河南省天一大联考高中毕业班上学期阶段性测试（一）文科数学试题及答案1.doc

天一大联考高中2017届毕业班上学期阶段性测试（一） 数学（文科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A1,2,3 B1,2 C1 D32.已知复数，则复数的模为（ ）A4 B5 C6 D73. 半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为（ ）A44 B54 C88 D1084.设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为.若的面积为2，则点的坐标为（ ）A（1,2）或（1，-2） B（1,4）或（1，-4）C（1,2） D（1,4）5.函数的图象如图所示，则（ ）ABCD6. 以为圆心，且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为（ ）A BC D7.满足不等式的实数使关于的一元二次方程有实数根的概率是（ ）A B C D8.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C D 9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的等于（ ）A19 B24 C30 D3710.已知直线与函数的图象交于，两点，若点是线段的中点，则实数的值为（ ）A2 B1 C D11.已知函数，.若是使不等式恒成立的的最小值，则（ ）A B C D12.函数在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. .已知，且，则向量与的夹角为_.14.若，满足约束条件，则的最大值为_.15. 在中，边的垂直平分线交边于，若，则的面积为_.16. 6月23日15时前后，江苏盐城阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型教授队从，四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的.（1）甲轻型教授队所在方向不是方向，也不是方向；（2）乙轻型教授队所在方向不是方向，也不是方向；（3）丙轻型教授队所在方向不是方向，也不是方向；（4）丁轻型教授队所在方向不是方向，也不是方向.此外还可确定：如果丙所在方向不是方向，那么甲所在方向就不是方向.有下列判断：甲所在方向是方向；乙所在方向是方向；丙所在方向是方向；丁所在方向是方向.其中判断正确的序号是_.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知各项都为正数的等比数列满足，且.（）求数列的通项公式；（）设，且为数列的前项和，求数列的的前项和.18. （本小题满分12分）某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：，得到如图所示的频率分布直方图：（）写出的值；（）求在抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数；（）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人 ，求至少抽到1名女生的概率. 19. （本小题满分12分）如图，已知等边中，分别为，边的中点，为的中点，为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面.（）求证：平面平面；（）设，求三棱锥的体积.20. （本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4.（）求椭圆的方程；（）若是椭圆的左顶点，经过左焦点的直线与椭圆交于，两点，求与的面积之差的绝对值的最大值.（为坐标原点）21. （本小题满分12分）设函数，.（）当，时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，若对任意，不等式恒成立.求实数的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，为的切线，切点为，割线过圆心，且.（）求证：；（）若，求的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.若直线与圆相交于不同的两点，.（）写出圆的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（）若弦长，求直线的斜率.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设.（）求的解集；（）当时，求证.天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（一）数学（文科）·答案 A卷一、选择题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.二、填空题13. 14. 15. 或（错解漏解均不得分） 16. 三、解答题17.【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式、等差中项、数列的前项和，以及逻辑思维能力，运算求解能力、方程的思想及裂项法的应用.【解析】（）设等比数列的公比为，由题意知，解得，故.（5分）.（12分）【方法点拨】（1）求关于等比数列的基本运算通常转化为关于首项与公比的方程（组）来求解；（2）裂项法适用于求通项形如（为等差数列）的数列的前项和.18.【命题意图】本题考查频率分布直方图、古典概型，考查学生的识图能力、数据分析能力、运算能力.【解析】（）.（2分）（）在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生频率为（0.05+0.02）×5=0.35，所以，在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生有0.03×20=7人.（4分）在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生频率为（0.04+0.03）×5=0.35，所以，在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生有0.03×20=7人.（6分）故抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数有7+7=14人.（7分）（）记“在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件，（8分）在抽取的女生中，月上网次数不少于20次的学生频率为0.02×5=0.1，人数为0.1×20=2人，在抽取的男生中，月上网次数不少于20次的学生频率为0.03×5=0.15，人数为0.15×20=3人，（10分）记这2名女生为，这3名男生为，则在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即，而事件包含的结果有7种，它们是，所以.（12分）【归纳总结】（1）涉及频率分布直方图问题通常要利用其性质：所有小矩形的面积和为1；每组频率=对应矩形面积；（2）古典概型的计算通常利用一一列举法解决.19.【命题意图】本题考查空间直线、平面间的垂直与平行关系，棱锥体积的计算，同时考查空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力.【解析】（）因为，为等边的，边的中点，所以是等边三角形，且.因为是的中点，所以.（1分）又由于平面平面，平面，所以平面.（2分）又平面，所以.（3分）因为，所以，所以.（4分）在正中知，所以.而，所以平面.（5分）又因为平面，所以平面平面.（6分）（）由（）知平面，所以为三棱锥底面上的高.根据正三角形的边长为4，知是边长为2的等边三角形，所以.易知，.（8分）又由（）知，所以，所以，（10分）所以.（12分）【举一反三】（1）空间垂直的证明通常利用线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化来证明；（2）求三棱锥的体积主要是确定三棱锥的高和底面，确定高时主要是利用线面垂直来确定后，求底面面积主要是利用平面几何知识解决.20.【命题意图】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想.【解析】（）由题意得，又，则，所以.又，故椭圆的方程为.（4分）（）解法一：设的面积为，的面积为.当直线斜率不存在时，直线方程为，此时不妨设，且，面积相等，.（6分）当直线斜率存在时，设直线方程为，设，和椭圆方程联立得，消掉得.（7分）显然，方程有根，且.（8分）此时.因为，所以上式（时等号成立）.所以的最大值为.（12分）解法二：设直线的方程为，与椭圆方程联立得：.（6分），（8分），当时，.当时，（当且仅当时等号成立）.所以的最大值为.（12分）21.【命题意图】本题考查导致与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想.【解析】（）当，时，则，（1分），。（2分）曲线在点处的切线方程为，即（4分）（）当时，所以不等式等价于.（5分）方法一：令，则.（6）当时，则函数在上单调递增，所以，所以根据题意，知有，.（7分）当时，由，知函数在上单调增减；由，知函数在上单调递增.所以.（8分）由条件知，即.（9分）设，则，所以在上单调递减.又，所以与条件矛盾.综上可知，实数的取值范围为.（12分）方法二：令，则在上恒成立，所以，所以.（8分）又，显然当时，则函数在上单调递增，所以，所以.综上可知的取值范围为.（12分）【规律总结】利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.22.【命题意图】本题考查圆周角定理、弦切角定理、余弦定理、圆的性质，以及考查逻辑四维能力、推理理论能力、转化能力、运算求解能力.【解析】（）因为为圆的切线，所以.（1分）又因为，所以.（2分）所以，（3分）所以，（4分）所以，即.（5分）（）因为，所以.（6分）又，（7分）所以，（8分）由余弦定理，得.（10分）【方法点拨】（1）如果已知条件中出现切线，那么通常可联系切线的性质、弦切角定理、切割线定理；（2）如果在圆中出现等腰三角形，通常可得角相等与垂直关系，再联系圆周角定理、弦切角定理以及三角形相似来处理相关的问题.23.【命题意图】本题考查圆的极坐标方程与直线的参数方程、直线与圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力.【解析】（）由，得.（1分）将，代入可得.（3分）配方，得，所以圆心为，半径为.（5分）（）由直线的参数方程知直线过定点，则由题意，知直线的斜率一定存在，因此不妨设直线的方程为.（7分）因为，所以，解得或.（10分）【归纳总结】（1）化极坐标方程为直角坐标方程主要是利用公式，来完成（2）在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程与参数方程均化为直角坐标方程来解决.24.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法、比较法的应用、绝对值的性质及零点分段法的应用，并考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力.【解析】（）由得：或或（3分）解得，所以的解集为.（5分）（）当，即，时，要证，即证.（6分）（9分），即.（10分）【技巧点拨】（1）零点分段法是求绝对值不等式解集的常用方法；（2）一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法，比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.