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向量法在中学数学中的应用李科 四川·宜宾 644000摘 要： 向量知识在代数，几何，三角等数学分支中有着广泛的应用，利用向量这一工具可巧妙而简捷地处理多种题型。本文首先回顾了向量的一些基本性质，接着分别从空间几何，平面解析几何、不等式、最值问题，以及其他一些数学问题总结归纳向量在解决一系列数学问题中的应用，并举例说明使用向量更加快捷直观地解决一些较复杂的数学问题。关键词：向量；中学几何；中学代数；应用1.引言随着新课改逐步深入，向量及其运算成为高中数学新增内容，它融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与函数、复数、导数、平面几何、立体几何和平面解析几何等方面内容交叉渗透，使数学问题情境新颖别致，自然流畅，令人赏心悦目。能够灵活和综合应用向量法思维解决数学中的问题，对于我们拓展解题思路、提高解决效率、掌握解题技巧等方面起到了很好的直观帮助。向量作为一个既有方向又有大小的量，在数学中是一个最基本的概念。在现代数学的发展中起着不可替代的作用。是代数、几何、泛函分析等基础学科研究的基本内容。向量是代数的对象。运算及其规律是代数学的基本研究对象。向量可以进行多种运算，如，向量的加法、减法，数与向量的乘法（数乘），向量与向量的数量积（也称点乘），向量与向量的向量积（也称叉乘）等。向量的这些运算包含了三种不同类型的代数运算。向量的运算具有一系列丰富的运算性质。与数运算相比，向量运算扩充了运算的对象和运算的性质。向量是几何的对象。向量可用来表示空间的点、线、面。如果，以坐标系的原点为起点，向量就与空间中的点建立了一一对应关系；一点和一个非零向量可以唯一确定一条直线，它通过这个点且与给定向量平行；同样，一个点和一个非零向量，可以唯一确定一个平面，它过这个点且与给定向量垂直。在高维空间中，这种表示十分有用，还可以表示曲线，曲面。因此，向量可以描述、刻画和替代几何中的基本研究对象点、线、面，它也是几何研究的对象。向量是几何研究对象，这种认识很重要。在立体几何中，可用向量来讨论空间中点、线、面之间的位置关系；判断线线、线面、面面的平行与垂直，用向量来度量几何体：计算长度、角度、面积等。随着数学视野不断拓展，这样的观念会给我们越来越多的用处。向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁。它不需要什么过渡。在数学中，我们有两座沟通代数与几何的桥梁，一是向量，一是坐标系。坐标系依赖于原点的选择。向量的优越性在于可以不依赖于原点，空间中每一点的地位是平等的，它不依赖坐标，因此，它比坐标系更一般、更重要。一方面，通过向量的运算可以解决几何中的问题。比如，两直线是否垂直的问题，就可以转化为两个向量的点积是否为零的问题，这就实现了利用代数方法来解决几何问题。另一方面，对于代数问题，通过向量可以给予几何的解释。比如，两个向量的点积为零，那么就说明这两个向量所表示的直线是相互垂直的等等。向量是高中数学教材的重要内容。作为现代数学的重要标志，向量具有代数与几何形式的双重身份。它融数、形于一体，是数学知识的一个重要交汇点。它的引入，进一步发展和完善了高中阶段数学知识的结构体系，以向量为背景，一些传统的数学内容和数学问题就有了新的内涵，可深入了解数学教材中新增内容和传统内容的内部联系，构建合理的知识结构；以向量为工具，拓宽了研究和解决数学问题的思维通道，也为激发和培养学生的探索精神和创新意识提供了更广阔的空间。平面向量将几何知识和代数知识有机地结合在一起，主要渗透于函数、不等式、三角、无理方程、 数列、平面几何、立体几何、解析几何等基础的主干知识中，在研究许多数学问题时获得广泛的应用。将向量引入高中数学教材，并做为一种基础理论和基本方法要求学生掌握。2.向量基本性质回顾2.1.向量的概念既有方向又有大小的量叫做向量。具有方向的线段叫做有向线段，以为起点，为终点的有向线段记作。有向线段的长度叫做向量的模，记作。向量的三要素：起点、方向和长度。长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量、平行，记作。任意一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量。长度等于0的向量叫做零向量，记作。零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直，也与任意向量平行。长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。 2.2.向量的运算2.2.1 加法运算已知向量、,在平面内任取一点，作，则向量叫做与的和，记作，即，这种求和方法叫做向量加法的三角形法则。已知两个从同一点O出发的两个向量、，以、为邻边作平行四边形，则以为起点的对角线就是向量、的和，这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则。注：1.对于零向量和任意向量，有：(1) (2) 2.向量的加法满足所有的加法运算定律。2.2.2 减法运算已知向量、,在平面内任取一点,作，则向量，即可以表示为向量的终点指向向量的终点的向量。这种求差方法称为向量减法的三角形法则。向量减法实质是加法的逆运算。若,则或.2.2.3 数乘运算实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作， ，当时，的方向和的方向相同，当时，的方向和的方向相反，当时，。设、是实数，那么：（1）（2）（3）（4）向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。 2.2.4 向量的数量积已知两个非零向量、，它们的夹角是，那么叫做与的数量积或内积，记作。即 。叫做向量在方向上（在方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。若，则。向量的数量积的性质(1)(2)(3)(4)(5)2.3.向量的基本定理2.3.1 平面向量的基本定理如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使。2.3.2 空间向量的基本定理 如果三向量、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一有序实数组、，使。2.3.3 共线向量定理对空间任意两个向量、，的充要条件是存在实数，使2.3.4 共面向量定理如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在实数对，使3. 向量法在中学几何中的应用3.1向量在平面几何中的应用向量法与综合法、解析法，被认为是研究初等几何的三种主要方法，向量法在处理有关三角形“三线”(中线、角平分线、高)与“四心”(重心、垂心、内心、外心)等问题时有独到之处，另外 ，用向量知识处理平面几何问题时，可以避免去考虑几何中较复杂的关系。 例3.1 是平面上一定点，、是平面上不共线的三个点，动点满足,则的轨迹一定通过的( ).(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 解：由题意可设，则和分别为和上的单位向量，所以的方向为的角平分线的方向。又,所以的方向与的方向相同，而,所以，点在的角平分线的方向上移动，的轨迹通过的内心。故答案选(B).点评：本题将向量加法的几何意义及轨迹问题有机地结合在一起，通过向量加法的几何意义来求解平面几何的问题。由于向量具有几何形式，利用向量的运算去解决平面几何问题，可以少引或不引辅助线(如证三角形三条高线交于一点)，使解题的思路更加清晰、简捷，解法顺理成章。3.2向量在解析几何中的应用由于向量可以通过坐标来表示，因此平面向量与解析几何之间有着天然的联系。如：平面直角坐标系内的两点间距离公式，对应于平面内相应向量的长度公式；分一条线段成定 比的分点的坐标 ，可根据相应的两个向量的坐标直接求得；“两条直线平行的充要条件是其斜率相等”与“两个向量平行的充要条件是其对应坐标成比例”的说法没有本质的不同。因此 ，在有关解析几何的题目中，如果涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题时，常可考虑用平面向量来处理，将几何问题坐标化、符号化、数量化，利用向量运算的几何意义，省去解析几何中一些繁杂的运算，可以收到事半功倍的效果。 例3.2 椭圆的焦点为、，点为椭圆上的动点 ，当为钝角时，点横坐标的取值范围是（ ）.解 ：由题意知， ，设，则， ， 因为为钝角，所以，即，即， 又因为即，于是可得，所以.点评：在解析几何中，一方面存在着度量、角度、平行、垂直等问题，这为向量的应用提供了广阔的空间；另一方面解析几何问题是用代数方法来处理的，这又符合了向量的双重身份，给向量的应用创造了良好的环境。3.3向量在空间几何中的应用3.3.1 向量法解角的问题类型1：求异面直线与所成角求异面直线的夹角的传统解法是把空间角转化为平面角并用余弦定理来解，向量法在教材中的引入，使得在以往传统几何法的基础上又多了以向量为工具的向量解法。应掌握如下公式：向非零量和所成的角记为，若，,则 ，所以直线和所成的角为.特别地，当向量垂直于向量,则两向量的数量积为0，即，例3.3 如图3.1,三棱柱中，平面平面,，且，,求：异面直线与所成角的大小。 分析 1：由条件可得， ，再结合题干可知共点于的三条线段、的长度已知,且两两夹角已知，故可选择以,为基底来解决异面直线与所成角的大小，关键是把所求异面直线上的两个方向向量、都表示成基向量的形式。图3.1解:由题意知：因为平面平面，平面，平面平面 ，且 ， 所以平面，于是，即，因此,选择一组基向量，则，所以，= 同理又设异面直线与所成角为，则，所以.类型2：求线面所成角用向量求线面所成角的公式如下：若为平面的一条法向量，直线与平面所成角为，是直线方向上的向量，向量与的夹角是，则例3.4 如图3.2，正方体中，是的中点，（1）求与平面所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值。图3.2解：(1)如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，,，于是，,，设平面的一个法向量是，则由,得，即，令，则有，所以，于是，即BE与平面所成角的余弦值为.（2）此略，在例3.5中解答。类型3:求二面角的大小用向量法求二面角的大小，一般先找出两平面的法向量，则两个法向量所成的角或它的补角即为二面角的平面角。公式如下：若平面、的法向量分别为、,则，（1）若二面角为锐角，则；（2）若为钝角，则。例3.5 例3.4中第（2）问解：由题意知：令、分别为平面与平面的法向量，则易知，所以，于是二面角的余弦值.3.3.2向量法解距离问题类型1:求点（或线）到平面的距离所谓法向量就是和平面垂直的向量，通过它和平面上任意两不共线向量的乘积为0，可确定法向量设 为平面外一点，则点到面的斜线段向量在平面法向量方向的射影，即为点到平面的距离而与平面平行的线到该平面的距离可通过线上取一点，转化为点面距求之设是平面的法向量，是内任意一点，则点到平面的公式为例3.6 如图3.3，在正方体中，棱长为1，、分别为，的中点，求点到平面的距离。图3.3解：由题意知，。设平面的法向量为,则，由得 令，得，则,因为，故所求距离.类型2:求两异面直线的距离图3.4我们先来看看空间向量在轴上的投影。设向量，那么它在轴上的投影为，式中表示向量在轴上的投影从图3.4可以看出，为了作出在轴上的投影，可以过点、分别作与轴垂直的两个平面、，那么点、在轴上的射影分别为、，且点、必定在平面、上，显然，就是在轴上的投影从另一方面看，线段就是异面直线和的公垂线段，也就是两异面直线间的距离所以，异面直线上任意两点所连接的向量在公垂线方向上投影的绝对值就是两异面直线间的距离因为,所以，于是有式中表示两异面直线间的距离。由于，它们之间的距离处处相等，所以轴的选取不一定要是公垂线，而只要同时与两异面直线垂直，也就是说只要与公垂线方向向量共线即可。例3.7 若例3.6中的已知条件不变，求异面直线与距离解：由题意得,设与的法向量为，则且解得，故所求距离为.3.3.3向量巧解平行与垂直的问题类型1:向量法解平行问题无论是证明线线平行，还是线面平行，都对空间图形抽象思维有较高要求，用向量法的话，则显得简单、易于上手。若要证明和两条直线平行，只需证。不妨设, ,则只要证实数；若要证与面平行，则只要证明平面内有一直线与之平行即可，也可证与平面法向量垂直，还可以只证能用、中任两个向量进行线性表示。例3.8 如图3.5，P是正方形所在平面外一点，若,分别在、上，且.(1)求证：平面，(2)求证：.图3.5分析：（1）根据共面向量定理，只需证明可以表示为、中任两个向量的线性组合，为此，必须选基底，再利用基底和三角形法则，找到上述向量之间的线性关系。解：由题意，取基底，设，则,于是从而又,所以故与、共面,又因为平面PBC,所以，MN平面PBC.（2）此略，在例3.9中解答.类型2:向量法解垂直问题要证和相垂直，只要证即可；而涉及到线面垂直的论证问题时，也可构造向量，并运用两向量垂直的充要条件去判断线线垂直，从而使线面垂直问题或证。例3.9：例3.8中第（2）问解：由题意知，只需证. 因为,所以,于是，.4. 向量法在中学代数中的应用由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。因此，向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其它许多问题时获得广泛的应用。利用平面向量这个工具解题。可以简捷、规范地处理代数中的许多问题。4.1求最值例4.1 求函数的最小值。解：由题设知，,且。设，由得，所以，当且仅当与共线，即时等号成立。此时，即，故当时，取得最小值.4.2求取值范围根据向量的性质，当求取值范围时可适当建模，一般有、和.例4.2 若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。解：设,，因，所以即从而,解得.4.3 解方程例4.3 解方程.解：因为，方程两边同时除以，得令由得所以上式中等式成立，于是解得代人原方程检验均适用。4.4代数求值例4.4 已知, ，求与的值.解：由题意可得，于是可构造向量，由向量不等式，得，又,所以，将代入已知等式可求得.评注：本题联系数量积公式，其中,灵活构造向量，利用向量不等式进行分析求解。4.5证明等式例4.5 设,其中,求证：.证明：设, ,设与的夹角为，则，解得,即，从而或，所以，于是.4.6解不等式例4.6 已知实数,满足，求证：.证明：因为，所以可构造向量, ,于是由向量不等式：，得.5. 向量法解三角函数的问题利用单位圆研究三角函数的几何意义时，表示三角函数的三角函数线其实就是平面向量。由于用向量解决问题时常常是从建立向量三角形入手的，这就使向量在三角里有关解三角函数的问题中发挥了重要作用。首先，两个向量的模 ，引出了两点间的距离公式，其次深入到三角函数。例5.1 已知向量,且，求的值。解：因，故 由得，又，即，又，,故.点评：本题先运用向量坐标形式的和运算及模的定义，转化为三角赋值问题，脱去了向量的外壳后，实质是已知，求的值。由于向量具有代数和几何形式，在解决有关三角函数的问题时，从向量三角形入手，常使问题能简便明了获解。6.结束语向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一。向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，尤其在高等数学与解析几何中，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的。利用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。向量联系代数与几何，它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出精确的最终结论。向量很容易被处于高中文化水平之上的学生理解和接受，而且其所具有的良好的“数形结合”特点使它与中学数学知识能够融汇贯通，相辅相承。一旦学生掌握了向量，使学生建立空间想象能力，不再是学习立体几何的最大阻力。很多立体几何中的问题在向量的这一工具的参与下摆脱了纯几何推理，转换成简单的向量代数推理。7.谢辞本论文设计在唐金芳老师的悉心指导和严格要求下完成，从课题选择到具体的写作过程，论文初稿与定稿无不凝聚着唐金芳老师的心血和汗水，在我的毕业设计期间，唐老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议，唐老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度使我深受感动，没有这样的帮助和关怀和熏陶，我不会这么顺利的完成毕业设计。在此向唐金芳老师表示深深的感谢和崇高的敬意！在临近毕业之际，我还要借此机会向在这四年中给予我诸多教诲和帮助的各位老师表示由衷的谢意，感谢他们四年来的辛勤栽培。不积跬步何以至千里，各位任课老师认真负责，在他们的悉心帮助和支持下，我能够很好的掌握和运用专业知识，并在设计中得以体现，顺利完成毕业论文。同时，在论文写作过程中，我还参考了有关的书籍和论文，在这里一并向有关的作者表示谢意。我还要感谢同组的各位同学以及我的各位室友，在毕业设计的这段时间里，你们给了我很多的启发，提出了很多宝贵的意见，对于你们帮助和支持，在此我表示深深地感谢！参考文献1刘八芝. 向量在中学数学教学中的应用J.镇江高专学报，2003(4)第1版2赵国俊. 例谈向量在解题中的应用J.兰州教育学院学报，2004(3) 第2版 3陈楚. 向量在解析几何中的应用J.广东教育教研，2007(2)第1版4冯家惠，高根会. 空间向量在立体几何中的初步应用J数学通讯，2002(13)第3版5李锦昱，王海波. 构造向量,巧证不等式J.数学通讯，2002(20)第1版6侯云畅. 高等数学M.高等教育出版社，200018-587吕林根，许子道. 解析几何M.高等教育出版社，2006.1-628蔡上鹤，田载今. 高中教材数学M.人民教育出版社，2005.96-1279段小龙，曹兵. 高中数学辞典M.四川辞书出版社，2005.338-362