河南省天一大联考高三阶段测试（一）文科数学试题 及答案.doc

河南省开封高级中学等22校2015届高三天一大联考(一)文科数学试卷【试卷综析】试题遵循了考查基础知识和基本技能为主体的原则，着重体现了对“双基”的考查。试卷考查了中学数学尤其是考试说明中的大部分知识点，选择题、填空题着重考查了集合、复数、函数的定义域、图象、单调性、初等函数、三角函数、不等式、程序框图、立体几何、排列组合、圆锥曲线、统计初步等常规知识点；解答题也着眼于常规的基本知识和基本技能的考查，考查了三角函数和解三角形、概率统计、立体几何等考生感觉熟悉、容易入手的内容，梯度设计合理。整份试卷中大部分是基础题目，这些题目的设计回归教材和中学教学实际，以自然但不俗套的形式呈现，既保证了高考试题的创新性，又让考生能以一种平和的心态面对试题，在有限的时间内尽力发挥出自己的最佳水平，保证了考生的“基础得分”，从而保证了考试较高的信度和效度。一、选择题：本大题共12小题每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.【题文】(1)已知集合A=则AB= 【知识点】集合运算. A1【答案解析】B 解析：,故选B. 【思路点拨】化简两已知集合，再利用数轴求它们的并集.【题文】(2)已知复数，则对应的点在A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【知识点】复数运算；复数的几何意义. L4【答案解析】C 解析：，则所以对应的点在第三象限，故选C.【思路点拨】将已知复数分母实数化得，所以，所以对应的点在第三象限.，【题文】（3）下列叙述中正确的是A命题“若，则”的否命题为“若，则”B“”是“”的必要不充分条件C命题“”的否定是“”D命题“若，则”的逆否命题为真命题【知识点】四种命题及关系；充分、必要条件；含量词的命题的否定. A2 A3【答案解析】D 解析：对于A：命题“若，则”的否命题为“若，则”所以A不正确；对于B：“”是“”的充分不必要条件，所以B不正确；对于C：命题“”的否定是“”，所以C不正确；只有D是正确的，故选D.【思路点拨】根据四种命题及关系；充分、必要条件；含量词的命题的否定，确定各选项的正误.【题文】（4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A8 B14 C12 D9【知识点】几何体的三视图. G2【答案解析】C 解析：由三视图知此几何体是四棱柱，其高为2，底面是上底2、下底4、高为2的等腰梯形，所以该几何体的体积，故选C.【思路点拨】由三视图知此几何体是四棱柱，其高为2，底面是上底2、下底4、高为2的等腰梯形，所以该几何体的体积.【题文】(5)双曲线的焦点到渐近线的距离为A B C 1 D【知识点】双曲线及其几何性质；点到直线的距离. H2 H6【答案解析】C 解析：焦点到渐近线的距离，故选C.【思路点拨】求得焦点坐标及渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得距离.【题文】(6)设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A9 B10 C8 D6【知识点】线性规划问题. E5【答案解析】B 解析：画出可行域，平移直线，可得最优解为两直线的交点A(3，1), 目标函数的最大值为：故选B.【思路点拨】画出可行域，利用平移法确定最优解，进而求得目标函数的最大值.【题文】（7）执行如图所示的程序框图，如果输入的N值是6，那么输出p的值是A15 B105 C120 D720【知识点】程序框图的应用. L1【答案解析】B 解析：依据程序框图得：循环过程依次为k=3,p=3k=5,p=15k=7,p=105此时不满足了，所以输出p=105,故选B.【思路点拨】依据程序框图得每次循环的结果，从而确定输出结果.【题文】(8)已知定义在R上的奇函数满足，当时，则=A B C D【知识点】函数的奇偶性与周期性. B4【答案解析】A 解析： =，故选A.【思路点拨】利用函数的奇偶性与周期性化简求值.【题文】（9）已知函数，则下列结论正确的是（ ）A.两个函数的图像均关于点成中心对称B. 的图像的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得的图像C.两个函数在区间上都是单调递增函数D.两个函数的最小正周期相同【知识点】三角函数的化简；三角函数对称中心；三角函数的单调区间；三角函数的图像的移动.C3,C4.【答案解析】C解析：解：由题可知；，由函数的性质可知为的对称中心，不是的对称中心，的图像的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位的图像，与不同，的周期为，的周期为.所以只有C为正确选项.【思路点拨】根据三角函数的性质进行求解.【题文】(10)设等差数列的前n项和为，若，则正整数A10 B11 C12 D13 【知识点】等差数列. D2【答案解析】D 解析：由得：，由=-12得，k=13.故选D.【思路点拨】利用等差数列的通项公式、前n项和公式求得结果.【题文】（11）如图所示，直线与抛物线交与点A,与圆的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则ABF的周长的取值范围是A(6,8) B(4,6) C(8,12) D(8,10)【知识点】直线与圆；直线与抛物线. H4 H8【答案解析】C 解析：易得，所以ABF的周长=，所以ABF的周长的取值范围是(8,10)，故选D.【思路点拨】根据题设求得A、B用m表示的坐标，从而得ABF的周长，所以ABF的周长的取值范围是(8,10).【题文】(12)已知，方程有四个实数根，则t的取值范围为A B C D【知识点】函数与方程. B9【答案解析】B 解析：设则由得，可判断函数在处有最小值，且x>0时>0, x<0时<0, 的图像以x轴为渐近线，因为，所以的图像大致为:所以方程有四个实数根，则在区间与各取一个值，令，因为，所以只需即解得，故选B.【思路点拨】根据的图像分析得方程有四个实数根的条件是：在区间与各取一个值，为此令，因为，所以只需即解得.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.【题文】(13)平行四边形ABCD中，,则-. 【知识点】向量的线性运算. F1 F3.【答案解析】4 解析：因为，且四边形ABCD是平行四边形，所以,所以.【思路点拨】利用向量的线性运算及坐标运算求得向量的坐标,再求它们的数量积.【题文】(14)从集合中随机选取一个数记为k，从集合中人随机选取一个数记为b,则直线不经过第四象限的概率为-.【知识点】古典概型. K2【答案解析】 解析：有序实数组（k,b）的所有结果是（-2，-1）、（-2,1）（-2,3）、（-1，-1）、（-1,1）、（-1,3）、（1，-1）、（1,1）、（1,3）共9个，其中不经过第四象限的有（1，1）、（1,3）两个，所以直线不经过第四象限的概率为：【思路点拨】写出所有基本事件，及事件“直线不经过第四象限”包含的基本事件，从而求得所求概率.【题文】(15)已知正四棱棱锥P-ABCD的底面边长和高都为2，O是底面ABCD 的中心，以O为球心的球与四棱锥P-ABCD 的各个侧面都相切，则球O的表面积为-.【知识点】几何体的结构. G1【答案解析】 解析：设O到平面PAB的距离为h，由得 ，所以球O的表面积为.【思路点拨】记O到平面PAB的距离为h，由得 ，所以球O的表面积为.【题文】（16）已知函数，则-.【知识点】函数及其表示.归纳法. B1 M1【答案解析】1008 解析：由题设条件得:由此归纳得，所以所求= = .【思路点拨】由已知函数得，再用并项求和求解.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤【题文】(17)(本小题满分12分)在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且。(I)求的值.(II)若，求的面积.【知识点】正弦定理；余弦定理；两角和与差的展开式.C5,C8【答案解析】解析：解：（）由正弦定理得又，所以，即，所以， 即，又，所以.（）由得，又因为，所以.【思路点拨】由正弦定理与两角和与差的展开式进行计算；根据余弦定理求出边长.【题文】（18）（本小题满分12分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河流上游六月份的降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5，现已知近20年的X值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200，140,110,160,220,140,160.（）求频率分布表中a,b,c的值，并求近20年降雨量的中位数和平均数； 近20年六月份降雨量频率分布降雨量70110140160200220频率abc（）假定2015年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求2015年六月份该水力发电站的发电量不低于505万千瓦时的概率.【知识点】概率与统计. I5 K2【答案解析】（）中位数是160，平均数是156；（）. 解析：（）由题意可得，（2分）中位数是，（4分）平均数.（6分）（）由已知可设，因为当时，所以，所以，当时, ，（8分）所以发电量不低于万千瓦时包含降雨量和三类，它们彼此互斥，（10分）所以发电量不低于万千瓦时的概率.（12分）【思路点拨】（）由频率、中位数、平均数的意义求结果；（）根据题意可设，因为当时，所以，所以，当时, ，所以发电量不低于万千瓦时包含降雨量和三类，它们彼此互斥，所以发电量不低于万千瓦时的概率.【题文】(19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-的侧棱底面ABC, 是棱的中点，F是AB的中点，AC=BC=1，.（）求证;CF平面; （）求三棱锥在底面上的高. 【知识点】空间线面位置关系的判定与证明；空间距离的求法. G4 G11【答案解析】（）略；（） 解析：（）取的中点，连接，因为分别是的中点，所以，因为为侧棱的中点，所以，（3分）所以四边形是平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面.（6分）（）因为三棱柱的侧棱底面，所以平面，又平面，所以，又，所以，因为，所以平面，所以，得，（10分）因为，所以，因为，所以三棱锥在底面上的高为.（12分） 【思路点拨】（）在平面上求得直线与直线CF平行，为此取的中点，连接，因为分别是的中点，所以，因为为侧棱的中点，所以，所以四边形是平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面.（）利用等体积转化法，即由，而易求，面积可求，从而求得三棱锥在底面上的高.【题文】（20）（本小题满分12分）已知函数.（）当时，若曲线与在出有相同的切线，求b的值；（）当a=0时，若对任意的恒成立，求b的取值范围.【知识点】导数的应用. B11 B12【答案解析】（）1；（） 解析：（）因为，所以，又，得在处的切线方程为，（2分）又因为，所以，又，得在处的切线方程为， 因为曲线与在处有相同的切线，所以.（4分）（）由，设，则，（i）当时，函数在上单调递增，又，所以当时，与函数矛盾，（6分）（ii）当时，由，得；由，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，（8分）当时，又， ，与函数矛盾；当时，同理，与函数矛盾；当时， ，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故满足题意.综上所述，的取值的范围为.（12分）【思路点拨】（）分别求两曲线在点（0,1）处的切线方程，由它们是同一条直线的b值.（）当a=0时，设设，则命题为：对任意恒成立，只需的最小值大于或等于0，利用导数法讨论从而确定b的取值范围.【题文】(21)(本小题满分12分)定圆M：，动圆N过点F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.（I）求轨迹E的方程；（II）设点A，在E上运动，A与B关于原点对称，且，当的面积最小时，求直线AB的方程【知识点】椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系H5,H8【答案解析】解析：解：（）因为点在圆内，所以圆内切于圆.因为，所以点的轨迹为椭圆，且,所以，所以轨迹的方程为.（）（i）当为长轴（或短轴）时，依题意知，点就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时.（ii）当直线的斜率存在且不为时，设其斜率为，直线的方程为，联立方程得所以 .由知，为等腰三角形，为的中点，所以直线的方程为，由解得，由于，所以，当且仅当，即时等号成立，此时面积的最小值是.因为，所以面积的最小值为，此时直线的方程为或.【思路点拨】根据定义求出椭圆方程，利用直线与椭圆的联立方程讨论面积请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.【题文】（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，ADBC于点D,过点B作圆O的切线，与CA的延长线交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P. （）求证：BF=EF; （）求证：PA是圆O的切线. 【知识点】几何证明选讲. N1【答案解析】（）略；（）略. 解析：（） 因为是圆的直径，是圆的切线，所以，又因为，所以，可知， ，所以，所以，因为是的中点，所以，所以是的中点，. （5分）（）如图，连接，因为是圆的直径，所以在中，由（）知是斜边的中点，所以，所以.又因为，所以因为是圆的切线，所以.因为，所以是圆的切线.（10分）【思路点拨】（）易得，从而得， ，所以，所以，因为是的中点，所以，所以是的中点，.（）即证,即证在中，由（）知是斜边的中点，所以，所以.又因为，所以因为是圆的切线，所以.因为所以是圆的切线.【题文】（23）(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，是过定点P（4,2）且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位）中，曲线C的极坐标方程为.（）写出直线的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）若曲线C与直线相交于不同两点M、N,求的取值范围.【知识点】极坐标与参数方程. N3【答案解析】（）为参数,; （） 解析：（）直线的参数方程为为参数.（2分）因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为.（4分）（）将代入中，得，则有（6分）所以.又，所以，（8分）由得，所以.（10分）【思路点拨】（）设直线上任一点M,PM=t，则直线的参数方程为为参数.（）把直线的参数方程代入圆的普通方程得则有，所以.又，所以，所以，由得，所以. 【题文】(24) (本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x的不等式的解集为A.（）若a=1，求A;（）若A=R,求a的取值范围.【知识点】含绝对值的不等式. N4【答案解析】（）或; （）解析：（）当时,原不等式化为, 得；当时,原不等式化为,得；当时，原不等式化为,得，综上，或.（5分）（）当时,成立，所以此时.当时, ，得或,在x>-2上恒成立，得.综上，的取值范围为.（10分） 【思路点拨】（）分段讨论解不等式；（）通过对不等号右边式子的符号的讨论，确定实数a的取值条件，最后求它们的交集即可.