陕西省西安市西北工业大学附中高三上学期第一次适应性训练理科数学试题及答案.doc

陕西省西安市西北工业大学附中2015届高三（上）第一次适应性训练数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）设全集为实数集R，M=x|x24，N=x|1x3，则图中阴影部分表示的集合是（） A x|12x1 B x|2x2 C x|1x2 D x|x2【考点】： Venn图表达集合的关系及运算【专题】： 集合【分析】： 根据阴影部分可知，元素是由属于N，但不属于M的元素构成【ks5u解析】： 解：由图象可知，阴影部分的元素由属于N，但不属于M的元素构成，结合集合的运算可知阴影部分的集合为（UM）NM=x|x24=x|x2或x2，UM=x|2x2，N=x|1x3，（UM）N=x|1x2故选：C【点评】： 本题主要考查利用Venn图表示集合的方法，比较基础2（5分）设aR，i是虚数单位，则“a=1”是“为纯虚数”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据纯虚数实数为0，虚部不为0，结合充要条件的定义，判断“a=1”与“为纯虚数”的充要关系，可得答案【ks5u解析】： 解：=，“为纯虚数”“a=±1”，故“a=1”是“为纯虚数”的充分不必要条件，故选：A【点评】： 本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键3（5分）已知函数f（x）=2sin（x+）（0，）图象的一部分（如图所示），则与的值分别为（） A ， B 1， C ， D ，【考点】： 由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 由f（0）=1，可求得=或=；利用T=，且T，可求得（，）；分=与=讨论，即可求得答案【ks5u解析】： 解：f（0）=2sin=1，sin=，又，=或=；由图知，T=，且T=×，；又+=，当=时，+=，解得=（，），舍去；当=时，由=，得=（，）与的值分别为：，故选：A【点评】： 本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查识图与运算求解、等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题4（5分）直线（a+1）x+（a1）y+2a=0（aR）与圆x2+y22x+2y7=0的位置关系是（） A 相切 B 相交 C 相离 D 不确定【考点】： 直线与圆的位置关系【专题】： 直线与圆【分析】： 把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径r，求出圆心到直线的距离d，再根据r2d20，可得dr，可得直线和圆相交【ks5u解析】： 解：圆x2+y22x+2y7=0，即 （x1）2+（y+1）2=9，表示以（1，1）为圆心、半径等于3的圆圆心到直线的距离d=再根据 9d2=9=，而7a24a+7的判别式=16196=1800，故有 9d2，即d3，故直线和圆相交，故选：B【点评】： 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了转化的数学思想，属于基础题5（5分）如果执行如图的算法语句输出结果是2，则输入的x值是（） A 0 B 0或2 C 2 D 1或2【考点】： 伪代码；分段函数的解析式求法及其图象的作法【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 由题意，算法语句是求函数y=的值，由算法语句输出结果是2，可得结论【ks5u解析】： 解：由题意，算法语句是求函数y=的值，算法语句输出结果是2，则2x+1=2（x1）或x2x=2（x1），解得x=0或x=2故选B【点评】： 本题考查伪代码，考查学生的计算能力，确定算法语句是求函数y=的值是关键6（5分）若ABC的内角A、B、C满足sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosB=（） A B C D 【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 计算题；不等式的解法及应用【分析】： 由题意利用正弦定理，推出a，b，c的关系，然后利用余弦定理求出cosB的值【ks5u解析】： 解：ABC的内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，则令a=2x，则b=3x，c=4x，由余弦定理：b2=a2+c22accosB，可得cosB=，故选：D【点评】： 本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型7（5分）已知向量，满足|=3，|=2，且（+），则在方向上的投影为（） A 3 B C D 3【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： 由于（+），可得（+）=0，解得=利用在方向上的投影=即可得出【ks5u解析】： 解：（+），（+）=0，=9在方向上的投影=3故选：D【点评】： 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的投影，属于基础题8（5分）（2014南海区模拟）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（） A B C 6 D 4【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题【分析】： 根据三视图，还原成几何体，再根据长度关系，即可求得几何体的体积【ks5u解析】： 解：由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为2，正四棱柱的底面边长为正方体的上底面，高为1原几何体的体积为故选A【点评】： 本题考查三视图，要求能把三视图还原成原几何体，有比较好的空间想象力，能根据三视图找到原几何体中的垂直平行关系和长度关系属简单题9（5分）（2012海淀区二模）为了得到函数y=log2的图象，可将函数y=log2x的图象上所有的点的（） A 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 B 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度 C 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 D 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度【考点】： 函数的图象与图象变化【专题】： 压轴题；函数的性质及应用【分析】： 把给出的函数y=log2变形为y=，从而看到函数自变量和函数值的变化【ks5u解析】： 解：函数y=log2=，所以要得到函数y=log2的图象，可将函数y=log2x的图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度故选A【点评】： 本题考查了函数的图象与图象变化，解答此类问题的关键是看自变量x发生了什么变化，然后再根据“左加右减”的原则，是易错题10（5分）已知函数f（x）=，（a0，且a1），若数列an满足an=f（n），（nN+），且an是递增数列，则实数a的取值范围是（） A （0，1） B ，3） C （1，3） D （2，3）【考点】： 数列的函数特性【专题】： 点列、递归数列与数学归纳法【分析】： 已知函数f（x）=，（a0，且a1），若数列an满足an=f（n），（nN+），且an是递增数列，可得函数f（x）=，（a0，且a1）为增函数，而且根据分段函数的性质，可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a1，且3a0，且f（2）f（3），由此构造一个关于参数a的不等式组，解不等式组即可得到结论【ks5u解析】： 解：因为函数f（x）=，（a0，且a1），数列an满足an=f（n），（nN+），且an是递增数列，所以1a3且f（2）f（3），因此2（3a）+2a2，解得a4或a2，所以实数a的取值范围是（2，3）故选：D【点评】： 本题主要考查了分段函数，属于中档题，解答此题的关键是分析出函数f（x）=，（a0，且a1）为增函数，而且结合分段函数的性质，可得函数在各段上均为增函数二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分将答案填写在题中的横线上11（5分）某商场在销售过程中投入的销售成本x与销售额y的统计数据如表：销售成本x（万元） 3 4 6 7销售额y（万元） 25 34 49 56根据上表可得，该数据符合线性回归方程：y=bx9由此预测销售额为100万元时，投入的销售成本大约为10.9万元【考点】： 线性回归方程【专题】： 计算题；概率与统计【分析】： 由题意，=5；=41；代入y=bx9可得b=5；再令y=100求x即可【ks5u解析】： 解：由题意，=5；=41；故41=5b9；故b=10；故当y=100时，100=10x9；解得x=10.9；故答案为：10.9万元【点评】： 本题考查了线性回归方程的求法与应用，属于基础题12（5分）若函数f（x）在R上可导，f（x）=x3+x2f（1），则=4【考点】： 定积分【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 先根据导数的运算法则求导，再求出f（1）=3，再根据定积分的计算法计算即可【ks5u解析】： 解：f（x）=x3+x2f（1），f（x）=3x2+2xf（1），f（1）=3+2f（1），f（1）=3，f（x）=x33x2，=（）|=48=4，故答案为：4【点评】： 本题主要考查了导数的运算法则和定积分的计算，属于基础题13（5分）如果长方体ABCDA1B1C1D1的顶点都在半径为3的球的球面上，那么该长方体表面积的最大值等于72【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是确定直径，推出长方体的表面积的表达式，然后求出最大值【ks5u解析】： 解：设长方体的三度为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，由题意可知a2+b2+c2=62=36，长方体的表面积为：2ab+2ac+2bc2a2+2b2+2c2=72；当a=b=c时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大故答案为：72【点评】： 本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力；注意利用基本不等式求最值时，正、定、等的条件的应用14（5分）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a10+b10=123【考点】： 类比推理；等差数列的通项公式【专题】： 规律型【分析】： 观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，所求值为数列中的第十项根据数列的递推规律求解【ks5u解析】： 解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第十项为123，即a10+b10=123，故答案为：123【点评】： 本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理三、【选修4-5不等式选讲】（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）15（5分）若x，y为正整数，满足=1，则 x+y的最小值为36【考点】： 基本不等式【专题】： 计算题【分析】： 利用基本不等式即可求得答案【ks5u解析】： 解：x，y为正整数，满足=1，x+y=（x+y）（+）=4+16+36（当且仅当x=12，y=24时取“=”）故答案为：36【点评】： 本题考查基本不等式，考查整体代换思想，属于中档题四、【几何证明选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）16（2014郴州二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CDAB，垂足为D，且AD=5DB，设COD=，则tan的值为【考点】： 直角三角形的射影定理【专题】： 计算题【分析】： 求tan的值，可转化为解三角形OCD，根据相交弦定理，不难求出CD与半径的关系，根据已知也很容易出出OD与半径的关系【ks5u解析】： 解：令圆O的半径为R，即OA=OB=OC=RAD=5DBOD=R，AD=R，BD=R由相交弦定理可得：CD2=ADBD=CD=tan=故答案为：【点评】： 如果题目中出现有一条弦（特别是直径），被分成成比例的两条线段时，可考虑使用相交弦定理如果该弦为直径，则还可以结合垂径定理进行解答五、【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）17圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=4cos，=4sin，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为xy+2=0【考点】： 简单曲线的极坐标方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： 把极坐标方程化为直角坐标方程，求出它们的圆心坐标，再用截距式式求的经过两圆圆心的直线方程【ks5u解析】： 解：圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=4cos，=4sin，它们的直角坐标方程分别为 （x2）2+y2=4，x2+（y+2）2=4故这两个圆的圆心分别为（2，0）、（0，2），再用截距式式求的经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为 +=1，即 xy+2=0，故答案为：xy+2=0【点评】： 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，用截距式求直线的方程，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（12分）已知数列an的各项都是正数，前n项和是Sn，且点（an，2Sn）在函数y=x2+x的图象上（）求数列an的通项公式；（）设bn=，Tn=b1+b2+bn，求Tn【考点】： 数列的求和；数列递推式【专题】： 综合题；等差数列与等比数列【分析】： （）由点（an，2Sn）在函数y=x2+x的图象上，可得2Sn=an2+an，递推得2Sn1=an12+an1（n2），两式相减整理可得（an+an1）（anan11）=0，由an+an10，可知anan1=1，符合等差数列的定义，即可求数列an的通项公式；（）求出bn=，即可求Tn【ks5u解析】： 解：（）点（an，2Sn）在函数y=x2+x的图象上，2Sn=an2+an，2Sn1=an12+an1（n2）两式相减得2an=an2an12+anan1整理得（an+an1）（anan11）=0，an+an10，anan1=1（常数）an是以1为公差的等差数列又2S1=a12+a1，即a12a1=0，解得a1=1，an=1+（n1）×1=n；（）2Sn=n2+n，bn=，Tn=b1+b2+bn=（1）+（）+（）=1=【点评】： 本题主要考查数列与函数，涉及了等差数列通项及前n项和，正确运用裂项法是关键19（12分）已知锐角ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，定义向量，且（）求角B的值；（）如果b=4，求ABC的面积的最大值【考点】： 平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数【专题】： 三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】： （）由，得=0，即（2sinB，）（cosB，cos2B）=0，利用正弦倍角公式、和差角公式可求得B值；（）利用余弦定理可得16=a2+c2ac，利用基本不等式可得ac的最大值，从而可得ABC的面积的最大值；【ks5u解析】： 解：（），因为，所以=0，即（2sinB，）（cosB，cos2B）=0，所以2sinBcosB+cos2B=sin2B+cos2B=2sin（2B+60°）=0，又ABC为锐角三角形，所以2B+60°=180°，解得B=60°；（）由余弦定理得，b2=a2+c22accos60°，即16=a2+c2ac，则16=a2+c2ac2acac=ac，当且仅当a=c时取等号，所以ABC的面积，所以ABC的面积的最大值是4【点评】： 本题考查平面向量数量积的运算、两角和与差的正弦函数，考查基本不等式求函数最值20（12分）（2012辽宁）如图，直三棱柱ABCABC，BAC=90°，AB=AC=AA，点M，N分别为AB和BC的中点（）证明：MN平面AACC；（）若二面角AMNC为直二面角，求的值【考点】： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题【专题】： 计算题；证明题；转化思想【分析】： （I）法一，连接AB、AC，说明三棱柱ABCABC为直三棱柱，推出MNAC，然后证明MN平面AACC；法二，取AB的中点P，连接MP、NP，推出MP平面AACC，PN平面AACC，然后通过平面与平面平行证MN平面AACC（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA为x，y，z轴，建立直角坐标系，设AA=1，推出A，B，C，A，B，C坐标求出M，N，设=（x1，y1，z1）是平面AMN的法向量，通过，取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，取，利用二面角A'MNC为直二面角，所以，解【ks5u解析】： （I）证明：连接AB、AC，由已知BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以M为AB中点，又因为N为BC的中点，所以MNAC，又MN平面AACC，因此MN平面AACC；法二：取AB的中点P，连接MP、NP，M、N分别为AB、BC的中点，所以MPAA，NPAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC，又MPNP=P，因此平面MPN平面AACC，而MN平面MPN，因此MN平面AACC（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，设AA=1，则AB=AC=，于是A（0，0，0），B（，0，0），C（0，0），A（0，0，1），B（，0，1），C（0，1）所以M（），N（），设=（x1，y1，z1）是平面AMN的法向量，由，得，可取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，得，可取，因为二面角A'MNC为直二面角，所以，即3+（1）×（1）+2=0，解得=【点评】： 本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明21（12分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表：已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为（）请完成下面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关”；（）从全部210人中有放回抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望E 优秀 非优秀 总计甲班 20 乙班 60 合计 210附：x2=P=（x2k） 0.05 0.01k 3.841 6.635【考点】： 独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【专题】： 概率与统计【分析】： （I）假设H0：“成绩与班级无关”由于从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为，可得优秀的人数=即可得到乙班优秀的人数，甲班非优秀的人数，利用K2= 计算出K2与6.635比较即可得出结论（II）由题意可知：B（3，），即可得出其分布列和数学期望【ks5u解析】： 解：（I）假设H0：“成绩与班级无关”从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为，优秀的人数=60乙班优秀的人数=6020=40，甲班非优秀的人数=2106060=90K2=12.2186.635，P（K26.635）0.01因此假设不成立故认为“成绩与班级有关”；（II）由题意可知：B（3，）P（=i）=（i=0，1，2，3）E=【点评】： 本题考查了独立性检验、二项分布列及其数学期望，属于中档题22（13分）已知函数f（x）=ax2+1（a0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=g（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b，c的值；（2）当a2+b=0时，求函数f（x）+g（x）在区间（，1上的最大值【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】： 导数的综合应用【分析】： （1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）根据a2+b=0，构建函数，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（，1上的最大值【ks5u解析】： 解：（1）f（x）=ax2+1（a0），则f（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b 又f（1）=a+1=c，g（1）=1+b=c，a+1=1+b，即a=b，代入式可得：a=3，b=3c=4（2）由a2+b=0得b=a2，设h（x）=f（x）+g（x）=ax2+1+x3a2x则h（x）=3x2+2axa2=（x+a）（3xa），令h（x）=0，解得：x=a0或x=0， x （，a） a （a，0） h（x） + h（x） 单调递增 极大值 单调递减原函数在（，a）单调递增，在（a，0）单调递减，若1a，即0a1时，此时函数在区间（，1单调递增，最大值为h（1）=a2+a；若1a，即a时，最大值为最大值为h（a）=a3+1综上所述：当a（0，1时，最大值为h（1）=a2+a；当a（1，+）时，最大值为h（a）=a3+1【点评】： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数综合性较强23（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2点P在椭圆C上，且满足PF1F2的周长为6（）求椭圆C的方程；（）设过点（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （I）由题意知：，由此能求出椭圆C方程（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）设直线l的方程为：y=k（x+1）（k存在）联立，得：（4k2+3）x2+8k2x+4k212=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积结合已知条件推导出存在，使得【ks5u解析】： 解：（I）由题意知：，解得，椭圆C方程为：（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）设直线l的方程为：y=k（x+1）（k存在）联立，得：（4k2+3）x2+8k2x+4k212=0，则又=而=为定值只需，解得：，从而=当k不存在时，此时，当时，=故：存在，使得【点评】： 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量的数量积的合理运用