南菁高级中学—第一学期高三数学摸底考试试卷参考答案.doc

江苏省南菁高级中学20112012学年第一学期高三数学摸底考试试卷答案一填空题（每小题5分，共计80分）16；212 ；3（0, 2）； 41, 3；5；6；7 ； 832；912；10(3, 3)； 11(1，+)； 12 13； 14 2, 0)； 15；16.二解答题（共计80分）17解；（1）矩阵M的特征多项式为 = 因为方程的一根，所以 由得， 4分设对应的一个特征向量为, 则得令, 所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为 8分（2）消去参数，得直线的直角坐标方程为； 10分即，两边同乘以得，得的直角坐标方程为：, 13分圆心到直线的距离，所以直线和相交 16分0123P18解（1）甲答对试题数的概率分布为： 5分甲答对试题数的数学期望E=0×+1×+2×+3×=. 7分（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)=， P(B)=. 11分因为事件A、B相互独立，甲、乙两人考试均不合格的概率为P()=P()P()=（1)(1)=. 13分甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1P()=1=. 15分答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为. 16分（或P=P(A·)+P(·B)+P(A·B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=×+×+×=.）19解：原条件可化为 3分易求的b1=1, b2=2, b3=3, b4=4, 由此猜想：bnn， 7分下面证明：对nN*都成立 法一： 16分法二： 又 由 Þ Þ 16分法三：(1x)n，两边求导可得，n(1x)n1，令x1, 有16分20解： 由题意：设f (x)ax(x4)(a0)，即f (x)a(x2)24a， 2分f (x)在区间1, 4上的最大值为5，且对称轴为x2、a0， f (1)5a5, a1, f (x)x24x 4分 设t1cosx (0t2)，则原不等式化为f (2t)f (tm)， 5分 4t28t(tm)24(tm)， 3t2(2m4)tm(m4)0， (tm)(t)0 7分 当m，即 m1时，mt此不等式对任意的t0, 2恒成立的充要条件是，解得m2 10分 当m，即m1时，(t1)20, 不满足要求； 12分 当m，即m1时，tm, 此不等式对任意的t0, 2恒成立的充要条件是，解得m4 15分综上所述，实数的取值范围是(, 4)(2, ) 16分21解：（1）显然g (x) =2x+1 (0x1) 满足x0, 1， f (x)2；f (1)=3；若x10, x20, x1+x21，则g (x1+x2)g(x1)+g(x2)=2x1+x22x12x21=(2x11)(2x21)22即g (x1+x2)g (x1)+g(x2)2成立，故为理想函数。 4分（2）设x1, x20, 1, x1<x2, 则x2x1(0, 1f (x2)=f (x2x1)+x1f (x2x1)+f (x1)2f (x2)f (x1)f (x2x1)20, f (x1)f (x2)则当0x1时，f (0)f (x)f (1)， 8分在中，令x1=x2=0, 得f (0)2，由得f (0)2， f (0)=2 当x=1时，f (1)=3， 当x=0时，f (x)取得最小值2，当x=1时，f (x)取得最大值3 10分（3）对x(0，1，总存在nN，<x, 12分由(2)及该同学的结论，得f (x)f ()+2, 14分又2x+2>2·+2= +2, f (x)<2x+2综上所述，对一切x(0，1，都有f (x)<2x+2 16分