天津市和平区高三上学期期末数学试卷（理科）【解析版】 .doc

天津市和平区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共40分在四个选项中只有一项是正确的1（5分）i是虚数单位，复数=（）AiB+iC1iD1+i2（5分）设x，y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是（）A3B4C6D8来源:gkstk.Com3（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A48B192C240D14404（5分）函数f（x）=log2（x25x+6）的单调递减区间为 （）来源:学优高考网gkstkA（，+）B（3，+）C（，）D（，2）5（5分）若双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线为y=x，则双曲线的离心率为（）AB2CD6（5分）函数f（x）=tan（+），x+2k（kZ）的最小正周期为（）ABCD27（5分）“m8”是“方程x2mx+2m=0有两个大于2的根”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8（5分）如图，在ABC中，P为中线AO上一个动点，若AO=2，则（+）的最小值是（）A2B1CD0二、填空题：每小题5分，共30分.9（5分）工厂对一批产品进行抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品重量（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品重量的范围是46，56，样本数据分组诶46，48），48，50），50，52），52，54），54，56若样本中产品重量小于50克的个数是36，则样本中重量不小于48克，并且小于54克的产品的个数是10（5分）若an为等差数列，且a3=6，a6=0等比数列bn满足b1=9，b1+b2=a1+a2，则等于11（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm312（5分）在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若ccosB=bcosC，且cosA=，则sinB的值为来源:学优高考网gkstk13（5分）已知奇函数f（x）的图象关于直线x=2对称，当x0，2时，f（x）=2x1，则f（6）=14（5分）若x0，y0，且2x+y+6=xy，则2x+y的最小值是三、解答题：共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（13分）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx（0）的最小正周期为（）求f（）的值；（）求f（x）在闭区间，上的最大值和最小值16（13分）现有9张扑克牌，其中有黑桃3张、红桃4张、梅花2张，从中任意抽取2张，每张牌被抽到的可能性都相等（）求抽取到的2张牌花色不同的概率；（）设X表示被抽到的2张牌中花色为红桃的张数，求X的分布列及数学期望17（13分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB=2，D为CC1的中点（）求证：BC1平面B1CD；（）求二面角BB1DC的余弦值18（13分）设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和，若S3=7，且a1，a2+1，a3+1构成等差数列；（）求数列an的通项公式；（）令bn=lna2n+1（nN*），求数列bn的前n项和Tn19（14分）已知椭圆+=1（ab0）与直线x+y1=0相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线y=x上（）求椭圆的离心率；（）若椭圆的右焦点关于直线y=x的对称点的横坐标为x0=，求椭圆的方程20（14分）设函数f（x）=lnx+x22ax+a2，aR（I）若a=0，求函数f（x）在1，e上的最小值；（II）若函数f（x）在，2上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（III）求函数f（x）的极值点天津市和平区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共40分在四个选项中只有一项是正确的1（5分）i是虚数单位，复数=（）AiB+iC1iD1+i考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的基本运算进行求解即可解答：解：=+i，故选：B点评：本题主要考查复数的基本运算，比较基础2（5分）设x，y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是（）A3B4C6D8考点：简单线性规划专题：数形结合分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=x+y的最大值解答：解：不等式表示的区域是如下图示的三角形，3个顶点是（3，0），（6，0），（2，2），目标函数z=x+y在（6，0）取最大值6故选C点评：线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值3（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A48B192C240D1440考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S的值，当i=4时，满足条件i4，退出循环，输出S的值为48解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=2不满足条件i4，S=4，i=2不满足条件i4，S=12，i=3不满足条件i4，S=48，i=4满足条件i4，退出循环，输出S的值为48故选：A点评：本题主要考查了循环结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键，属于基础题4（5分）函数f（x）=log2（x25x+6）的单调递减区间为 （）A（，+）B（3，+）C（，）D（，2）考点：复合函数的单调性 专题：函数的性质及应用分析：先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解即可来源:学优高考网解答：解：要使函数有意义，则x25x+60，即x3或x2设t=x25x+6，则当x3时，函数t=x25x+6单调递增，当x2时，函数t=x25x+6单调递减函数y=log2t，在定义域上为单调递增函数，根据复合函数的单调性之间的关系可知，当x2时，函数f（x）单调递减，即函数f（x）的递减区间为（，2）故选：D点评：本题主要考查复合函数单调性的判断，利用复合函数同增异减的原则进行判断即可，注意要先求出函数的定义域5（5分）若双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线为y=x，则双曲线的离心率为（）AB2CD考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的渐近线方程，由题意可得=，再由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到解答：解：双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，由题意可得=，则c=2a，则e=2故选B点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题6（5分）函数f（x）=tan（+），x+2k（kZ）的最小正周期为（）ABCD2考点：三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件根据函数y=Atan（x+）的周期为 ，可得结论解答：解：函数f（x）=tan（+），x+2k（kZ）的最小正周期为=2，故选：D点评：本题主要考查函数y=Atan（x+）的周期性，利用了函数y=Atan（x+）的周期为 ，属于基础题7（5分）“m8”是“方程x2mx+2m=0有两个大于2的根”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：函数的性质及应用；简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次方程根的分布进行判断即可解答：解：设f（x）=x2mx+2m，若方程x2mx+2m=0有两个大于2的根，则满足，即，解得m8，则“m8”是“方程x2mx+2m=0有两个大于2的根”充要条件，来源:学优高考网故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件判断，根据一元二次方程根的分布转化为函数问题是解决本题的关键8（5分）如图，在ABC中，P为中线AO上一个动点，若AO=2，则（+）的最小值是（）A2B1CD0考点：平面向量数量积的运算 来源:学优高考网专题：平面向量及应用分析：P为中线AO上一个动点，可得=2，于是（+）=2=2，再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：P为中线AO上一个动点，=2，（+）=2=2=2，当且仅当=1时取等号（+）的最小值是2故选：A点评：本题考查了向量的平行四边形法则、数量积性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：每小题5分，共30分.9（5分）工厂对一批产品进行抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品重量（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品重量的范围是46，56，样本数据分组诶46，48），48，50），50，52），52，54），54，56若样本中产品重量小于50克的个数是36，则样本中重量不小于48克，并且小于54克的产品的个数是90考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：根据频率分布直方图，先求出样本容量的值，再计算样本中重量在48，54）的频数即可解答：解：根据频率分布直方图，得；样本中产品重量小于50克的频率是（0.050+0.100）×2=0.3，样本容量为=120；样本中重量在48，54）的频率为10.050×20.075×2=0.75，对应的产品个数为120×0.75=90故答案为：90点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目10（5分）若an为等差数列，且a3=6，a6=0等比数列bn满足b1=9，b1+b2=a1+a2，则等于9考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由等差数列的通项公式可得公差d=2，求出首项和a2，由条件可得b2，再由等比数列的通项公式可得公比q，进而得到所求值解答：解：由an为等差数列，且a3=6，a6=0，则公差d=2，a1=10，a2=8，b1+b2=a1+a2，设公比为q，则9+9q=18，可得q=3，则=q2=9故答案为：9点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式及运用，考查运算能力，属于基础题11（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为64cm3考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥与正四棱柱的组合体，由此求出它的体积即可解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为正四棱锥，下部为正四棱柱的组合体，如图所示，长方体的长为5，宽为4，高为3，该组合体的体积为V=×4×4×3+4×4×3=64故答案为：64点评：本题考查了应用空间几何体的三视图求体积的问题，是基础题目12（5分）在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若ccosB=bcosC，且cosA=，则sinB的值为考点：正弦定理 专题：计算题；解三角形分析：由条件利用正弦定理求得 sin（CB）=0再结合CB，可得CB=0，再由cosB=cos=cos=，计算求得结果解答：解：在ABC中，ccosB=bcosC，由正弦定理可得 sinCcosB=sinBcosC，即 sin（CB）=0再结合CB，可得 CB=0sinB=sin=cos=故答案为：点评：本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式、半角的余弦公式的应用，属于基础题13（5分）已知奇函数f（x）的图象关于直线x=2对称，当x0，2时，f（x）=2x1，则f（6）=3考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：先由图象关于直线x=2对称得f（4x）=f（x），再与奇函数条件结合起来，有f（x+8）=f（x），得f（x）是以8为周期的周期函数，从而f（6）=f（2），从而求出所求解答：解：图象关于直线x=2对称f（4x）=f（x）f（x）是奇函数f（x）=f（x）f（4+x）=f（x+4）=f（x）f（x+8）=f（x）f（x）是以8为周期的周期函数f（6）=f（2）=221=3，故答案为：3点评：本题主要考查函数的奇偶性和对称性以及性质间的结合与转化，如本题周期性就是由奇偶性和对称性结合转化而来的，属于基础题14（5分）若x0，y0，且2x+y+6=xy，则2x+y的最小值是12考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：由已知条件可得x10，进而可得2x+y=2（x1）+44+2=12，验证等号成立即可解答：解：x0，y0，且2x+y+6=xy，若x=1，则2+y+6=y，即8=0矛盾，故x1，变形可得（x1）y=2x+6，y=，来源:学优高考网gkstk由y0可得0，可得x10，2x+y=2x+=2x+=2x+2+=2（x1）+44+2=12当且仅当2（x1）=即x=3且y=6时取等号，故2x+y的最小值为12故答案为：12点评：本题考查基本不等式求最值，得出x10并准确变形是解决问题的关键，属中档题三、解答题：共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（13分）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx（0）的最小正周期为（）求f（）的值；（）求f（x）在闭区间，上的最大值和最小值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（首先通过函数关系式的恒等变换求出函数的正弦形式，进一步利用函数的周期确定函数的解析式（）进一步利用函数的单调性确定函数的最值解答：解：（）f（x）=cos2x+sinxcosx=由于：所以：=1则：f（x）=f（）=（）根据函数解析式得到在区间上函数单调递增，在上函数单调递减，所以：，所以：f（x）在闭区间，上的最大值为：最小值为：0点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用函数的周期确定函数的解析式，进一步利用函数的单调性确定函数的最值属于基础题型16（13分）现有9张扑克牌，其中有黑桃3张、红桃4张、梅花2张，从中任意抽取2张，每张牌被抽到的可能性都相等（）求抽取到的2张牌花色不同的概率；（）设X表示被抽到的2张牌中花色为红桃的张数，求X的分布列及数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（）设“抽取到的2张牌花色不同”为事件A，利用互斥事件概率计算公式能求出抽取到的2张牌花色不同的概率（）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望解答：解：（）设“抽取到的2张牌花色不同”为事件A，则P（A）=（）由题意X的可能取值为0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，随机变量X的分布列为：X0 1 2PEX=点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用，是中档题17（13分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB=2，D为CC1的中点（）求证：BC1平面B1CD；（）求二面角BB1DC的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）建立空间坐标系，利用向量法结合线面垂直的判定定理即可证明BC1平面B1CD；（）平面的法向量，利用向量法即可求二面角BB1DC的余弦值解答：证明：（）取AC的中点O，连接BO，取A1C1的中点O1，连接O1O，以O为坐标原点，建立空间坐标系如图，则B（，0，0），C（0，1，0），B1（，0，2），C1（0，1，2），D（0，1，1），=（，1，2），=（，1，2），=（，1，1），=（，1，2）（，1，2）=3+14=0，=（，1，1）（，1，2）=312=0，即BC1B1C，BC1B1D；BC1平面B1CD；（）设平面BB1D的法向量为=（x，y，z），=（0，0，2），=（，1，1），由=0，=0，得，令x=1，则y=，z=0，即 =（1，0），由（）=（，1，2），为平面B1DC的一个法向量，则cos，=，二面角BB1DC为锐二面角，二面角BB1DC的余弦值为点评：本题主要考查线面垂直的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法18（13分）设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和，若S3=7，且a1，a2+1，a3+1构成等差数列；（）求数列an的通项公式；（）令bn=lna2n+1（nN*），求数列bn的前n项和Tn考点：数列的求和；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（）由已知得，解得a2=1，从而，进而2q25q+2=0，由此能求出数列an的通项公式（）由bn=lna2n+1=ln22n=2nln2，得bn+1bn=2（n+1）ln22nln2=2ln2，由此利用等差数列前n项和公式能求出Tn解答：解：（）由已知得，解得a2=1，设数列an的公比为q，由a2=2，得，由S3=7，得，2q25q+2=0，解得q=2或q=（不合题意，舍去），a1=1，q=2，数列an的通项公式为an=2n1（）bn=lna2n+1=ln22n=2nln2，bn+1bn=2（n+1）ln22nln2=2ln2，bn是等差数列，Tn=n（n+1）ln2点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用19（14分）已知椭圆+=1（ab0）与直线x+y1=0相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线y=x上（）求椭圆的离心率；（）若椭圆的右焦点关于直线y=x的对称点的横坐标为x0=，求椭圆的方程考点：椭圆的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）联立，得到线段AB的中点，设y=x+1与椭圆+=1的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出椭圆的离心率；（）求出椭圆的右焦点坐标，再由点关于直线对称的求法，运用中点坐标公式和直线垂直的条件，即可得到b=2，进而得到a，即可得到椭圆方程解答：解：（）联立，得x=，y=，直线y=x+1与x2y=0的交点为M（，），线段AB的中点为（，），设y=x+1与椭圆+=1的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆+=1，得：+=1，+=1，两式相减，得+=0，=1，即有a2=2b2=2（a2c2），a=c，e=；（）由（）可知b=c，则椭圆的右焦点F（b，0），设F关于直线y=x对称点为（，y0），则，解得b=2，a=b=2则椭圆方程为+=1，点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，以及方程的运用，同时考查点差法和点关于直线对称的求法，属于中档题20（14分）设函数f（x）=lnx+x22ax+a2，aR（I）若a=0，求函数f（x）在1，e上的最小值；（II）若函数f（x）在，2上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（III）求函数f（x）的极值点考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件 专题：计算题；导数的综合应用分析：（I）把a=0代入f（x），对其进行求导，利用导数研究其最值问题；（II）对f（x）进行求导，将其转化为在区间，2上存在于区间使得不等式g（x）0恒成立，根据抛物线的性质可以看出，图象开口向上，利用根与系数的关系进行求解；（III）对f（x）进行求解，可以设出h（x）=2x22ax+1，对a进行讨论：a0或a0两种情况，利用导数研究函数的极值问题；来源:学优高考网解答：解：（I）当a=0时，函数f（x）=lnx+x2的定义域为（0，+），f（x）=+2x0，来源:gkstk.Comf（x）在1，e上是增函数，当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，f（x）在1，e上的最小值为1；（II）f（x）=+2x2a=，设g（x）=2x22ax+1由题意知，在区间，2上存在区间使得不等式g（x）0恒成立，由于抛物线g（x）=2x22ax+1开口向上，只要g（2）0，或g（）0即可，由g（2）0，即84a+10，a，由g（）0，即a+10，a，a，即实数a的取值范围（，）（III）f（x）=，设h（x）=2x22ax+1，显然，当a0时，在（0，+）上h（x）0恒成立，这时f（x）0此时f（x）没有极值点；当a0时，当x或x时，h（x）0，这时f（x）0，当a时，x=是函数f（x）的极大值点；x=是函数f（x）的极小值点，来源:gkstk.Com综上，当a时，函数f（x）没有极值点；当a时，x=是函数f（x）的极大值点；x=是函数f（x）的极小值点；点评：此题主要考查利用导数研究求闭区间上的最值问题，此题综合性比较强，这类题型是2015届高考的热点问题，解的过程中我们用到了分类讨论和转化的思想，是一道中档题；