8年级数学(上)培优辅导之四(直角三角形).doc

江山二中八年级数学（上）培优辅导之四（直角三角形）班级_姓名_勾股定理（及逆定理）： C=90o （c为斜边）a2+b2=c2 直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余(角的关系)、勾股定理(边的关系)，30°角所对的直角边等于斜边的一半(边角关系)，这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用勾股定理是现阶段线段计算、证明线段平方关系的主要方法，运用勾股定理的逆定理，通过计算也是证明两直线垂直位置关系的一种有效手段等腰三角形三边之比为1:1：；30o的直角三角形三边比为1：2例题求解【例1】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边ABD，连结DC，以DC为边作等边DCE，B、E在CD的同侧，若AB=，则BE=_ 【例2】 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为_.【例3】 如图，P为ABC边BC上的一点，且PC2PB， 已知ABC45°，APC60°，求ACB的度数 【例4】在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，设ACb，BCa，AB=c，CD=h 求证：（1）； (2) ； (3) 以、为边的三角 形是直角三角形 【例5】 一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形 是否存在若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由学历训练 1如图，AD是ABC的中线，ADC=45°，把ACD沿AD对折，点C落在点C的位 置，则BC与BC之间的数量关系是_ （第1题） （第2题） 2如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACD重 合，若AP3，则PD的长等于_ 3如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，ADBC于D，则AD=_4如图，四边形ABCD中，AB3cm，BC=4cm，CD=12，DA=13cm，且ABC=90°， 则四边形ABCD的面积是_cm2 （第3题） （第4题） （第5题） （第7题）5 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，则梯子底端的滑动距离_米。6 如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是( ) A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定 7在四边形ABCD中，A=60°，B=D90°，BC=2，CD=3，则AB=_.8如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：(1)使三角形的三边长分别为3，2，；(2)使三角形为钝角三角形且面积为4 （第8题） （第9题） (第10题) 9如图，在ABC中，AB=AC，A=120°，MN垂直平分AB，求证：CM=2BM10、如图，圆柱体的棱AB=10，AE=2，CD上F点，CF=6，圆柱底面周长为16，（1）如一只蚂蚁从E沿着外曲面爬到F，求出最短路线的长。（2）如F点在里面，蚂蚁从E爬到F，求出最短路线长。11、如图，在ABC中，BAC90°，AB=AC，E、F分别是BC上两点，若EAF=45°，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由 12如图，在ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，则BC的长为_ （第11题） （第12题） （第13题） （第14题） （第15题） 13如图，设P是等边ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度数 14如图，一个的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是2015，那么这样的直角三角形共有几个说明过程。 15如图，用3个边长为l的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为_. 16若ABC的三边a、b、c满足条件：，求三角形 的周长与面积。 江山二中八年级数学（上）培优辅导之五（特殊三角形）班级_ 姓名_1已知ABC两边a=4，b=3，按以下条件分别求第三边c的长度范围 。 （1）ABC是直角三角形 （2）ABC是锐角三角形 （3）ABC是钝角三角形2如图，ACB=90°，AD是CAB的平分线，BC=4，CD=，求AC的长3如图，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜边BC的中点，F、F分别是 AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5，求DEF的面积4如图，在ABC中，AB=AC，(1)若P是BC边上的中点，连结AP， 求证：BP×CP=AB2一AP2；(2)若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系请证明你的结论（备用图）5如图，RtABC中，ACB90°，CDAB于D，AF平分CAB交CD于E，交CB于F，且EGAB交CB于G，求证：CF=GB6如图，ABC是直角三角形，ABC90°，AB=4，ACB30°，D在BC上；如ADC沿着AD对折，使得C点落在E处，且CDDE，求AEC面积。7 如图ABC和DBE都是等腰直角三角形，且A、E、F、D在一条直线上，BFAD。（1）求证：ABECBD （2）AD、CD、BF之间有何数量关系写出并证明你的结论。8ABC，ACB90°，分别以三边为边长向外作正ADC、正EBC、正ABF，设它们的面积分别为S1、S2、S3。（1）直接写出S1、S2、S3的数量关系：_；证明上述结论。（2）将正ADC、正EBC、正ABF都改成半圆，结论成立吗为什么9（双正方形问题） 以ABC的边AC、AB向外作正方形ACFG和正方形ABDE，过A作ANBC，交GE于M，求证：M为GE中点。 10如图，在四边形ABCD中，ABC=30°，ADC=60°，AD=CD，求证：BD2=AB2+BC211. ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D、E在BC边上，取DAE=45°。（1）如BD=3，CE=4，求DE长； （2）当D在E左边时，写出BD、DE、CE之间的等量关系，并证明。 江山二中八年级数学（上）培优辅导自测三（特殊三角形）班级_姓名_1、直角三角形有两条边的长为6、8，那么第三边上的中线长是_；2、如等边三角形的边长为4，那么它的面积是_；面积为16的等边三 角形的边长是_；3、如图，CAB=45o，P是CAB内部一点，AP=4，M、N分别在AB、AC上，那么PMN 的周长为_； （第3题） （第4题） （第5题）4、一只蚂蚁从圆柱体的B点绕着侧面一圈爬到棱AB中点C处，如AB=10, 圆柱体的底面周长为12，那么蚂蚁爬行的最短路程为_；5、RtABC的斜边AB=10，AC=8，将BC沿BD对折，C点落在AB边的E点，那么折痕BD=_；SABD=_;6、ABC的边AB=20，AC=15,BC上高AD=12，则ABC的面积为_；7、如图，ABC是等腰直角三角形，ABBC，D是斜边AC的中点，F、F分别AB、AC边上的点，且DEDF，若CF=3，AE=4，（1）求EF的长。（2）求证：四边形BEDF面积是一个定值，并求出定值。 8、如图，ABC是等边三角形，延长BA到D点，延长BC到E点，使AD=BE,连接CD,CE, 求证：CD=CE 9、ABC是等腰直角三角形，C是直角顶点，将AC沿着AD对折，使得C点落在E点，再将BDE沿DE对折，B落在F点，设DE=a，对于下列结果：DF平分ADE ； BC=（2+）a ； AF=FD ； BDE周长=BC （1）正确的结论有_（填序号） （2） 选一个结论加以证明。 10、ABC和DBE都是等腰直角三角形，B是直角顶点，D在AC边上，如AD=3，CD=4，求四边形ADBE的面积与周长。 江山二中八年级数学（上）培优辅导之六（专题练习）班级_ 姓名_【专题一】几何中的多值问题（分类讨论）1、 直角三角形有两条边的长为6、8，那么第三边上的中线长是_。2、 直角三角形有两条边的长为5、12，那么斜边边上的中线长是_。3、用直角边为3、4的两个直角三角形拼成一个凸四边形，该四边形周长为_。4、等腰三角形有两边的长为4和6，那么它的周长为_;面积为_.5、等腰三角形ABC，AB=AC，P在射线CB上，PDAB于D，PEAC于E，BFAC于F，则PD、PE、BF间的等量关系为_。6、平面上依次四点A、B、C、D，且AB=3,BC=12，CD=13，AD=4，A=Rt，则由A、B、C、D四点依次连接得到的图形面积为_.7、ABC的边AB=26，AC=25，BC上高AD=24，则ABC的面积为_；8、等腰三角形一条腰上的中线将它的周长分成12和9两部分，则它的底边长为_。9、在ABC中，已知ABAC，且过ABC某一顶点的直线可将ABC分成两个等腰三角形，则ABC各内角的度数分别为_ 10、等腰三角形腰上的高等于腰的一半，这个等腰三角形的顶角度数为_.11、一个等腰三角形某条边上的高等于其中一条边的一半，这个等腰三角形的顶角度数为_.12、如图直线m、n互相垂直，A、B分别在n、m上，在m或n上找C点，使得ABC为等腰三角形，这样的点C可以有_个。 （12题） （13题）13、RtABC直角边长AC=6，BC=8，P、Q同时分别从A、B出发，经C点先后到达对方的出发点，已知P点和Q点运动速度分别为每秒1和2个单位，作PDDC，QEDC，问经过几秒钟，PDC和QEC全等。【专题二】方程与勾股定理（代数几何相结合）14、等腰三角形ABC，AB=AC=5，BC=6，则腰上的高=_.15、直角ABC, C=90O,AC=6，BC=8，以BC为直角边向外作直角BCD，使得DBC是等腰三角形，则CD=_。16、旗杆顶端垂下一条绳子，拖在地面的部分长度为1米，将绳子下端点沿地面向外拉，绳子拉直时，下端点与旗杆底端距离为5米，由此可知旗杆高_米。17、正方形ABCD 内接一个正三角形AEF,E在BC上，F在CD上，如AB=2，求AE.18、ABC三边AB=3，AC=5，BC=7，求三角形面积和A度数。19、下图ABC，AB=AC=4，A=120O，P沿AB，Q沿BC同时出发，设P、Q速度分别为1和。（1）当BPQ为Rt时，求运动时间。（2）当BPQ为等腰三角形时，求运动时间。20、如图将AB=6，BC=8的长方形沿BD对折，使得C点落在C1处，求AE及BED面积。 （19题） （20题） （21题） (22题)21、如图将AB=6，BC=8的长方形沿EF对折，使得D点落在B处，C点落在D1点；求（1）AE； (2) BEF面积； （3）折痕EF。22、如图长方形ABCD，AB=10，BC=8，P、Q同时分别从A、B出发，沿ABCDA运动，当一个点先到达A点，另一个点就停止运动；设P、Q每秒分别行和2个单位，当BPQ为等腰三角形时，求出运动时间及BQ长度。【专题三】最短路线问题 （优化思想）1、如图：点A、B与直线m的距离分别为300m和100m，过A、B作m垂线段，垂足为C、D,如CD=300m，设P点在m上，则AP+BP最短等于_。2、如图：A、B在4×5网格交点处，小正方形边长为1，在m、n直线上找C、D点，使得四边形ABCD周长最短，这个最短距离等于_。3、正方形ABCD边长为4，E是CD中点，设F在AC上，则FD+FE最短=_.4、四边形ABCD,AB=BC=AD=DC=2, D=120O，E是AB中的，设F在AC上，则FE+FB最短=_.5、如图：长方形长宽高分别为5，3，4，现在一只蚂蚁沿着外表面从A爬到B点，则最短路程=_.6、如图：圆柱体侧棱AB=10,AG=3,CF=2,圆柱底面周长为24，如一只蚂蚁从G沿着表面爬到F点，最短路线长=_；如E在上面圆周上，则蚂蚁沿着G-E-F爬到F点，最短路线长=_。7、如图：从圆柱B处出发将绳子在面上绕一周半，另一端恰好在C点，如AB=5，圆柱底面周长为8，则绳子最短长_.8、如图：A、B是河岸两侧的两点，要在河上建一座桥CD,（CDm），怎样建，使得A到B的路程最短画出示意图，并写出画法。江山二中八年级数学（上）培优辅导之六（专题练习）班级_ 姓名_【专题四】动态探究问题（分类和转化思想）1、已知两个共一个顶点的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB，ME.（1）如图，当CB与CE在同一直线上时，求证：MBCF；（2）如图，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图，当BCE=45°时，求证：BM=ME.2、将RtABC绕直角顶点C逆时针转a度到A1B1C（a为锐角）。（1）如a=30o， 求DBB1； (2)若A1B1过A点，求a； （3）a为多少，DBB1是等腰三角形。3、正ABC内有O点，AOB=110O ，BOC=a，将三角形BOC绕C点顺时针转60O得ADC，连OD。（1）判断说明ODC形状；（2）如a=150O，AO=10，BO=8，求CO。 （3）如ODA为等腰三角形，求a值。4、等腰直角ABC，CDAB，（1）将ACD绕点D旋转，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图1，求证：AE 2BF 2EF 2；（2） 将ACD绕点C旋转，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图2，此时AE 2BF 2EF 2是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。；