江苏省南通中学高三上学期期中考试数学（理）试题及答案.doc

2017届高三上学期数学期中测试（理科）本试卷分为数学I(必做题)和数学II(附加题)两部分共200分，考试用时150分钟数学I(必做题 共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1已知集合，若，则 2命题“”的否定是 3函数的定义域为 4若角的终边经过点P(a，2a)(a<0)，则cos = 5设是等比数列的前项的和，若，则的值是 6如图，在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，那么 (用和表示) 7已知命题p：|xa|<4，命题q：(x1)(2x)>0，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 8已知直线与曲线相切，则的值为 9在ABC中，BC1，B，ABC的面积S，则边AC等于 10已知函数f(x)是奇函数且函数f(x)在区间1，a2上单调递增，则实数a的取值范围为 11函数y2sin与y轴最近的对称轴方程是 ABCO（第12题）12如图，点为的重心，且，则的值为 13已知为数列的前项和，若关于正整数的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数的取值范围为 14已知函数 函数，若函数 恰有4个零点，则实数的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分14分)已知向量，记函数若函数的周期为4，且经过点(1)求的值； (2)当时，求函数的最值16(本小题满分14分)设公差不为零的等差数列的前项的和为，且成等比数列(1)求数列的通项公式(2)设数列，求证：数列的前项和17(本小题满分14分)如图，在中，角的对边分别为，()求；()若，为外一点，求四边形面积的最大值 BACD18(本小题满分16分)如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB为直径)，现计划对其进行改建在AB的延长线上取点D，OD80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2设AOCx rad(1)写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；ABOCD（第18题）(2)试问AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值19 (本小题满分16分) 已知函数(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若在上恒成立，求的取值范围20(本题满分16分)已知数列的前项和为，且，N*(1)求数列的通项公式；(2)已知(N*)，记(且)，是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由(3)若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列数学II(附加题 共40分)21 (本小题满分10分)设矩阵A的逆矩阵为，矩阵B满足AB，求，B22(本小题满分10分)设矩阵，求矩阵的逆矩阵的特征值及对应的特征向量23(本小题满分10分)已知曲线C的极坐标方程为 r2cos，直线l的极坐标方程为 r sin()m若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值24 (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(q为参数，qR)，直线l：(t为参数，tR)，求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值参考答案：2017届高三上学期数学期中测试（理科）本试卷分为数学I(必做题)和数学II(附加题)两部分共200分，考试用时150分钟数学I(必做题 共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1已知集合，若，则 2命题“”的否定是 3函数的定义域为 4若角的终边经过点P(a，2a)(a<0)，则cos = 5设是等比数列的前项的和，若，则的值是 26如图，在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，那么 (用和表示) 7已知命题p：|xa|<4，命题q：(x1)( 2x)>0，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_2，58已知直线与曲线相切，则的值为 9在ABC中，BC1，B，ABC的面积S，则边AC等于 10已知函数f(x)是奇函数且函数f(x)在区间1，a2上单调递增，则实数a的取值范围为 (1，311函数y2sin与y轴最近的对称轴方程是 ABCO（第12题）12如图，点为的重心，且，则的值为 32 13已知为数列的前项和，若关于正整数的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数的取值范围为 14已知函数 函数，若函数 恰有4个零点，则实数的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分14分)已知向量，记函数若函数的周期为4，且经过点(1)求的值； (2)当时，求函数的最值15解：(1)4分由题意得：周期，故 6分(2)图象过点，即，而，故，则 10分当时，当时，当时， 14分16(本小题满分14分)设公差不为零的等差数列的前项的和为，且成等比数列(1)求数列的通项公式(2)设数列，求证：数列的前项和16解：(1)设等差数列的的首项为，公差为，则或(舍去)故数列的通项公式为即 7分(2)由(1)，得10分14分17(本小题满分14分)如图，在中，角的对边分别为，()求；()若，为外一点，求四边形面积的最大值 BACD17解：()在中， ， 1分，2分， 3分，又，故， 4分，即 5分又， 6分()在中， 7分又，由()可知，为等腰直角三角形， 8分， 9分又， 10分 12分当时，四边形的面积有最大值，最大值为14分18(本小题满分16分)如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB为直径)，现计划对其进行改建在AB的延长线上取点D，OD80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2设AOCx rad(1)写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；ABOCD（第18题）(2)试问AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值18(本小题满分16分)解：(1)因为扇形 AOC的半径为 40 m，AOCx rad，所以 扇形AOC的面积S扇形AOC800x，0x 2分在COD中，OD80，OC40，CODx，所以COD 的面积SCOD·OC·OD·sinCOD1600sin(x)1600sinx 5分从而 SSCODS扇形AOC1600sinx800x，0x 7分(2)由(1)知， S(x)1600sinx800x，0x S(x)1600cosx8001600(cosx) 9分由 S(x)0，解得x从而当0x时，S(x)0；当x时， S(x)0 因此 S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，)上单调递减 14分所以 当x，S(x)取得最大值答：当AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大 16分19 (本小题满分16分) 已知函数()当时，求函数在点处的切线方程；()求函数的单调区间；()若在上恒成立，求的取值范围19解：(1)当 时， 2分 3分所以，函数在点处的切线方程为即： 4分()函数的定义域为： 6分当时，恒成立，所以，在和上单调递增当时，令，即：，所以，单调递增区间为，单调减区间为 10分()因为在上恒成立，有在上恒成立所以，令，则令则 若，即时，函数在上单调递增，又所以，在上恒成立； 若，即时，当时，单调递增；当时，单调递减所以，在上的最小值为，因为所以不合题意 即时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，在上的最小值为又因为，所以恒成立综上知，的取值范围是 16分20(本题满分16分)已知数列的前项和为，且，N*(1)求数列的通项公式；(2)已知(N*)，记(且)，是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由(3)若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列20解：(1)，所以 1分由得时， 两式相减得， 2分数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以() 4分(2)由于数列是常数列= 6分为常数，只有；解得，此时 8分(3)，其中，所以 10分当时， 12分式两边同时乘以得， 14分式减去得，所以且所以数列是以为首项，公差为的等差数列 16分数学II(附加题 共40分)21 (本小题满分10分)设矩阵A的逆矩阵为，矩阵B满足AB，求，B21解：因为A，所以|A|761由逆矩阵公式得，A1 5分因为AB，所以BA1AB 10分22(本小题满分10分)设矩阵，求矩阵的逆矩阵的特征值及对应的特征向量答案：矩阵的逆矩阵为，则特征多项式为 令，解得，设特征向量为，则， 易算得特征值对应的一个特征向量为，同理可得特征值对应的一 个特征向量为(10分)23(本小题满分10分)已知曲线C的极坐标方程为 r2cos，直线l的极坐标方程为 r sin()m若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值23解：曲线C的极坐标方程为 r2cos，化为直角坐标方程为x2y22x 即(x1)2y21，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆 3分直线l的极坐标方程是 r sin()m，即rcosrsinm，§§化为直角坐标方程为xy2m0 6分因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，所以1，解得m或m所以，所求实数m的值为 或 10分24 (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(q为参数，qR)，直线l：(t为参数，tR)，求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值21C解：将直线l的参数方程化为普通方程为xy60因为点P在曲线C：(为参数)上，所以设P(4cos，3sin)点P到直线l的距离d，其中tan，是锐角所以当cos()1时，dmin所以点P到直线l的距离的最小值为10分欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org