吉林省长白山高中数学全册综合素质能力检测新人教A版必修5.doc

必修5全册综合能力检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1等差数列an中，a1a4a739，a2a5a833，则a5a8a11的值为()A30B27C9 D152在ABC中，B45°，C60°，c1，则最短边的边长等于()A. B.C. D.3不等式f(x)ax2xc>0的解集为x|2<x<1，则函数yf(x)的图象为()4已知数列an，满足an1，若a1，则a2012()A. B2C1 D15已知ABC中，b30，c15，C29°，则此三角形解的情况是()A一解 B两解C无解 D无法确定6用钢管制作一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的钢管供选择，较经济(够用，又耗材最少)的是()A4.6m B4.8mC5m D5.2m7公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为()A. BC3 D38已知(x，y)|xy6，x0，y0，A(x，y)|x4，y0，x2y0，若向区域内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为()A. B.C. D.9设a，bR，a22b26，则ab的最小值是()A2 BC3 D10钝角ABC的三边长为连续自然数，则这三边长为()A1,2,3 B2,3,4C3,4,5 D4,5,611(2012·福建文，11)数列an的通项公式anncos，其前n项和为Sn，则S2012等于()A1006 B2012C503 D012在R上定义运算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)<1对任意实数x成立，则()A1<a<1 B0<a<2C<a< D<a<二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分将正确答案填在题中横线上)13等比数列an和等差数列bn中，a5b5,2a5a2a80，则b3b7_.14(2011·四川资阳模拟)在ABC中，A，BC3，AB，则C_.15已知变量x，y满足约束条件，若目标函数zaxy(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围为_16已知点(1，t)在直线2xy10的上方，且不等式x2(2t4)x4>0恒成立，则t的取值集合为_三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数18(本小题满分12分)(2011·黑龙江哈六中期末)在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面积等于，求a，b；(2)若sinCsin(BA)2sin2A，求ABC的面积19(本小题满分12分)为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小20(本小题满分12分)(1)如图，从相距165m的A、B两观察站测C、D两个目标的视角都是30°，同时知道A在C的正南、B在D的正东，求C、D两个目标间的距离(2)台湾是祖国不可分割的一部分，祖国的统一是两岸人民共同的愿望，在台湾海峡各自的海域内，当大陆船只与台湾船只相距最近时，两船均相互鸣笛问好，一天，海面上离台湾船只A的正北方向100海里处有一大陆船只B正以每小时20海里的速度沿北偏西60度角的方向行驶，而台湾船只A以每小时15海里的速度向正北方向行驶，若两船同时出发，问几小时后，两船鸣笛问好？21(本小题满分12分)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x，(1)求g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)f(x)|x1|.22(本小题满分14分)医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元，若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养需求，又使费用最省？详解答案1答案D解析在等差数列an中，设bnanan3an6，(n1,2,3)，则bn仍为等差数列b1a1a4a739，b2a2a5a833，公差db2b16，a5a8a11b5b14d394×(6)15.2答案A解析A180°(60°45°)75°，B最小，故边b最小，由正弦定理b·sinB.选A.3答案C解析由f(x)>0的解集为x|2<x<1知，f(x)开口向下，对称轴在y轴左侧，又yf(x)与yf(x)图象关于y轴对称f(x)图象开口向下，对称轴在y轴右侧，故选C.4答案B解析易知a22，a31，a4，a52，数列an的周期为3，而2012670×32，a2012a22.点评数列是特殊的函数，如果数列an对任意nN，满足anTan(TN*)，则T为an的周期5答案B解析b sinC30 sin 29°<30 sin 30°15c<b30.即：b sinC<c<b，如图，故有两解6答案C解析设直角三角形两直角边长分别为am，bm，由题设条件有ab1，即ab2，其周长Lab，据题意“经济”的含义是：在ab2的条件下，L最小L2(2)·且4.8<(2)<5，等号在ab时成立，故选C.7答案C解析设等差数列首项为a1，公差为d，由题设a1，a6，a21成等比数列，aa1·a21即：(a15d)2a1(a120d)，da1，公比q3.8答案D解析区域为图中OCD.区域A为图中OBE，易知B(4,0)、E(4,2)、C(6,0)、D(0,6)，由几何概型知，所求概率P.9答案C解析设abt，则atb，代入a22b26中得，(tb)22b26，整理得3b22tbt260，bR，4t212(t26)0，3t3，即(ab)min3.10答案B解析令三边长为n，n1，n2(nN)，且边长为n2的边所对的角为，则cos<0，1<n<3，nN，n1或2.三角形任意两边之和大于第三边，n2，三边为2,3,4.11答案A解析本题考查了数列求和中的分组求和思想方法ycos的周期T4，可分四组求和a1a5a20090，a2a6a2010262010503×1006，a3a7a20110，a4a8a2012482012503×1008，S20120503×10060×1008503·(10061008)1006.点评对于不能直接套用已有公式的情形，要注意适当化归或分组数列求和一般有直套公式型，分组求和型，裂项相消型和错位相减型等12答案C解析运算满足xyx(1y)，不等式(xa)(xa)<1化为(xa)(1xa)<1，整理得x2xa2a1>0，此不等式对任意实数x都成立，14(a2a1)<0，<a<.13答案4解析2a5a2a82a5a0，an0，a52，b3b72b52a54.14答案解析由正弦定理得，sinC，AB<BC，C<A，C.15答案解析作出可行域如图(包括边界)当直线zaxy经过A点，位于直线l1与x2y30之间时，z仅在点A(3,0)处取得最大值，a<，a>.16答案t|3<t<4解析(1，t)在直线2xy10的上方，t>3，不等式x2(2t4)x4>0恒成立，(2t4)216<0，0<t<4，3<t<4.17解析由题意，设这三个数分别是，a，aq，且q1，则aaq114令这个等差数列的公差为d，则a(41)·d.则d(a)，又有aq24××由得(q1)(q7)0，q1，q7代入得a14，则所求三数为2,14,98.18解析(1)由余弦定理及已知条件得，a2b2ab4，又因为ABC的面积等于，所以absinC，得ab4.联立方程组解得a2，b2.(2)由题意得sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，即sinBcosA2sinAcosA，当cosA0时，A，B，a，b，当cosA0时，得sinB2sinA，由正弦定理得b2a，联立方程组解得a，b.所以ABC的面积SabsinC.19解析设鱼塘的长为 xm，宽为ym，则农田长为(x4)m，宽为(y4)m，设农田面积为S.则xy10 000，S(x4)(y4)xy4(xy)1610 000164(xy)10 016810 01680010 816.当且仅当xy100时取等号所以当xy100时，Smin10 816m2.此时农田长为104m，宽为104m.20解析(1)由DACDBC30°，得A、B、C、D共圆，ACDABD.又，.由已知可求得ADB60°，CD55(m)(2)设x小时后，B船至D处，A船至C处，BD20x，BC10015x，x>0,10015x>0，0<x<，由余弦定理：DC2(20x)2(10015x)22·20x·(10015x)·cos120 °325x21 000x10 000325210 000.x小时后，两船最近，可鸣笛问好21解析(1)设函数yf(x)的图象上任一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则，即 ，点Q(x0，y0)在函数yf(x)的图象上，yx22x，即yx22x，故g(x)x22x.(2)由g(x)f(x)|x1|可得2x2|x1|0，当x1时，2x2x10，此时不等式无解，当x<1时，2x2x10，1x，因此，原不等式的解集为1，22解析设甲、乙两种原料分别用10 x g和10y g，需要的费用为z3x2y元病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为5x7y35，同理，对铁质的要求可以表示为10x4y40，即5x2y20，问题成为：在约束条件下，求目标函数z3x2y的最小值，作出可行域，如图所示：令z0，作直线l0：3x2y0.由图形可知，把直线l0平移至经过点A时，z取得最小值由得A.所以用甲种原料×1028(g)，乙种原料3×1030(g)，费用最省讲评备选练习1等差数列an的前n项和为Sn，已知a1>0，S150，若数列Sn中的最大项为Sk，则k()A15 B8或9C7或8 D8答案C解析S1515a80，a80，又a1>0，d<0，a7>0，a9<0，故在数列Sn中，S1<S2<<S7S8>S9>S10>，故k7或8.2在公差为4的正项等差数列中，a3与2的算术平均数等于S3与2的几何平均数，其中S3表示此数列的前三项和，则a10为()A38 B40C42 D44答案A解析由条件知a3a18，S33a112，解得a12.a1029×438.3若函数f(x)x2ax1的函数值有负值，则常数a的取值范围是()Aa<2或a>2 B2<a<2Ca2且a2 D1<a<3答案A解析f(x)是二次项系数为正值的二次函数，f(x)有负值>0，即a24>0，a>2或a<2.4设f(n)(nN*)，那么f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.答案D解析f(n1)f(n)()() .点评准确弄清f(n)的表达式是解题的关键，f(n)的表达式是一列数的和，每一个数分子都是1，分母从n1开始，每项递增1至2n结束，从而f(n1)应是分母从(n1)1n2开始，每项递增1至2(n1)2n2结束5圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a>0，b>0)对称，则的最小值是()A4 B6C8 D9答案D解析由条件知圆心(1,2)在直线上，ab1，552·9，等号在，即a2b时成立ab1，a，b，故在a，b时，取到最小值9.6(2011·江南十校素质测试)已知a、b、c是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|kabc|>1，则实数k的取值范围是()A(，0) B(2，)C(，0)(2，) D(0,2)答案C解析根据|kabc|>1可得|kabc|2>1，k2a2b2c22ka·b2ka·c2c·b>1，k22k>0，k<0或k>2.7(2011·豫南四校调研考试)若AB2，ACBC，则SABC的最大值为()A2 B.C. D3答案A解析设BCx，则ACx，根据面积公式得SABC×AB×BCsinBx，根据余弦定理得cosB，将代入得，SABCx，由三角形的三边关系得，解得22<x<22，故当x2时，SABC取得最大值2，故选A.一、选择题1等差数列an各项都是负数，且aa2a3a89，则它的前10项和S10()A11B9C15 D13答案C解析aa2a3a89，a3a8±3；an各项均为负数a3a83，S105(a3a8)15.2已知集合At|t240，对于满足集合A的所有实数t，则使不等式x2txt>2x1恒成立的x的取值范围是()A(3，)(，1) B(3，)(，1)C(，1) D(3，)答案A解析At|2t2，设f(t)(x1)tx22x1，由条件知f(t)在2,2上恒为正值，x>3或x<1.3设an是公差不为0的各项都为正数的等差数列，则()Aa1·a8>a4·a5 Ba1·a8<a4·a5Ca1a8>a4a5 Da1a8a4a5答案B解析设公差为d，d0，a1a8a4a5a1(a17d)(a13d)(a14d)12d2<0，a1a8<a4a5，又a1a8a4a5.选B.4(2012·福建理，5)下列不等式一定成立的是()Alg(x2)>lgx(x>0)Bsinx2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.>1(xR)答案C解析本题考查了基本不等式与重要不等式A中x时不等式不成立，B中sinx不总大于0，D中，x0时，不等式不成立点评在不等式中尤其是基本不等式中式子成立的条件很重要，不能忽视5已知a0，b0，且ab2，则下列各式中正确的是()Aab BabCa2b22 Da2b23答案C解析因为a0，b0，由基本不等式得2ab21ab1，故A，B均错误；又a2b22，故选项C正确，选项D错误6设O为坐标原点，点A(1,1)，若点B(x，y)满足，则·取得最小值时，点B的个数是()A1 B2C3 D无数个答案B解析根据题意作出满足不等式组的可行域，如图阴影部分所示·(1,1)·(x，y)xy，令zxy，则yxz，z的几何意义是斜率为1的直线l在y轴上的截距，由可行域可知，当直线l过点(1,2)或点(2,1)时，z最小，从而所求的点B有两个7不等式组(k>1)所表示的平面区域为D，若D的面积为S，则的最小值为()A30 B32C34 D36答案B解析作出可行域如图中OAB，其面积S×4×4k8k.8(k1)，8(k1)1632，等号在8(k1)，即k2时成立k2时，取最小值32.8设a、b、c是一个长方体的长、宽、高，且abc1，已知此长方体对角线长为1，且b>a，则高c的取值范围是()A. B.C(0,1) D.答案D解析由ab1c得，a2b22abc22c1a2b2>2ab，a2b2c21，2(1c2)>c22c11<c<，c>0，0<c<.9已知A(3,0)，O是坐标原点，点P(x，y)的坐标满足，则的取值范围为()A(3， B1，C2， D3,2答案A解析作出可行域如图(其中不包括线段OC)将原式化简可得：3cosAOP.由图知AOP<，所以1<cosAOP，故3<.10(2012·天津理，8)设m，nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是()A1，1B(，11，)C22，22D(，2222，)答案D解析本小题考查直线与圆相切的判断、基本不等式等知识直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，1，|mn|，(mn)2(m1)2(n1)2mn1mn(mn)2，(mn)24(mn)40，得mn22，或mn22.点评基本不等式及其变形是高考常考的知识，要有针对性的复习11(2011·深圳二调)已知ABC中，A30°，AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，则ABC的面积等于()A. B.C.或 D.或答案D解析依题意得AB，BC1，易判断ABC有两解，由正弦定理得，即sinC.又0°<C<180°，因此有C60°或C120°.当C60°时，B90°，ABC的面积为AB·BC；当C120°时，B30°，ABC的面积为AB·BC·sinB××1×sin30°.综上所述，选D.12(2011·泉州质检)ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于()A30° B60°C90° D120°答案B解析依题意得acosCccosA2bcosB，根据正弦定理得，sinAcosCsinCcosA2sinBcosB，则sin(AC)2sinBcosB，即sinB2sinBcosB，又0°<B<180°，所以cosB，所以B60°，选B.二、填空题13数列1，的一个通项公式为_答案an(不惟一)解析将数列中的项作适当调整为：，显然分子分母都是等差数列，分子bnn1，分母cn2n，通项an.14已知a、b、c分别为ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m(，1)，n(cosA，sinA)若mn，且acosBbcosAcsinC，则角B_.答案解析由mn得，cosAsinA0，tanA，A，由正弦定理acosBbcosAcsinC可变形为sinAcosBsinBcosAsin2C.ABC，sin(AB)sinC，sinCsin2C，sinC1，C，B.15(2010·辽宁理，14)已知1<xy<4且2<xy<3，则z2x3y的取值范围是_(答案用区间表示)答案(3,8)解析如图，作直线l0：2x3y0，平移l0可知，当平移到经过点A、B时， z分别取最小、最大值，A点是(3,1)，B点是(1，2)，3<z<8.16(2010·江苏，11)已知函数f(x)，则满足不等式f(1x2)>f(2x)的x的取值范围是_分析解含函数符号“f ”的不等式，一般是用单调性求解观察函数f(x)的表达式不难发现x0时，x211，且f(x)x21在0，)上单调增，又x<0时，f(x)1，f(x)在R上单调递增答案(1，1)解析f(x)对任意x1，x2R，当x1<x2时，有f(x1)f(x2)当f(x1)>f(x2)时，应有x1>x2.(否则，若x1x2，则f(x1)f(x2)，若x1<x2，则f(x1)f(x2)，均与f(x1)>f(x2)矛盾)f(1x2)>f(2x)，1x2>2x，x22x1<0，1<x<1，又当x<1时，1x2<0,2x<0，f(1x2)1，f(2x)1，不满足f(1x2)>f(2x)当x1时同理可验证不满足不等式，1<x<1.点评可以令1x20，找出分界点x±1，然后按x0,1，1分段进行讨论三、解答题17在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，cosB，且·21.(1)求ABC的面积；(2)若a7，求角C.解析(1)·|A|·|B|·cos·|A|·|B|·cos(B)|A|·|B|21，|A|·|B|35，又sinB，SABC|A|·|B|·sinB×35×14.(2)由(1)知ac35，又a7，c5又b2a2c22accosB49252×7×5×32，b4.由正弦定理得，即，sinC，又a>c，C(0，)，C.18把正整数按下表排列：(1)求200在表中的位置(在第几行第几列)；(2)求表中主对角线上的数列：1、3、7、13、21、的通项公式解析把表中的各数按下列方式分组：(1)，(2,3,4)，(5,6,7,8,9)，(1)由于第n组含有2n1个数，所以第n组的最后一个数是135(2n1)n2.因为不等式n2200的最小整数解为n15，这就是说，200在第15组中，由于142196，所以第15组中的第一个数是197，这样200就是第15组中的第4个数所以200在表中从上至下的第4行，从左至右的第15列上(2)设表中主对角线上的数列为an，即1,3,7,13,21，则易知an1(an2n)即an1an2n.an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12(n1)2(n2)2×112×1n2n1.19已知函数f(x)(xa，a为非零常数)(1)解不等式f(x)<x；(2)设x>a时，f(x)有最小值为6，求a的值解析(1)f(x)<x，即<x，化为(ax3)(xa)<0.当a>0时，(xa)<0，<x<a；当a<0时，(xa)>0，x>或x<a.(2)设txa，则xta(t>0)，f(x)t2a22a22a，当且仅当t，即t时，f(x)有最小值22a，依题意22a6，解得a1.20数列an中，a18，a42，且满足：an22an1an0(nN*)，(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(nN*)，Snb1b2bn，是否存在最大的整数m，使得对任意的n均有Sn>总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解析(1)an22an1an0，an2an1an1an(nN*)an是等差数列，设公差为d，a18，a4a13d83d2，d2，an8(n1)(2)102n.(2)bn()，Snb1b2bn(1)()()(1)，假设存在整数m满足Sn>总成立，又Sn1Sn(1)(1)()>0数列Sn是单调递增的，S1为Sn的最小值，故>，即m<8，又mN*，满足条件的m的最大值为7.21(2011·山东文，17)在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.(1)求的值；(2)若cosB，ABC的周长为5，求b的长解析(1)由正弦定理2R知，即cosAsinB2cosCsinB2cosBsinCcosBsinA，即sin(AB)2sin(BC)，又由ABC知，sinC2sinA，所以2.(2)由(1)知2，c2a，则由余弦定理得b2a2(2a)22·a·2acosB4a2b2a，a2a2a5，a1，b2.22预算用不超过2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？解析设桌、椅分别买x、y张，由题意得(x，yN*)，即.目标函数为zxy.满足以上不等式组所表示的可行区域是右图中以A、B、O为顶点的三角形区域E(包括边界和内部)由得，xy，即A(，)由得，即B(25，)将zxy变形为yxz，这表示斜率为1、y轴上的截距为z的平行直线系当直线xyz经过可行域内点B(25，)时，z取最大值，但xZ，yZ，故y37.买桌子25张，椅子37张是最优选择