最后有部分同学能得出正确的证明方法.当n3时,当n=1，2时, 显然成立.在这节课的最后,我提出了思考题:已知数列an各项均为正数，并且a1 = a (0 < a < 1)， =，求证：五、课后反思:整节课，自我感觉较好，课堂气氛比较活跃，学生能掌握这节课的基本教学内容，给学生较多的思考时间与想象空间能发挥他们的主体地位。 除了完成这节课的教学任务之外，这节课主要还是在于培养学生，分析探究，解决问题的能力，从类比中发现问题，进行尝试，找出解决的方法，若找出的方法不正确，就进一步的修复，从而培养了学生的兴趣，勇于探索的精神。 在这节课的内容设计上，我把裂项法定位在分式的裂项上，其实裂项法还涉及很多内容，比如根式，二项式都可以；再者，分式裂项，分母是两项的情况是最基本的情况，分母还可以是三项，四项。这些问题，一方面是受时间的限制，另一方面是受应试教育的影响，没有引导学生更进一步的探索问题。