151空间几何体的结构与三视图-版块2题库.docx

板块二：柱、锥、台、球及其简单组合体（一） 知识内容1几何体：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等2构成几何体的基本元素：点、线、面几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母来命名；几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般用一个小写字母或用直线上两个点表示；一条直线把平面分成两个部分几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的；平面一般用希腊字母来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面，平面或平面一个平面将空间分成两个部分3用运动的观点理解空间基本图形间的关系：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成体4从长方体实例看空间几何体的基本元素：如图的长方体通常记为，它有六个面（即围成长方体的各个矩形），十二条棱（相邻两个面的公共边），八个顶点（棱与棱的公共点）看长方体的棱：，；（与有什么关系呢？可以引出两条直线的一种新关系：异面）看长方体的面：平面平行于平面，平面平行于平面 棱垂直于底面，棱垂直于侧面5多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线如上面长方体中，有四条对角线，又称体对角线，称为面对角线凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体6截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的截面，如图<教师备案>立体几何中的平面与我们平时看见的平面是有区别的，立体几何里的平面是理想化的，绝对平且无限延展的，它是点的集合立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的，它无大小之分，无形状，无边沿，无厚度，不可度量我们通常画平行四边形表示平面，它表示的是整个平面，没有边沿，一般把这个平行四边形的锐角画成，并将横边的长度画成邻边的两倍画两个相交平面时，当一个平面的一部分被另一部分遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画，以增加立体感有时根据需要我们也可以用其它平面图形来表示一个平面，如用三角形，圆等在立体几何中，辅助线并不总是虚线，而是根据实际情况，能看到的用实线，被遮住的用虚线，以增强立体感，更好地配合空间想象我们说两个平面时，通常情况下是指两个不重合的平面异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线如果两条直线既不平行又不相交，则它们是异面直线7棱柱：棱柱的概念：由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面 叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高右图中的棱柱，两个底面分别是面，侧面有，等四个，侧棱为，对角面为面，为棱柱的高棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱；侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱棱柱的记法：用表示两底面的对应顶点的字母表示棱柱；用棱柱的对角线端点的两个字母表示棱柱例如：上面的棱柱是斜四棱柱，记成棱柱或棱柱等特殊的四棱柱：8棱锥：棱锥的概念：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高棱锥的分类：底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥；底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高棱锥的记法：用顶点和底面各顶点的字母表示或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母表示如上图的五棱锥记为棱锥或棱锥9棱台：棱台的概念：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高棱台的性质：棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例；棱台的记法：用上下底面的字母表示或者用一条对角线两个端点的字母来表示正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高右图为一个正三棱台，记为棱台，侧棱，延长后必交于一点，为上下底面的中心，它们的连线是棱台的高，是棱台的斜高<教师备案>1正棱锥的性质很多，要特别注意的是：平行于底面截面的性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段所得的截面和底面是对应边互相平行的相似正多边形截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比，即等于截得的棱锥与已知棱锥的高的平方比有关正棱锥的计算问题，要抓住四个直角三角形和两个角：正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形，即下图，这是解决正棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握2棱台的性质都由截头棱锥这个特征推出的，掌握它的性质，就得从这个特征入手，有关正棱台的计算问题，应抓住三个直角梯形、两个直角三角形：即正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的外接圆半径，侧棱，斜高，两底面边长的一半，组成三个直角梯形（梯形，）和两个直角三角形（，）10圆柱、圆锥和圆台：将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台这条旋转轴叫做几何体的轴，轴的长即为该旋转体的高垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形11球与球面：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径一般用球心的字母表示一个球球面也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合，球体可以看成到空间中一个定点的距离小于等于定长的点的集合球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离飞机、轮船都尽可能以大圆弧为航线航行球的截面性质：球的小圆（指不过球心的截面圆）的圆心与球心的连线垂直于小圆所在平面，有，其中为截面圆的半径，为球的半径，为球心到截面圆的距离，即球心与截面圆圆心的距离<教师备案>纬线与纬度：赤道是一个大圆，它是纬线，其它纬线是由与赤道面平行的平面截球所得到的小圆，某地的纬度就是经过该点的球半径与该半径在赤道面上的正投影所成的角的度数如图：圆是赤道面，圆是纬线圈，点的纬度就等于的度数，也等于的度数经线与经度：经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆，在同 一条经线上的点的经度都相等，如图点的经度与点的经度相等，在地球上确立了一条经线为本初子午线（经线） 任意点的经度就定义为经过它的经线与本初子午线在同一个纬线圈上的交点与该纬线圈的圆心连线所成的角（以后能证明，这样的角必然相等，定义是合理的）如图，如果经过的经线是本初子午线，则点的经度就等于的度数，也等于的度数<教师备案>球面与球体是两个不同的概念，要注意它们的区别与联系球面的概念可以用集合的观点来描述球面是由点组成的，球面上的点有什么共同的特点呢？与定点的距离等于定长的所有点的集合（轨迹）叫球面如果点到球心的距离小于球的半径，这样的点在球的内部，否则在外部地球上的经线的分布从本初子午线开始，往东往西分别是东经与西经，本初子午线既是东经线，又是西经线，转半圈后的东经与西经又重合成一条经线，与本初子午线合成一个大圆如果球面上两点的连线不是直径，则经过这两点有且只有一个大圆，如果恰为直径，则可以作无数个大圆（二）典例分析： 【例1】 能保证棱锥是正棱锥的一个条件是（ ）A底面是正多边形 B各侧棱都相等 C各侧棱与底面都是全等的正三角形 D各侧面都是等腰三角形【例2】 判断下面这个命题是否正确：由两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱【例3】 能保证棱锥是正棱锥的一个条件是（ ）A底面是正多边形 B各侧棱都相等 C各侧棱与底面都是全等的正三角形 D各侧面都是等腰三角形【例4】 一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）A底面是正方形，有两个侧面是矩形 B底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C每个侧面都是全等矩形的四棱柱 D底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 【例5】 （2008全国II理16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件 ；充要条件 （写出你认为正确的两个充要条件）【例6】 （2002北京理10）设命题甲：“直四棱柱中，平面与对角面垂直”；命题乙：“直四棱柱是正方体”那么甲是乙的（ ）A充分必要条件 B充分非必要条件C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件【例7】 （2004全国）下面关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的序号是_【例8】 判断下列说法是否正确，并说明理由：四边相等的四边形是菱形；若四边形的两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体；平行四边形是一个平面多面体至少有四个面 根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起【例9】 下面是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：如果在多面体的底面，那么哪一面会在上面？如果面在前面，从左边看是面，哪一个面会在上面？如果从左面看是面，面在后面，哪一个面会在上面？【例10】 任给三个平面，可能把空间划分成几个部分？【例11】 （2007重庆理3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A5部分 B6部分 C7部分 D8部分【例12】 把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ） A13部分 B19部分 C21部分 D27部分【例13】 给出如下四个命题：用一个平面去截一个正方体，截出的面一定是正方形或长方形；用一个平面去截一个圆柱，截出的面一定是圆；用一个平面去截圆锥，截出的面一定是三角形；用一个平面去截一个球，无论如何截，截面都是一个圆其中正确命题的个数为（ ） A1个B2个C3个D4个【例14】 任给三个平面，可能把空间划分成几个部分？【例15】 右图是一个长方体，问此长方体过点的三个面所在的平面将空间分成几个部分？侧面，和对角面所在的三个平面将空间分成几个部分？【例16】 给出如下四个命题：用一个平面去截一个正方体，截出的面一定是正方形或长方形；用一个平面去截一个圆柱，截出的面一定是圆；用一个平面去截圆锥，截出的面一定是三角形；用一个平面去截一个球，无论如何截，截面都是一个圆其中正确命题的个数为（ ） A1个B2个C3个D4个【例17】 用一个平面去截一个正方体，所得的截面可能是什么形状的？【例18】 如图，在三棱锥中，分别是边,的中点，那么四边形是（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形【例19】 如图，在三棱锥中，分别是边,的中点，且，那么四边形是（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形【例20】 判断下面这个命题是否正确：由两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱【例21】 能保证棱锥是正棱锥的一个条件是（ ）A底面是正多边形 B各侧棱都相等 C各侧棱与底面都是全等的正三角形 D各侧面都是等腰三角形【例22】 长方体的全面积为，条棱长度之和为，则长方体的一条对角线长为（ ）A B C D 【例23】 下列命题正确的有 底面是矩形的平行六面体是长方体； 棱长相等的直四棱柱是正方体； 棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥； 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥【例24】 下列命题正确的有 底面是矩形的平行六面体是长方体； 棱长相等的直四棱柱是正方体； 棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥； 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥【例25】 下列命题正确的有 棱柱的侧面都是平行四边形； 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 【例26】 一个棱柱至少有 个面，面数最少的一个棱锥有 个顶点，顶点最少的一个棱台有 条侧棱 一个正棱锥的侧棱长与底面边长相等，则该棱锥不可能是（ ）A三棱锥 B四棱锥 C五棱锥 D六棱锥【例27】 一个正三棱柱的每一条棱长都是，则经过底面一边和相对的一个端点的截面的面积为_【例28】 如图， 正方体中，对角线与过、的平面交于点，则_【例29】 一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为，这个长方体的对角线长为_.【例30】 正四棱台的高为，两底面的边长分别是和，求这个棱台的侧棱长和斜高【例31】 已知正三棱锥的高，斜高，求经过的中点且平行于底面的截面的面积【例32】 正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，求的取值范围【例33】 如图所示的正四棱锥，它的高，侧棱长为， 求侧面上的斜高与底面面积 是高的中点，求过点且与底面平行的截面（即中截面）的面积【例34】 正四棱台的高为，两底面的边长分别是和，求这个棱台的侧棱长和斜高【例35】 如图，已知棱锥的底面积是，平行于底面的截面面积是，棱锥顶点在截面和底面上的射影分别是、，过的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积【例36】 圆台两底半径分别是和，母线长是，求它的轴截面的面积； 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是，母线长，求圆锥的母线长 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，轴截面的面积等于，母线与底面的夹角是，求这个圆台的母线长【例37】 圆锥轴截面顶角为，母线长为求轴截面的面积；过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积【例38】 一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值【例39】 圆台的母线长为，母线和轴的夹角为，一个底面半径是另一个底面半径的倍，求圆台的高与上下两底面面积之和【例40】 一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值【例41】 （2005上海春季）有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为、 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是 【例42】 （2004福建，16）如图，将边长为的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（如图） 当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大 【例43】 设圆锥的底面半径为，高为，求：内接正方体的棱长；内切球的表面积【例44】 已知正三棱锥，一个正三棱柱的上底面三顶点在棱锥的三条侧棱上，下底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为，底面边长为，内接正三棱柱的侧面积为求正三棱柱的高；求正三棱柱的体积；求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比【例45】 如图所示，正四面体的外接球的体积为，求四面体的体积【例46】 （2008福建15） 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是【例47】 （2008江西）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）有下列四个命题：A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点C任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点D若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）【例48】 (2005全国，理12)将半径都为的个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为( )ABCD【例49】 (2002年全国文最后一题)给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明【例50】 设表示平行六面体，表示直平行六面体，表示长方体，表示正四棱柱，表示正方体，则，的关系是（ ）A BC D【例51】 正棱锥的高增为原来的倍，底面边长缩为原来的，那么体积（ ）A缩为原来的 B增为原来的倍 C没有变化 D以上结论都不对【例52】 设有四个命题：底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体以上四个命题中，真命题有_【例53】 如图，右边哪一个长方体是由左边的平面图形围成的（ ） 【例54】 右图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）【例55】 下列命题中正确的是（ ）A由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B棱锥的高线可能在几何体之外C仅有一组对面平行的六面体是棱台D棱长相等的直四棱柱是正方体 下列说法正确是（ ）A圆台是直角梯形绕其一边旋转而成B圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成C圆柱的母线和它的底面不垂直D圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的【例56】 长方体中共点的三条棱长分别为，分别过这三条棱中的一条及其对棱的对角面的面积分别记为，则（）ABCD【例57】 已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为，则它的高和斜高分别为 正四棱锥的斜高为，侧棱长为，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？【例58】 一圆锥轴截面顶角为，母线长为，求轴截面的面积 圆台侧面的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面半径是另一个底面半径的倍，则两底面半径为 【例59】 正四棱锥的斜高为，侧棱长为，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？【例60】 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是，截去的圆锥的母线长是，求圆台的母线长【例61】 一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值【例62】 圆台母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面半径的倍，求两底面半径以及两底面面积之和 【例63】 圆锥轴截面顶角为，母线长为求轴截面的面积；过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积【例64】 一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值【例65】 (2005全国，理12)将半径都为的个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为( )ABCD【例66】 能保证棱锥是正棱锥的一个条件是（ ）A底面是正多边形 B各侧棱都相等 C各侧棱与底面都是全等的正三角形 D各侧面都是等腰三角形【例67】 圆台的母线长为，母线和轴的夹角为，一个底面半径是另一个底面半径的倍，求圆台的高与上下两底面面积之和【例68】 一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值【例69】 (2005上海春季)有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为、 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是 【例70】 （2008重庆）如题图，模块均由个棱长为的小正方体构成，模块由个棱长为的小正方体构成现从模块中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为的大正方体则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ）A模块，B模块，C模块， D模块，【例71】 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）A4B5C6 D7