人教A版高中数学必修一《方程的根与函数的零点》教学设计.doc

人教A版高中数学必修一方程的根与函数的零点教学设计教材版本：普通高中课程标准实验教科书·数学1·必修·A版，人民教育出版社，2007年1月第二版课题：§3.1.1方程的根与函数的零点教学目标：【知识与技能】了解函数零点的概念，理解方程的根与函数的零点的关系；理解图象连续的函数存在零点的判定方法，并能进行简单的应用。【过程与方法】在探究方程的根与函数的零点的关系，图象连续的函数存在零点的判定方法中体会数形结合、函数与方程的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。【情感态度与价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值；在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，培养学生的辨证思维。教学重点：方程的根与函数的零点的关系；图象连续的函数存在零点的判定方法及应用。教学难点：图象连续的函数存在零点的判定方法的理解。教具准备：直尺Powerpoint 2003课件几何画板4.07课件学具准备：计算器教学方法：问题探究法教学过程设计：一、创设情境：问题引入：求方程的实数根。变式：求方程的实数根。数学史上，人们曾希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果，1824年挪威年仅22岁的数学家阿贝尔（N.H.Abel，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。五次以上的高次方程不能用代数运算来求解，我们就必须寻求新的角度函数来解决这个方程的问题。设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过对数学史的讲解，培养学生学习数学的兴趣，开门见山地提出利用函数思想解决方程根的问题。二、新知探究：1零点的概念：问题1：求方程的实数根，并画出函数的图象。，具有多重角色，它能够使这个方程成立，也能够使这个函数的函数值为0，它又是函数图象与轴两个交点的横坐标。这样，就把函数与方程联系到一起了，在方程里，叫做方程的实数根，在函数里，它能够使得函数值为0，我们就称它为函数的零点。对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点（zeropoint）。设计意图：以学生熟悉一元二次方程和二次函数图象为平台，观察方程和函数形式上的联系，得出函数零点的概念。问题2：求函数和函数的零点。结论：函数的零点是个实数，是方程实数根，是函数的图象与轴交点的横坐标（学生可能认为零点是个点，在这里要强调）。问题3：探究一元二次方程的实数根和对应的二次函数的零点及图象与轴交点的关系。（填下面表格）方程的实数根 无实数根函数图象与轴的交点，无交点函数的零点，无零点结论：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。设计意图：通过对一般形式一元二次方程和对应的二次函数的研究，进一步理解方程的根与函数的零点的关系。练习：1求下列函数的零点：（1）（2）（3）y2已知函数的图象如下图所示，则函数的零点为。-213Ox答案：1（1）（2）（3）2。设计意图：通过练习，使学生进一步理解函数零点的概念，强调求函数的零点可转化为求方程的根或求函数图象与轴的交点。2函数零点的判定：问题4：观察下列两组画面，请你推断一下在他的徒步行程中是否一定趟过这条小溪？（2）（1）第（1）组说明他的徒步行程中一定趟过这条小溪，第（2）组中不一定趟过这条小溪。问题5：满足什么条件，才能使函数在间的图象与轴一定有交点？将小溪抽象成轴，将前后的两个位置视为、两点。请问当、与轴怎样的位置关系时，间的一段函数图象与轴一定会有交点？、两点在轴的两侧。如何用数学符号（式子）来表示？。并且函数图象必须是一条连续不断的曲线。设计意图：从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，整体与局部的关系。将现实生活中的问题抽象成数学模型，由图形语言转化为数学语言，培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。问题6：观察二次函数的图象，在区间上，函数值和的积与0的大小关系如何？函数在是否存在零点？在区间上，函数在区间上存在零点。问题7：观察二次函数的图象，在区间上，函数值和的积与0的大小关系如何？函数在是否存在零点？在区间上，函数在区间上存在零点。设计意图：通过对二次函数图象的分析，进一步探究函数在某个区间上存在零点的条件。通过以上探究，让学生自己概括出对于一般的函数在区间上满足什么条件就存在零点？零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。（1）函数图象连续不断，端点函数值异号，函数一定存在（至少有一个）零点。问题9：若函数在区间内有零点，一定有吗？不一定，如，可以发现在区间上有零点，但。（2）函数存在零点，端点函数值不一定异号。设计意图：使学生准确理解零点存在性定理，强调结论不能随便改动。三、新知应用与深化：例1观察下表，分析函数在定义域内是否存在零点？21012107917105分析：函数图象是连续不断的，又因为，所以在区间上必存在零点。我们还可以通过几何画板作图帮助了解零点大致的情况。设计意图：初步应用定理来判断函数零点存在问题。引导学生探索判断函数零点的方法，通过作出的对应值表，来寻找函数值异号的区间；还可以借助几何画板作出函数的图象分析零点问题，并对函数有一个零点形成直观认识，为例2判断函数零点的个数作好准备。例2求函数的零点个数。分析：用计算器或计算机作出的对应值表和图象。由表可知，则，说明函数在区间内有零点。结合函数的单调性，进而说明的零点仅有一个。结论：图象连续的单调函数若存在零点，则零点唯一。设计意图：学生应用例题1方法来解决例题2的零点存在性问题，并结合函数的单调性判断零点的个数问题。四、达标检测：1已知函数图像是连续不断的，且有如下对应值表：21012313.115.152.696.7532.723.6则函数至少有零点（）A1个 B2个 C3个 D4个2设是方程的根，则在下列哪个区间内 ( )A B C D3已知函数在上有零点，则的取值范围是_。4若函数的两个零点是2和3，则_。5方程的根有_个。答案：1C2B343851五、课堂小结：通引导让学生回顾零点概念，方程的根与函数零点的关系，以及零点存在性判断，鼓励学生积极回答，然后老师从数学思想方面进行总结。六、课后作业：课本练习1、2习题3.1A组1、2七、下节预告：我们已经可以利用求根公式来求一些方程的根，对于没有公式解的方程，我们借助函数的零点能估计方程的根所处的大体区间，能不能求出方程的根呢？这就是我们下节课学习的内容用二分法求方程的近似解。教学反思：本节课在新课标理念的指导下，本着“教师的主导地位与学生的主体地位相统一”的教学原则下组织本节教学。采用问题探究式的教学方法并配以多媒体辅助教学，通过教师的点拨，启发学生主动思考、动手操作来达到对知识的发现和接受，并形成初步的应用技能。在教学过程中充分遵循学生的认知规律，在生活事例的引领下，进入新知识的学习，直观情境又在学生积极思考的过程中激发学生的学习热情和探究欲望。通过学生自主、合作、探究，在探索与交流中解决问题，形成自己对本节课重难点的理解和掌握。课堂练习和例题，由浅入深，承上启下，各有侧重，不但突出了本节课的重点内容，而且让学生体会运用函数性质及其图像来解题的重要数学思想。教学环节层层深入，环环相扣，充分体现了师生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动手操作、动眼观察、动脑思考、层层递进，亲历了知识的形成和发展过程。教学过程中的出现的几个问题：y1在探求函数零点存在性定理时，学生提出满足条件也不一定存在零点，如图所示：xabO注意：这不是函数图象。2例2还可以看作是两个函数的交点问题。如：函数与。因为联立方程组,消去，得到即,故函数的零点也是两函数图象交点的横坐标。这样将未知函数图象转化为已知函数图象问题，进一步加强数形结合思想的应用意识。3在目前高考不允许使用计算器的情况下，可提醒学生学会利用估算来确定函数值的大小。如例2中计算：，。4为了说明“图象连续的单调函数若存在零点，则零点唯一”，给出的两个例题中函数都只有一个零点，但防止给学生一种“函数至多有一个零点”的错误认识。如：课本练习2（4）就有三个零点。