数学与应用数学毕业论文求证、求解极限的技巧及其应用.doc

求证、求解极限的技巧及其应用 Confirmed with solving skills and its application of the limit姓 名： 学 号： 0807019078 学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 指导老师 完成时间：2012年4月7日 求证求解极限的技巧及其应用【摘要】极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究分析方法的重要理论基础.我们知道，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和以及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法就显得非常重要.本文首先讲述了常用的求极限的方法，这是综合求极限方法的基础和前提.本文的重点在第三章，分别针对六种典型的极限形式给出了具体的解决方法.【关键词】极限方法 泰勒公式 洛必达法则 差分方程 施图兹公式 Confirmed with solving skills and its application of the limit【Abstract】Limit in mathematical analysis is a very important concept, it is the important theoretical foundation of the research analysis method. As we know, many important concepts such as continuous, derivative, integral, infinite series and generalized integral are defined by limit. So good grasp of the limit of the method is very important. This paper first describes the commonly used method for the limit, this is the premise and basis of the limit method. The focus of this paper in the third chapter, respectively, aiming at six typical limit form given the concrete solution.【Key words】limit equilibrium method Taylor equation L'Hospital Ruledifference equation Shi Tu 's formula目录1 第一章 综述1 1.1引言1 1.2极限定义的深层拓展2 1.3 极限问题的类型和方法概述32 第二章 常见的极限求解方法4 2.1简单求极限的方法42.2利用两个重要极限公式求极限52.3利用函数的泰勒展开式求极限62.4利用洛必达法则求极限73 第三章 一些典型极限问题的求解方法 8 3.1运用单调有界定理8 3.2形如的典型极限问题的求解方法10 3.3形如的典型极限问题的求解方法11 3.4利用差分方程求极限14 3.5利用施图兹定理求数列极限14 3.6利用微分知识来求解极限16 4 小结18参考文献19致谢19 1 第一章 综述1.1引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法，能够通过旧事物的量的变化规律，去计算新事物的量，因此，极限具有由此达彼的重大创新作用.同时，极限是研究微积分的理论基础和基本手段，它一直贯穿于该学科的始终。极限的思想方法不仅在整个分析学的建立和发展中起着基本作用，而且还广泛应用于其他数学分支和自然科学.同时，考研数学中也少不了有关于极限的题目.极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，随着科学技术的不断发展，社会生产力的不断提高，在数学的发展史上将发挥越来越重要的作用。因此，探讨如何求极限、怎样使求极限变得容易，是一个非常具有现实意义的重要问题.求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要清楚认识各种极限的类型，并熟练应用多种求极限的基本方法.众所周之，求极限的方法繁多且变化灵活，不易掌握。本文在总结各种常用的求极限方法的同时，更重要的是，也会提出一些创新的极限求解方法，希望能够开拓思路，起到抛砖引玉的作用. 1.2极限定义的深层拓展要研究典型极限问题的求解方法，首先要深刻理解极限的定义.随着科学技术的深入发展，以及数学自身的发展需要，极限概念也在进行着深层次的拓展，它的发展主要经历了如下阶段.（1）维欧氏空间中的函数极限概念.设为定义在的元函数，为的一个聚点，是一个确定的实数，若对任意的正数，总存在某正数，使得当（其中，为点的某个空心领域）时,都有，则称在上当时,以为极.（2）距离空间中点列极限的概念。设为距离空间中的一个点列(或序列)，这里,为空间的距离函数，如果存在中的点，使得当时，则称点列收敛于，记为，称为在距离意义下的极.（3）拓扑空间中半序点列极限的定义。设是一拓扑空间，是中的一个半序点列，。如果对于的任一邻域，存在半序点列中的元素，使得当时，有。则称半序点列收敛于，则称为的极.除此之外，在许多数学分支发展的过程中，针对解决实际与理论问题的需要，还引进了各种不同意义下的极限概念：如在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念；在集论中引进了集列的上极限与下极限的概念；在实变函数中引进了函数列的度量收敛与弱收敛的概念等等，在此就不再一一论述了.尽管上述极限定义从表面上看有很大的差别，但它们却有着本质的联系，都涉及到了无穷的问题，并且都是从有限过程中求出无限过程以后的结果的数学思想方法.1.3极限问题的类型和方法概述我将极限问题粗略的归结为四种形式：1、简单的确定式极限2、常见的不定式极限，主要包括以下几种类型：型，型，型，型，型，型，型等七种形式。3、n项和数列的极限，是指通项本身就是项的和，而其项数又随着无限增加。4、其他形式的极限。每一种形式的极限问题都有它相对常规性的求解方法。如简单的确定式极限，可应用极限四则运算法则以及函数的连续性理论来求解；而常见的不定式极限则可采用等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒公式法等手段求解；对于n项和数列的极限，一般会采用迫敛法、定积分定义等方法，对于已知数列的线性关系可采用差分方程求极限。当然，在求解极限时，方法的选择并不完全拘泥于极限的形式，可以灵活处理，多种方法交叉使用。本文主要的研究对象是典型的极限问题，因此对于一些常用的方法只做简单的介绍。在本文的第三章中，将分别详细介绍六种形式的典型极限问题的求解方法。第二章 常见的极限求解方法本章将介绍几种常见的极限求解方法，这些方法均有各自的特点，在本文后面章节提出的几种典型极限问题的求解方法中，将反复交叉使用本章提到的方法，因为这些常见的方法是研究极限求解的基础，需要我们去深刻的理解并扎实的掌握.2.1简单求极限的方法我们知道，无穷大量的倒数是无穷小量；有界量乘以无穷小量等于无穷小量；有限个（相同类型）无穷小量之和 、差、积仍为无穷小量，以及利用函数的连续性可以求出某些函数的极限.例1 求解 当时，分母的极限为0，而分子的极限不为0，可以先求出所给函数的倒数的极限： =0利用无穷小量的倒数是无穷大量，故=例2 求解 =因为=1；当时，为无穷小量，为有界量，所以=0；故原式=02.2利用两个重要极限公式求极限我们所熟悉的两个重要极限是：（1） 则 （2） 则 其中，第一个重要极限是“”型；第二个重要极限是“”型。在利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限的标准型或者它们的变形，这就要抓住重要极限公式的特征，并且能够根据它们的特征，辨认它们的变形，有时会利用到归结原则。例1 求解 =例2 求解 ，另一方面，当n1时，有而归结原则（取）于是，由数列极限的迫敛性得 =e2.3利用洛必达法则求极限 若函数满足：（i）（ii）在点的某空心邻域内两者都可导，且；（iii）（A可为实数，也可为）则 例 求解 利用则得 = = = 在使用洛必达法则时，应特别注意以下几点问题：（1）洛必达法则在求极限的时候要求函数存在导数，且导数商的极限存在.（2）洛必达法则可以连续使用，但是每次必须检验是否属于“”型或者“”型未定式.如果不是，就不能使用洛必达法则.（3）在求极限的过程中，有可约的因子或者极限不是零的因子，可以先约去或从极限符号内取出.（4）不是任何未定式的极限都可以用洛必达法则求出极限。也就是说洛必达法则有时失效.例3 求解 错误解法：=不存在.原因：所求极限不符合法则条件，即导数商的极限不存在，此时，洛必达法则失效.正确解法：=2.4利用函数的泰勒展开式求极限该方法要求我们必须熟记基本初等函数的展开式:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) 利用泰勒展开这种方法如果使用恰当，会给求极限过程带来很大的方便，其实利用等价无穷小代换的实质就是利用泰勒公式的阶的估计，所以我们必须熟记以上8个公式.例1 求解 = 由 = =例2 求极限解本题可用洛必达法则求解（较繁琐），在这里可应用泰勒公式求解.考虑到极限式的分母为，所以 因而求得 =从该题可以看出，有些题目用泰勒公式比用洛必达法则更简单. 第三章 一些典型极限问题的求解方法第二章列举的一些简单的极限可以通过泰勒公式，洛必达法则等求出极限，那么在第三章中我将主要介绍一些常见的比较典型的极限问题以及它们的求解方法。3.1运用单调有界定理 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极.例1 证明数列（n个根式,a>0,n=1,2,）极限存在，并求.证：由假设知 （1） 用数学归纳法易证： 此即证单调递增.用数学归纳法可证， 事实上， 由（1）（2）证得单调递增有上界，从而存在，对（1）式两边取极限得 ,解得和（舍去）.3.2形如的典型极限问题的求解方法 对于形如的典型极限问题，本文介绍幂指函数变换法求解。具体操作方法是：先取对数，再求指数，通常会配合第二章所提到的洛必达法则一起用。例1 求解 =1例2 求解 = =3.3形如的典型极限问题的求解方法 是以“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义.部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论。定理3.3.1设函数在0,1上可积，则=证明：因为函数在0,1上可积，由定积分的定义，不妨等分区间0,1,记，每个区间的长度为，记这一分法为；在每一个部分区间中任取一点，因为定积分的值不依赖于的取法，所以不妨令=，即区间的右端点，作和式=，其中=当时,即，所以=例1 解 原式= = 令 =例2 求解 因为函数在上连续，因而可积，故由定理3.3.1得，=例3 计算解 （1）x=y=-1，则原式=1； （2）x=-1，y-1，则原式= = （3）x，y=-1，则原式= = （4）x，y-1，则原式=例4 计算解 因为所以，所以所以=例5 求解 =则，=3.4利用差分方程来求极限 有些题目给出了数列的线性关系，那么此类题目可利用差分方程来求极限.例1 设证明收敛并求极限解 因为，可得 得差分方程：， 所以两根为 ， 所以可推出 A,B可由确定，所以.3.5 利用施笃兹（）定理求数列极限 定理1：型：若是严格递增的正无穷大数列，它与数列一起满足，则有.其中为有限数，或+，或-. 定理2：型：若是严格递减的趋向于零的数列，时 且，则有.其中为有限数，或+，或-.例1 求极限.解 方法一 令则由定理1得= 方法二 例2 设求 解 令，则单增，于是由定理2得= = =.注：Stolz定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用Stolz定理有很大的优越性.它可以说是求数列极限的洛必达（LHospita）法则.3.6利用微分知识来求解极限例1 求， 解 设，在应用拉格朗日中值定理，得 ，故当时，可知 原式=.例2 设，均有连续的二阶导数，求 解 原式=因为= = =所以原式= 4 结论 极限问题的求解方法并不是一个新颖的题目，许多年来有很多学者都在研究了，然而这正是说明它的确是一个十分重要而且经典的问题.本文一方面总结了4种常见的极限求解方法，另一方面重点研究了六种典型的极限问题求解方法，其主要成果有以下几点：（1）极限问题可以分为四大类型，即简单的确定式极限、常见的未定式极限、项和数列极限以及其他极限问题。针对各种类型极限问题的特点，本文分别总结了最常用的极限求解方法.（2）形如的极限问题，可采用公式= ，并配合洛必达法则等方法来求解.（3）形如的极限问题，可利用定积分的定义求解或者迫敛法求解.（4）给出数列的线性关系式，则可利用差分方程求极限.（5）对分子、分母为求和型，利用Stolz定理有很大的优越性，可采用施图兹公式来求解.（6）对于一些比较特殊的极限，可考虑用微分知识去求之.典型极限问题的求解方法因题而异、变化多端、有时甚至感到变幻莫测无从下手，因此，需要我们在扎实掌握本文所涉及的常用方法的基础上，灵活变通、举一反三，从而在面对极限求解问题时，能够选择出最简单有效的解决方法，并深刻理解数学分析中的极限思想.参考文献:1华东师范大学数学系.数学分析（上册，第三版）M.北京：高等教育出版 社 .20012裴礼文数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社.19933刘玉琏等数学分析讲义（上册）M 北京：高等教育出版社。20034钱吉林主编.数学分析题解精粹武汉：崇文书局.20035 程其襄.实变函数与泛函分析M.北京：高等教育出版社，1996.6 刘德洋，刘绍武.数学分析方法选讲M.哈尔滨：黑龙江教育出版社，1994.7 张新国.吉米多维奇数学分析习题精选精析M.北京：科学技术文献出版社，2005.8 窦俊梅.几种求极限的方法J.中国科技信息.2006(15).9 马建清，向彩容，喻敏.关于求极限的几种方法J.高等函授学报（自然科学版）.2006,1(6).10 张有珍，闫运生.求极限方法种种J.高校理科研究.2008(10).11 吴振英，陈湛本.论极限的思想方法J.广州大学学报（自然科学版）.2003,2(5).12张云艳.stolz公式的推广及其应用. J洛阳师范学院学报.2004.（50）13陈守信.数学分析选讲M.北京机械工业出版社，2009.8致谢: 在本文即将完成之际，本人对曾给予我极大帮助和深深教诲的指导教师老师表示衷心的感谢，在本文自始至终郑雄军老师都给予了耐心的指导和细心的帮助.她渊博的知识、严谨的态度和敬业的精神让我终生难忘.同时在本文的写作过程中得到了系里很多老师和同学的鼓励和帮助，在这里本人深表感谢.