人教版新课程数学高一（上）第二章《函数》ξ2.4 反函数.doc

人教版新课程数学高一（上）第二章函数2.4 反函数（第一课时）一、设计思想以“教师为主导，学生为主体”这一教学原则，注重过程教学、问题教学设计教学过程二、教材分析反函数是研究两个函数的相互关系的一项重要内容,学生掌握了反函数的知识,有助于进一步了解函数的概念,获得比较系统的函数知识,并为以后学习互为反函数的指数函数与对数函数以及三角函数与反三角函数奠定了基础.某函数的反函数，本身也是一个函数（从映射的角度可知,函数y=f(x)是定义域集合A到值域C的映射,它的反函数y=f-1（x）是集合C到集合A的映射），反函数的概念的建立，对研究原函数的性质有着重要作用。三、学情分析通过前一阶段的教学，学生对函数的认识已有了一定的认知结构，主要体现在三个层面：知识层面：学生在已初步掌握了函数的基本性质。能力层面：学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数图象的方法，通过第一章集合与函数的概念后初步具备了数形结合的思想。情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡. 四、教学目标（1）知识目标：理解反函数的定义，知道函数的反函数的表示方法；会求某些简单函数的反函数。（2）能力目标：通过本节课的教学，加强培养学生的数学思想，借助比较原函数与反函数之间的关系，从中渗透“对比”、“由特殊到一般”、“化归”等数学思想。（3）情感目标：提高学生用辩证的观点分析解决问题的意识。 五、重点难点本节课的重点是反函数的求法，难点是反函数的概念。六、教学策略教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价、精讲精练 学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。七、课前准备投影仪、多媒体计算机等.八、教学过程：教 学 内 容师生活动教学意图一、创设情景 引入新课1 函数的概念？2 请回答下列问题：问题1： 回顾旧知提出问题学生回答教师展示复习函数的概念问题2：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt,其中速度v是常量。（1） 那么此函数的定义域和值域是什么呢？反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即，这时，s与t的地位发生了变化：s是自变量，t是因变量。（2） 那么我们称谁是谁的函数呢？结论：这函数中，每一对这样的两个函数之间都存在着必然的联系： 它们的对应法则是互逆的； 它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域.我们称这样的每一对函数为“互为反函数”. 那么什么是反函数呢？学生思考 学生回答学生回答从函数三要素方面回答师生共同分析。师生一起总结。x是 y的函数，这对学生来说是陌生的。从学生熟知物理实例入手，以运动变化观点分析函数概念，渗透反函数思想。再次点明反函数概念。分析两个函数关系揭示反函数本质特征。二启发诱导 归纳总结一反函数的概念1.定义：一般地，设函数的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y)。 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) ()，叫做函数的反函数，记作.在函数中，y是自变量，x表示函数。但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调中字母x，y，把它改写成。2正确理解反函数（1）什么样的两个函数才是反函数？ 对应法则恰好相反，定义域和值域恰好互换（对调）。（2）的反函数是谁？注意符号含义及读法？应该是.它们互为反函数，事实上反函数是相互的。（3）反函数也是函数，函数本质上是映射。那么在映射观点下，反函数是什么？从映射的定义可知，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数是集合C到集合A的映射，因此，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域（如下表）：函数反函数解析式定义域AC值 域CA（4）反函数定义给出了反函数的求法。教 学 内 容学生在老师的启发诱导下通过观察、对比探索尝试抽象出反函数的定义老师板书媒体显示提出问题师生探索学生填表师生活动培养学生探索问题归纳总结问题的能力加深理解领会实质再次明确关系教学意图二求反函数例1（课本第62页 例1）求下列函数的反函数：； ； .解：由解得函数的反函数是。由解得x=,函数的反函数是【归纳总结】：求反函数的一般步骤。 一求值域：求原函数的值域二反解：由原方程得 三对换：对换x，y得，并注明定义域。 再解例1：解：x0，原函数的值域y1.由y=+1解得x=(y-1)2, 函数的反函数是x=(y-1)2 (x1);x1 =2+2，解得 。函数的反函数是 教 学 内 容展示例题学生回答尝试归纳注重总结师生同做老师板书规范步骤学生板演师生活动学会求反函数，形成能力。规范方法和书写步骤。方法从实践中来指导实践。特别注意：反函数的定义域是原来函数的值域！故先求值域。先求值域。掌握分段函数的反函数的求法！分段求得反函数再综合教学意图【解题小结】：共同归纳幻灯显示师生同解。引导学生弄清题目类型。提出问题强化定义及时总结，形成方法定义域和值域都应由原来的函数确定巩固反函数的理解三课堂练习 参见学案练习（A）、（B）组B组供部分同学选作四课堂小结1 反函数定义；2 反函数与原函数的关系；3 求反函数的一般步骤。五布置作业 教科书P64 习题 2.41、；2、 4巩固所学使知识系统化，强化要点板书设计2.4 反函数（1）一反函数的概念1定义：2理解： 二求反函数 1例题： 2求反函数步骤：教后记这是笔者参加市教学能手评选的一节公开课，参加听课的的学生基础一般，在课堂提问中，授课人能教好的启发、诱导学生，从错误的思考中过渡到正确的认识上来，具有较高的课堂应变组织与驾御能力，突出体现以学生为主体，老师为主导、思维为主线的教学方法。课后，该节课被评为参赛18位选手中的最高分，授课人也被评为“市教学能手”。十、作业设计2.4.1反函数的概念及求法学案【学习要求】：理解反函数的概念，会求简单函数的反函数，掌握互为反函数的三要素的之间的关系。【重点难点】：重点为反函数的求法；难点为反函数概念的理解。【互动课堂】：一、 反函数的概念：1 定义：一般地，设函数的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用 表示出，得到 。 若对于y在C中的任何一个值，通过 ，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示 ，这样的函数x=(y) ()，叫做函数的反函数，记作 . 习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调 中字母x，y，把它改写成 。2 理解：（1）反函数是函数吗？为什么？ （2）所有的函数都有反函数吗？什么样的两个函数才是反函数？ （3）的反函数是谁？注意符号含义及读法？（4）函数本质上是映射。那么在映射观点下，反函数是什么？函 数反函数解析式定义域A值 域C从映射的定义可知，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数是集合 到集合 的映射，因此，函数的定义域正好是它的反函数的 ；函数的值域是它的反函数的 . （如右表）：（5）反函数定义给出了反函数的求法。二、求反函数：1 例题精讲：例1.求下列函数的反函数略 . 解： 解： 总结归纳：求反函数的步骤： （1）（2）（3）例2求函数的反函数。解：总结归纳：求分段函数的反函数应： .例3已知函数f（x）=x2-1 （x-2），求f -1（4）的值。解：思考：若函数y=f（x）存在反函数，且f（a）=b，则f -1（b）=？三课堂练习： （A）1函数y=-x2+1（x0）的反函数是（ )A B. C. D. 2.如下图表示的函数中，存在反函数的只能是（ ） A B C D3函数f（x）=x2（x0）的反函数为 .4函数y=）的反函数是 .（B）1若函数，则它的反函数是（ ）Ay=x2+2 （xR） B. y=x2+2 （x>0）C. y=x2+2 （x0） D. y= -x2+2 （x0） 2设函数f（x）=，则f -1（2）=（ ）A B. C. D.3.已知函数y=f（x）有反函数y=f -1（x），则 .4已知函数.（1）求反函数 ；（2）试研究该函数与反函数的单调性。【问题研讨】【研究性课题】：哪些函数的反函数还是它本身？参考书目：（1）课本P62-63页“互为反函数的函数图象间的关系”; (2)反函数教学的研究性设计数学教学2002年第1期。等【拓展视野】数学阅读材料 反函数中应注意的几种关系反函数与其图象之间的概念关系是高中数学中的一个重点和难点问题，也是学生容易出错的知识点.本文就此问题谈谈几种应该澄清的关系，供师生们作以参考。一、 反函数和原函数与它们图象间的关系由于反函数概念中没有从映射的深层来叙述，从而导致学生对其定义域理解不到位，经常对、间的函数关系与图象关系搞不清楚,以致学习此部分知识时感到很吃力,下面将分类作以说明.1、与是定义上的反函数，即理论上的反函数,它们的图象是相同的.如与即为是理论上的反函数,但它们的图象是相同.2、与是应用上的反函数,它们的图象关于对称.如与是应用上的反函数,它们的图象关于对称.3、与是应用上的反函数，只没有反解罢了,它们的图象关于对称.如与即为是应用上的反函数，它们的图象关于对称.4、与都是的反函数,它们的图象关于对称.如与是反函数关系,它们的图象关于对称.5、与表示同一反函数，只是形式不同,它们的图象是相同的.如与即为,它们的图象是相同的.6、与都是的反函数，它们的图象关于对称.如即为与即为互为反函数,它们的图象关于对称.二、 反函数与原函数间的性质关系1、函数与函数的图象关于对称. 2、函数与其反函数在各自定义域内的增减性是一致的.3、函数与其反函数在各自定义域内的奇性是一致的.4、纯单调函数必有反函数，但非单调函数不一定没有反函数；有反函数的函数不一定是单调的.5、如果与表示同一函数，则函数的图象关于直线成轴对称图形.6、奇函数不一定有反函数，偶函数不一定没有反函数.如时就没有反函数;-是偶函数,它存在反函数7、等式不定成立,只有当的定义域A与值域B满足时, 方可成立. 8、不一定是的反函数,只有当有反函数时,其反函数应为而不是9、若函数与其反函数的图象有公共点，则公共点不一定在直线上，而应在上，或关于直线对称地成对出现.当函数是单调增函数时,与它的反函数的图象的交点一定在上.三、几种易混淆的关系1、 图象关于对称的两个函数不一定互为反函数的.如函数与的图象关于对称,但两个函数不互为反函数.2、 在求解反函数的两个步骤中反解是次要的,互换是主要的,互换直接决定图象的性质.3、 不作限定的偶函数一定不存在反函数.如不存在反函数.4、 分段函数可能存在反函数,也可能不存在反函数.5、 如 存在反函数;而 不存在反函数.