湖南师范大学附属中学高三上学期月考（四）数学（理）试题（含答案） .doc

炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷(四)数学(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)复数(D)(A)12i (B)12i(C)12i (D)12i(2)执行如图所示的程序框图，则输出的i值为(B)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6(3)设向量a，b均为单位向量，且|ab|1，则a与b夹角为(C)(A) (B) (C) (D)(4)设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题： 若m，n，则mn；若mn，n，则m；若mn，n，m，则；若mnA，m，m，n，n，则.其中真命题的个数是(C)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)已知函数yax，yxb，ylogcx的图象如图所示，则(C)(A)a>b>c(B)a>c>b(C)c>a>b(D)c>b>a(6)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是，则它的表面积是(D)(A) (B) (C) 3 (D) 4(7)已知数列an，bn满足a11，且an，an1方程x2bnx2n0的两根，则b10等于(D)(A)24 (B)32 (C)48 (D)64(8)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(B)(A)40种 (B)60种 (C)100种 (D)120种(9)已知F1、F2分别是双曲线C：1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上(O为原点)，则双曲线C的离心率为(D)(A) (B)3 (C) (D)2(10)如果对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数. 例如3.273，0.60.那么“xy”是“|xy|<1”的(A)(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(11)设直线l：3x4ya0，圆C：(x2)2y22，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得PMQ90°，则a的取值范围是(C)(A)18，6 (B)65，65(C)16，4 (D)65，65(12)若函数f(x)则当k>0时，函数yff(x)1的零点个数为(D)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】结合图象分析当k>0时，ff(x)1，则f(x)t1或f(x)t2(0，1)对于f(x)t1，存在两个零点x1、x2；对于f(x)t2，存在两个零点x3、x4，共存在4个零点，故选D.选择题答题卡题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)答案DBCCCDDBDACD第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本题共4小题，每小题5分(13)在二项式的展开式中，x的一次项系数为_80_(用数字作答)(14)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？答曰：二千一百一十二尺术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”就是说：圆堢瑽(圆柱体)的体积V×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率的取值为_3_【解析】由题意，圆堢瑽(圆柱体)底面的圆周长48尺，高11尺，体积为2 112(立方)尺，设圆堢瑽(圆柱体)的底面半径为r，则 ，解得3, r8，故答案为：3.(15)若x，y满足 ，则2xy的取值范围是_0，3_(16)函数f(x)sin (x)的导函数yf(x)的部分图象如图所示，其中，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为_【解析】由f(x)cos(x)知|AC|，|yB|，所以SABC·|AC|·|yB| ，设A(x0，0) ，则x0，C，设曲线段与x轴所围成的区域的面积为S，则S|x0x0f(x)dx|x0x0f(x)dxf(x)|x0x0f(x0)fsin(x0)sinsinsin2. 所以该点在ABC内的概率P.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f(x)2sin(xA)cos xsin(BC)(xR)，f(x)的图象关于点对称()当x时，求f(x)的值域；()若a7且sin Bsin C，求ABC的面积【解析】()f(x)2sin(xA)cos xsin(BC)2(sin xcos Acos xsin A)cos xsin A2sin xcos xcos A2cos2xsin Asin Asin 2xcos Acos2xsin Asin(2xA)，由函数f(x)的图象关于点对称，知f0，即sin 0，又0A，故A，所以f(x)sin，当x时，2x，所以 sin1.即f(x)的值域为；()由正弦定理得，则sin Bb，sin Cc，所以sin Bsin C(bc)，即bc13，由余弦定理a2b2c22bccos A，得49b2c2bc(bc)23bc，从而bc40，则ABC的面积为Sbcsin A×40×10.(18)(本小题满分12分)某网络营销部门为了统计某市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表(如表)：网购金额(单位：千元)频数频率(0，0.530.05(0.5，1xp(1，1.590.15(1.5，2150.25(2，2.5180.30(2.5，3yq合计601.00若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为32.()试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)()该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查设为选取的3人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望【解析】()根据题意，有，解得.p0.15，q0.10.补全频率分布直方图如图所示()用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有10×4人，“非网购达人”有10×6人故的可能取值为0，1，2，3；P(0)，P(1)，P(2)，P(3).所以的分布列为：0123P:E()0×1×2×3×.(19)(本小题满分12分)如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得DFA60°. 设G为AF的中点()求证：DGEF；()求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；()设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ平面ABEF，求线段PQ长度的最小值【解析】()因为正方形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，所以EFFD，EFFA，将正方形ABCD沿着线段EF折起后，仍有EFFD，EFFA，而FDFAF，所以EF平面DFA.又因为DG平面DFA，所以DGEF.()因为DFA60°，DFFA，所以DFA为等边三角形，又AGGF，故DGFA.由()，DGEF，又EFFAF，所以DG平面ABEF.设BE的中点为H，连接GH，则GA，GH，GD两两垂直，故以GA，GH，GD分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系如图，则G(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，4，0)，C(0，4，)，F(1，0，0),:.所以(1，0，0)，(1，0，)，(2，4，0)设平面BCF的一个法向量为m(x，y，z), 由m·0，m·0，得令z2，得m(2，2)设直线GA与平面BCF所成角为，则sin |cosm，|.即直线GA与平面BCF所成角的正弦值为.:()由题意，可设P(0，0，k)(0k)，(01)，由(1，4，)，得(，4，)，所以Q(1，4，)，(1，4，k)由()，得(0，0，)为平面ABEF的法向量因为PQ平面ABEF，所以·0，即k0.所以|，又因为1722117，所以当时，|min.所以当，k时，线段PQ长度有最小值.(20)(本小题满分12分)已知椭圆E：1(a>b>0)的离心率为，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4.()求椭圆E的方程；()设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线x4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP， BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，试探究，点B是否在以MN为直径的圆内？证明你的结论【解析】()依题意得，·2a·2b4，又a2b2c2，由此解得a2，b.所以椭圆E的方程为 1.()点B在以MN为直径的圆内证明如下：方法1：由()得A(2，0)，B(2，0)设M(x0，y0)M点在椭圆上，y02(4x02)又点M异于顶点A、B，2<x0<2.由P、A、M三点共线可以得P. 从而(x02，y0), .·2x04(x0243y02)将代入，化简得·(2x0)2x0>0，·>0，于是MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内方法2：由()得A(2，0)，B(2，0)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则2<x1<2，2<x2<2，又MN的中点Q的坐标为，依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差|BQ|2|MN|2(x1x2)2(y1y2)2(x12) (x22)y1y2直线AP的方程为y(x2)，直线BP的方程为y(x2)，而两直线AP与BP的交点P在直线x4上，即y2又点M在椭圆上，则1，即y12(4x12)于是将、代入，化简后可得|BQ|2|MN|2(2x1)(x22)<0.从而点B在以MN为直径的圆内(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)eaxx.()若对一切xR，f(x)1恒成立，求a的取值集合；()若a1，k为整数，且存在x0>0，使(x0k)f(x0)x01<0，求k的最小值【解析】() 若a0，则对一切x>0，f(x)eaxx<1，这与题设矛盾， 故a>0.而f(x)aeax1，令f(x)0，得xln. 当x<ln时，f(x)<0，f(x)单调递减；当x>ln时，f(x)>0，f(x)单调递增，故当xln时，f(x)取最小值fln. 于是对一切xR，f(x)1恒成立，当且仅当ln1. 令g(t)ttln t，则g(t)ln t. 当0<t<1时，g(t)>0，g(t)单调递增；当t>1时，g(t)<0，g(t)单调递减. 故当t1时，g(t)取最大值g(1)1.因此，当且仅当1即a1时，式成立. 综上所述，a的取值集合为1. ()a1时，f(x)ex1, 所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1, 故当x>0时， (xk)f(x)x1<0等价于k>x，令h(x)x(x>0)，则h(x)1，令(x)exx2(x>0)，则(x)ex1 >0，(x)在(0, )上单调递增，而(1)<0，(2)>0，所以(x)在(0, )上存在唯一的零点，亦即h(x)在(0, )上存在唯一的零点，设此零点为，则(1，2)，e2，当x(0，)时， h(x)<0；当x(，)时， h(x)>0，所以h(x)在(0，)上的最小值为h() ，而h()1(2，3)，而由知，存在x0>0，使(x0k)f(x0)x01<0等价于k>h()，所以整数k的最小值为3. 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号(22)(本题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，M为C1上的动点，P点满足2，点P的轨迹为曲线C2.()求C2的普通方程；()在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.【解析】()设P(x，y)，则由条件知M. 由于M点在C1上，所以，即 ，消去参数得x2(y4)216, 即C2的普通方程为x2(y4)216.()曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为8sin .射线与C1的交点A的极径为14sin，射线与C2的交点B的极径为28sin.所以|AB|21|2.(23)(本题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)m|x2|，mR，且f (x2)0的解集为1，1()求m的值；()若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.【解析】()因为f(x)m|x2|，所以f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm，又f(x2)0的解集为1，1，故m1.()由()知1，a，b，cR，方法1：由基本不等式得：a2b3c(a2b3c)332229.方法2：由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)9.欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org