必修4第一章三角函数讲义资料.doc

1.1周期现象【学习要求】1.通过创设情境，感知周期现象.2.感受周期现象对实际工作的意义，能判断简单的实际问题中的周期.3.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性.【学法指导】1.通过创设、列举实际情景，观察类比、思考、交流，提炼出周期现象的主要特征是“周而复始的重复出现”.2.通过“每隔一定时间出现”或“自变量每增加或每减少一个值，函数值就重复出现”等描述性语言的分析，逐步抽象出周期函数的定义.由于后面还要深层次讨论周期函数，此处学习时不宜难度太大. 一，基础知识回顾：1.从周期现象到周期概念：(1)观察钟表，分针指向12的位置表明是整点时间，经过一个小时，分针回到了原来的位置，我们说，分针的运动是周期现象，以1小时 为一个周期；时针的运动周期当然是12小时 .(2)地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的周期函数，周期是地球绕太阳旋转一圈的时间，即一年.在日常生活、生产实践中，许多事物或现象每间隔一段时间就会重复出现，这种现象称为周期现象.这个相同的时间间隔就是周期.2.作散点图的步骤及意义：通常，很多实际问题所满足的数学模型是未知的，为了将其数学化，利用数学知识对其精确研究，首先就要确定它的数学模型.这时，往往采取如下的步骤：(1)收集、统计数据；(2)把数据在坐标系中表示出来，我们得到的图像是一些点，称为散点图；(3)观察散点图与何种函数图像相吻合，我们就将该函数作为实际问题的数学抽象.由此，我们明确：散点图是在函数未知的时候用来探寻适当函数的，当然，确定函数类型之后，我们还要利用数据去拟合出函数的具体解析式. 二，问题探究探究点一：周期现象现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，如日出日落、月圆月缺、四季更替、海水潮汐，甚至日常生活中的交变电流、钟摆摆动、水车转动我们把这些每隔相同的时间间隔就会重复出现的现象称为周期现象.将要学习的三角函数是刻化周期现象的最好模型.本节由周期现象拉开本章的序幕.问题1：用简短的文字语言概括出周期现象的关键特征是：间隔相同，重复出现问题2：判断下列现象是否为周期现象.(1)钟表秒针的运动；(2)地球的自转；(3)地球上一年四季的更替.答：(1)钟表的秒针每分钟重复一次相同的运动，是周期现象.(2)地球每昼夜自转一次，是周期现象. (3)地球每年重复出现四季的更替，是周期现象.探究点二：周期函数初探如果一个函数的自变量每增加或减少一个固定的值时，函数值重复出现，函数图像重复出现，这样的函数就应考虑是周期函数，这个固定的值就是函数的一个周期.周期函数的图像应当沿x轴向左、右两方无限延展.下面提供了一些周期函数的部分图像，请你根据图像写出它们的周期.答：它们的周期依次是：(1)1；(2)；(3) ；(4) 2.三，典例精析例1：2014年5月1日是星期四，问2014年10月1日是星期几？解：按照公历记法，2014年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天.从2014年5月1日到2014年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由15322×71知，从2014年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期四，这一天是公历2014年10月2日，故2014年10月1日是星期三.跟踪训练1：2014年1月1日是星期三，把1月2日记作第一天，那么第365天是星期几？解：36552×71.2014年1月1日经过364天后正好也是星期三，经过365天应该是星期四.例2：已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作yf(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5依据规定，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放，依据上表可以判断，一天内的800至2000之间，有多少时间可以供冲浪者运动？解：由数据表画出散点图如下：由图可知，在规定时间800至2000之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，时间为900至1500.跟踪训练2：下图为某港口某天水深与时间的散点图，根据图形，判断在一天之内，水深达到7 m的最短间隔时间为12 h.例3如图是钟摆的示意图，如果不计阻力，可将这个钟摆的运动看作周期运动.它离开平衡位置O点向左运动，5秒后第1次经过P点，再过2秒第2次经过P点，该钟摆再经过多长时间第3次经过P点？解：设由O向左到M位置所需时间为x秒(则周期为4x秒)，则从O向左运动第1次经过P点所需时间为2x(x1)5，解得x2，要使钟摆第3次经过P点，则钟摆需要走的路程为POMOP，故所需时间为：12216(秒)，即该钟摆再经过6秒第3次经过P点.小结：钟摆第2次过P点与第3次过P点的时间间隔应是钟摆运动的一个周期4x秒减去2秒，只需求出从O到M所需时间代入即可.要注意本题中的钟摆开始的运动方向是从O向左运动，不要误以为是向右运动.跟踪训练3：如图是一向右传播的光波在某一时刻各点的位置图，经过周期后，甲点和乙点的位置将分别移到丁点和戊点.四，课时小结1.若某一现象按照一定的规律周而复始地重复出现，那么这种现象就称为周期现象.如海上波浪每间隔一段时间会重复出现，这种现象就是周期现象；再比如一个角每旋转一周(顺时针或逆时针)，终边就又回到原来的位置，这也是周期现象.因此判断一种现象是否为周期现象，关键是看这种现象是否能够按照一定规律重复出现.2.利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误. 五，作业设计：1如图所示是一个简谐振动的图像，下列判断正确的是(B)A该质点的振动周期为0.7 sB该质点的振幅为5 cmC该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大D该质点在0.3 s和0.7 s时的速度为零2钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在(B)A8点处 B10点处 C11点处 D12点处3今天是星期一，再过167天是(A)A星期天 B星期一 C星期二 D星期三4设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分后，钟摆的大致位置是(D)A点A处 B点B处 CO、A之间 DO、B之间5已知函数f(x)1，g(x)下列说法正确的是(D)Af(x)是周期函数，g(x)不是周期函数 Bf(x)不是周期函数，g(x)是周期函数Cf(x)和g(x)都不是周期函数 Df(x)和g(x)都是周期函数6对于实数x，符号x表示不超过x的最大整数，例如3，1.082，定义函数xxx，则下列命题中正确的是(C)A函数x的最大值为1 B方程x有且仅有一个解C函数x是周期函数 D函数x是增函数7月球围绕地球转，月球到地球的距离随着时间的变化而变化，这种现象是周期现象，那么周期是一月8游乐场中的摩天轮有8个座舱，每个座舱最多乘4人，每20 min转一圈，估算一下8 h内最多有768人乘坐过摩天轮9已知奇函数yf(x)(xR)且f(x)f(x4)，f(1)2，则f(2)f(3)f(4)2.10若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)1.11如图，一个质点在平衡位置O点附近振动如果不计阻力，可将这个振动看作周期运动它离开O点向左运动，4秒后第1次经过M点，再过2秒第2次经过M点该质点再过多少时间第4次经过M点？解：设由O到A所需时间为x，则第一次经过M点的时间2x(x1)4，得x，要使质点第4次经过M点，经过的路程正好为一个周期，所以再过T秒第4次经过M点12函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)，若f(1)5，求f(f(5)的值解：由已知f(x4)f(x)，f(x)是周期为4的函数f(5)f(1)5，f(f(5)f(5)f(1).13下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？ABCDEFG1 2 3 4 5 6 713 12 11 10 9 8 14 15 16 17 18 1925 24 23 22 21 20 解：通过观察可发现规律：数“2,3,4，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 9991)÷121666，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.1.2角的概念的推广【学习要求】1.理解正角、负角、零角与象限角的概念.2.掌握终边相同角的表示方法.【学法指导】1.解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个“要素”：顶点、始边、终边和旋转方向.2.确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量.3.学习象限角时，注意角在直角坐标系中的放法，在这个统一前提下，才能对终边落在坐标轴上的角、象限角进行定义.一，基础知识回顾：1.角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按 顺时针方向旋转 形成的角零角一条射线没有作任何旋转称它形成了一个零角2.象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|S|k·360°，kZ.即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与周角的整数倍的和. 二，问题探究探究点一：角的概念的推广我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量.因此，从“旋转”的角度，对角作重新定义如下：一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫作角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点.问题1：正角、负角、零角是怎样规定的？答：按逆时针方向旋转形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转形成的角叫作负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.问题2：根据角的定义，图中角120°；240°；120°；240°；480°.问题3：经过10小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成的角.答：经过10小时，时针旋转形成的角是300°，分针旋转形成的角是3 600°.问题4：如果你的手表快了1.25小时，只需将分针旋转多少度就可以将它校准？答：将分针旋转450°或3 870°即可校准.探究点二：终边相同的角今后我们常在直角坐标系内讨论角.为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.按照上述方法，在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置.终边相同的角相差360°的整数倍.因此，所有与角终边相同的角(连同角在内)的集合S|k·360°，kZ.根据终边相同的角的概念，回答下列问题：问题1：已知集合S|k·360°60°，kZ，则240°S,300° S，1 020°S.(用符号：或填空).问题2：集合S|k·360°30°，kZ表示与角30°终边相同的角，其中最小的正角是330°.问题3：已知集合S|45°k·180°，kZ，则角的终边落在第一或第三象限的角平分线上.探究点三：象限角与终边落在坐标轴上的角问题1：终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.终边所在的位置角的集合x轴正半轴|k·360°，kZ x轴负半轴|k·360°180°，kZ y轴正半轴|k·360°90°，kZ y轴负半轴|k·360°270°，kZ 问题2：下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.终边所在的象限角的集合第一象限|k·360°<<k·360°90°，kZ第二象限|k·360°90°<<k·360°180°，kZ第三象限|k·360°180°<<k·360°270°，kZ第四象限|k·360°90°<<k·360°，kZ问题3：写出终边落在x轴上的角的集合S.答：S|k·360°，kZ|k·360°180°，kZ|2k·180°，kZ|(2k1)·180°，kZ|n·180°，nZ.问题4：写出终边落在y轴上的角的集合T.答：T|90°2k·180°，kZ|90°180°2k·180°，kZ|90°2k·180°，kZ|90°(2k1)·180°，kZ|90°n·180°，nZ.三，典例精析例1：在0°360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1) 150°；(2)650°；(3)950°15.解：(1)因为150°360°210°，所以在0°360°范围内，与150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)因为650°360°290°，所以在0°360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角. (3)因为950°153×360°129°45，所以在0°360°范围内，与950°15角终边相同的角是129°45角，它是第二象限角.跟踪训练1判断下列角的终边落在第几象限内：(1)1 400°；(2)2 010°.解：(1)1 400°3×360°320°，320°是第四象限角，1 400°也是第四象限角.(2)2 010°6×360°150°，2 010°与150°终边相同.2 010°是第二象限角.例2写出终边落在直线yx上的角的集合S，并把S中适合不等式360°<720°的元素写出来.解：直线yx与x轴的夹角是45°，在0°360°范围内，终边在直线yx上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线yx上的角的集合：S|45°k·360°，kZ|225°k·360°，kZ|45°2k·180°，kZ|45°(2k1)·180°，kZ|45°k·180°，kZ.S中适合360°<720°的元素是：45°2×180°315°；45°1×180°135°；45°0×180°45°；45°1×180°225°；45°2×180°405°；45°3×180°585°.跟踪训练2：求终边在直线yx上的角的集合S.解：由于直线yx是第二、四象限的角平分线，在0°360°间所对应的两个角分别是135°和315°，从而S|k·360°135°，kZ|k·360°315°，kZ|2k·180°135°，kZ|(2k1)·180°135°，kZ|k·180°135°，kZ.例3：已知是第二象限角，试确定2，的终边所在的位置解：因为是第二象限角，所以k·360°90°<<k·360°180°，kZ. 所以2k·360°180°<2<2k·360°360°，kZ，所以2的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上. 因为k·360°90°<<k·360°180°，kZ，所以k·180°45°<<k·180°90°，kZ，所以当k2n，nZ时，n·360°45°<<n·360°90°，即的终边在第一象限；当k2n1，nZ时，n·360°225°<<n·360°270°，即的终边在第三象限. 所以的终边在第一或第三象限.跟踪训练3：已知为第三象限角，则所在的象限是(D)A.第一或第二象限 B.第二或第三象限C.第一或第三象限 D.第二或第四象限解析：由于k·360°180°<<k·360°270°，kZ，得·360°90°<<·360°135°，kZ. 当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角.四，课时小结1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.2.关于终边相同角的认识：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k·360°，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与周角的整数倍的和.3.注意：(1)为任意角.(2)k·360°与之间是“”号，k·360°可理解为k·360°().(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.(4)kZ这一条件不能少. 五，作业设计1设A|为锐角，B|为小于90°的角，C|为第一象限的角，D|为小于90°的正角，则下列等式中成立的是(D)AAB BBC CAC DAD2与405°角终边相同的角是(C)Ak·360°45°，kZ Bk·180°45°，kZCk·360°45°，kZ Dk·180°45°，kZ3若45°k·180° (kZ)，则的终边在(A)A第一或第三象限 B第二或第三象限C第二或第四象限 D第三或第四象限4若是第四象限角，则180°是(C)A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角5在390°，885°，1 351°，2 012°这四个角中，其中第四象限角的个数为(C)A0 B1 C2 D39集合M，P，则M、P之间的关系为(B) AMP BMP CMP DMP13已知是第一象限角，则角的终边不可能落在(D)A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6下列说法中，正确的是.(填序号)终边落在第一象限的角为锐角；锐角是第一象限的角；第二象限的角为钝角；小于90°的角一定为锐角；角与的终边关于x轴对称7在180°360°范围内，与2 000°角终边相同的角为160°，200°10角，的终边关于y轴对称，若30°，则150°k·360°，kZ8在与角2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)720°720°内的角解：(1)2 013°6×360°147°，与角2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)2 013°5×360°(213°)，与角2 013°终边相同的最大负角是213°.(3)2 013°6×360°147°，与2 013°终边相同也就是与147°终边相同由720°k·360°147°<720°，kZ，解得：k2，1,0,1.代入k·360°147°依次得：573°，213°，147°，507°.11已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合解：(1)x|k·360°135°xk·360°135°，kZ(2)x|k·360°30°xk·360°60°，kZx|k·360°210°xk·360°240°，kZx|2k·180°30°x2k·180°60°或(2k1)·180°30°x(2k1)·180°60°，kZx|k·180°30°xk·180°60°，kZ12已知角的终边在直线xy0上(1)写出角的集合S；(2)写出S中适合不等式360°<<720°的元素解：1)如图，直线xy0过原点，倾斜角为60°，在0°360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1|60°k·360°，kZ，S2|240°k·360°，kZ，所以，角的集合SS1S2|60°k·360°，kZ|60°180°k·360°，kZ|60°2k·180°，kZ|60°(2k1)·180°，kZ|60°n·180°，nZ(2)由于360°<<720°，即360°<60°n·180°<720°，nZ.解得<n<，nZ，所以n2，1,0,1,2,3.所以S中适合不等式360°<<720°的元素为：60°2×180°300°；60°1×180°120°；60°0×180°60°；60°1×180°240°；60°2×180°420°；60°3×180°600°.1.2角的概念的推广【学习要求】1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.【学法指导】1.通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制.2.弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键.3.引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别. 一，基础知识回顾：1.1弧度的角：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.2.弧度制：用弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制.3.角的弧度数的规定：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值满足|.这里，的正负由角的终边的旋转方向决定.4.角度与弧度的互化：(1)角度转化为弧度：360°2rad；180°rad；1° rad(2)弧度转化为角度：2 rad360°； rad180°：1 rad°57.30°57°18. 二，问题探究探究点一：弧度制AB的长OB旋转的方向AOB的弧度数AOB的度数000°r顺时针方向90°r逆时针方向180°2r顺时针方向2360°逆时针方向1°r逆时针方向1°2r顺时针方向2°问题1：1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关.如图所示，AOB就是1弧度的角.问题2如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是l，那么的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.角度化弧度弧度化角度360°2rad2rad360° 180°rad rad180° 1° rad1 rad°规律：如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么的弧度数的绝对值是，即|.问题3：除了角度制，数学还常用弧度制表示角.请叙述一下弧度制的内容.答：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.这里，的正负由角的终边的旋转方向决定.问题4：角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整. 度量单位类别为角度制为弧度制扇形的弧长llR扇形的面积SSR2lR探究点二：弧度制下的弧长公式和扇形面积公式问题1：角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：设扇形的半径为R，弧长为l， (0<<2)为其圆心角，则问题2：我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2”这一事实化简上述公式.(设半径为r，圆心角弧度数为).答：半径为r，圆心角为n°的扇形弧长公式为l，扇形面积公式为S扇.，l|r. ，S扇|r2. S扇|r2lr.三，典例精析例1(1)把112°30化成弧度；(2)把化成角度.解：先将112°30化为112.5°，然后乘以 rad，即可将112°30化成弧度，乘以°即可化为角度. 所以，(1)112°30112.5°°×.(2)×°105°.跟踪训练1：将下列角按要求转化：(1)300°rad； (2)22°30rad； (3)288°例2：已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，则l2r40，l402r. Slr×(402r)r20rr2(r10)2100. 当半径r10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，此时rad2 rad. 所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.跟踪训练2：一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.解：设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4，l42R，根据扇形面积公式SlR，得1(42R)·R，R1，l2，2，即扇形的圆心角为2 rad.例3：把下列各角化成2k (0<2，kZ)的形式，并指出是第几象限角：(1)1 500°；(2)；(3)4.解：(1)1 500°1 800°300°5×360°300°. 1 500°可化成10，是第四象限角. (2)2，与终边相同，是第四象限角.(3)42(24)，<24<. 4与24终边相同，是第二象限角.跟踪训练3：将1 485°化为2k (0<2，kZ)的形式是10.解析:1 485°5×360°315°，1 485°可以表示为10.四，课时小结1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180° rad”这一关系式.易知：度数× rad弧度数，弧度数×°度数.3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度. 五，作业设计1300°化为弧度是(B)A B C D2集合A与集合B的关系是(A)AAB BAB CBA D以上都不对3已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(C)A2 Bsin 2 C. D2sin 14已知集合A|2k(2k1)，kZ，B|44，则AB等于(.D)A B|4 C|0 D|4，或05扇形圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为(B)A13 B23 C43 D496已知为第二象限的角，则所在的象限是(D)A第一或第二象限 B第二或第三象限C第一或第三象限 D第二或第四象限7若角的终边与角的终边关于直线yx对称，且(4，4)，则，8若扇形圆心角为216°，弧长为30，则扇形半径为259若2<<4，且与角的终边垂直，则或.10用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)解：(1).(2).11用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l2r30，l302r，从而S·l·r(302r)·rr215r2.当半径r cm时，l302×15 cm，扇形面积的最大值是 cm2，这时2 rad.当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2.12如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为 (0<<)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求.解：因为0<<，且2k<2<2k(kZ)，则必有k0，于是<<，又142n(nZ)，所以，从而<<，即<n<，所以n4或5，故或.13已知一扇形的圆心角是，所在圆的半径是R.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，60°，R10，lR (cm)S弓S扇S××10×2×10×cos ×10×sin 50 (cm2)(2)扇形周长c2Rl2RR，S扇R2··R2(c2R)RR2cR2.当且仅当R，即2时，扇形面积最大，且最大面积是.1.4 任意角的正弦函数与余弦函数定义【学习要求】1.掌握任意角的正弦、余弦的定义.2.掌握正弦、余弦这两种函数值在各象限的符号.3.能利用任意角的正弦函数、余弦函数的定义进行简单的推理证明.【学法指导】1.在初中所学习的锐角三角函数的基础上过渡到任意角三角函数的概念.2.紧扣任意角的三角函数的定义来掌握三角函数值在各象限的符号规律.3.任意角的三角函数定义是本章的理论基础，是后续知识学习的重要理论依据. 一，基础知识回顾：1.单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆.2.任意角正弦函数、余弦函数的定义：一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角的正弦函数，记作vsin ；点P的横坐标u叫作角的余弦函数，记作ucos .通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数ysin x和ycos x.它们的定义域为全体实数，值域为1,1.3.正弦、余弦函数值在各象限的符号二，问题探究探究点一：锐角三角函数的定义问题1：RtABC中，C90°，若已知a3，b4，c5，试求sin A，cos B，sin B，cos A的值.答：sin Acos B；sin Bcos A.问题2：如图，锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离为r，作PMx轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sin ，cos 吗？答：sin ，cos .问题3：如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角的终边与单位圆交于点P(x，y)，则有：sin y ，cos x探究点二：任意角三角函数的概念设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：y 叫作的正弦，记作sin ，即sin y ；x叫作的余弦，记作cos ，即cos x.由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角的终边位置有关，即与角有关，与角终边上P点的位置无关.因此，设角终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则有sin ，cos ，其中r>0.根据任意角三角函数的定义可求得：(1)sin 00，cos 01；(2)sin 1，cos 0；(3)sin ，cos