上海市金山区高三上学期期末考试（一模）数学试题及答案.doc
上海市金山区20142015学年第一学期期末考试高三数学试卷(满分：150分，完卷时间：120分钟) （答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1若集合M=，xÎR，N=，x2，则MN= 2计算：= 3不等式：的解是 4如果复数z =（bÎR）的实部与虚部相等，则z的共轭复数= 5方程：sinx+cosx =1在0，上的解是 6等差数列an中，a2=8，S10=185，则数列an的通项公式an= (nÎN*) 7当a>0，b>0且a+b=2时，行列式的值的最大值是 8若的二项展开式中的常数项为m，则m= 9从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别是：(单位：克)125，124，121，123，127，则该样本的标准差是 克 10三棱锥OABC中，OA=OB=OC=2，且BOC=45°，则三棱锥OABC体积的最大值是 11从集合1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k(其中kÎ5, 6, 7, 8, 9)的概率是，则k= 12已知点A(3,2)和圆C：(x4)2+(y8)2=9，一束光线从点A发出，射到直线l：y=x1后反射(入射点为B)，反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是 AGDEHBCMF第13题图13如图所示，在长方体ABCDEFGH中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内的一点，如果MGF=MGH，MG和平面EFG所成角的正切值为，那么点M到平面EFGH的距离是 14已知点P(x0, y0) 在椭圆C：(a>b>0)上，如果经过点P的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P称为切点，这条切线方程可以表示为：根据以上性质，解决以下问题：已知椭圆L：，若Q(u，v)是椭圆L外一点(其中u，v为定值)，经过Q点作椭圆L的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程是 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15复数z1a+bi(a、bÎR，i为虚数单位)，z2b+i，且|z1|<|z2|，则a的取值范围是( )(A)a1 (B)a0 (C)la1 (D)a1或a116用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数有( )(A) 60个 (B) 48个 (C) 36个 (D) 24个 17设k>1，f(x)=k(x1) (xÎR)，在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图像与x轴交于A点，它的反函数y=f 1(x)的图像与y轴交于B点，并且这两个函数的图像相交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则实数k等于( )(A) 3 (B) (C) (D) 18若集合A1、A2满足A1A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A=a1，a2，a3的不同分拆种数是( )(A)8 (B)9 (C)26 (D)27三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19(本题满分12分)a、b、c分别是锐角ABC的内角A、B、C的对边，向量=(22sinA，cosA+sinA)，=(sinAcosA，1+sinA)，且已知a=，ABC面积为，求b、c的大小20(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分如图，在四棱锥PABCD的底面梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AB=2，AD=3，ADC=45°.已知PA平面ABCD，PA=1求：(1)异面直线PD与AC所成角的大小 (结果用反三角函数值表示)；PDCBA第20题图(2)三棱锥CAPD的体积21(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 已知a>0且a¹1，数列an是首项与公比均为a的等比数列，数列bn满足bn=an×lgan(nÎN*)(1)若a=3，求数列bn的前n项和Sn；(2)若对于nÎN*，总有bn < bn+1，求a的取值范围 22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线(1) 求曲线的方程；(2) 设点2,动点在曲线上运动时，的最短距离为，求的值以及取到最小值时点的坐标；(3) 设为曲线的任意两点，满足(为原点)，试问直线是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由23(本小题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设函数f(x)=2kax+(k3)ax (a>0且a¹1)是定义域为R的奇函数(1) 求k值；(2) 若f(2)<0，试判断函数f(x)的单调性，并求使不等式f(x2x)+f(tx+4)<0恒成立的t的取值范围；(3) 若f(2)=3，且g(x)=2x+2 x 2mf(x)在2,+上的最小值为2，求m的值上海市金山区20142015学年第一学期期末考试评分标准一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分10, 5； 2； 30<x<1； 41i； 5或0； 63n+2； 7087920； 92； 10； 117； 1210； 13；14二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15C； 16B； 17B； 18D 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19(本题满分12分)解：，又(22sinA)(1+sinA)(cosA+sinA)(sinAcosA)=0， 即： 又为锐角，则，所以A=60°6分因为ABC面积为，所以bcsinA=，即bc=6， 又a=，所以7=b2+c22bccosA，b2+c2=13， 解之得：或12分20(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分解：(1) 过点C作CFAB交AD于点F，延长BC至E，使得CE=AD，连接DE，则ACDE，所以PDE就是异面直线PD与AC所成的角或其补角，2分PDCBAFE因为ADC=45°，所以FD=2，从而BC=AF=1，且DE=AC=，AE=，PE=，PD=，在中，所以，异面直线与所成角的大小为8分(2) 因为VCAPD=VPACD， SACD=´CF´AD=3PA底面ABCD，三棱锥PACD的高为PA=1，VPACD=´ SACD ´ PA=1， 所以，三棱锥CAPD的体积为1.14分21(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.(1) 由已知有， ，所以，. 7分(2) 即.由且，得，所以或即或对任意nÎN*成立，且，所以或14分22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分(1) 根据抛物线的定义可知, 动点的轨迹是抛物线 所以曲线C的方程为x2=4y；4分(2) 设点T(x0, y0), x02=4y0 (y00)，|AT|=，a2>0，则当y0=a2时，|AT|取得最小值为2， 2=a1, a26a+5=0，a=5或a=1 (舍去)， 所以y0=a2=3，x0=±2，所以T坐标为(±2, 3)；10分(3) 显然直线OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，解之得P1(,)，同理P2(4k, 4k2)，直线P1P2的斜率为，直线P1P2方程为：整理得：k(y4)+(k21)x=0，所以直线P1P2恒过点(0, 4)16分23(本小题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解(1) 因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0， 所以2k+(k3)=0，即k=1，检验知，符合条件 4分(2) f(x)=2(axa x) (a>0且a¹1) 因为f(2)<0，<0，又a>0且a¹1，所以0<a<1 因为y=ax单调递减，y=a x单调递增，故f(x)在R上单调递减。7分不等式化为f(x2x)<f(tx4) 所以x2x >tx4，即x2+(t1)x+4>0恒成立， 所以=(t1)216<0，解得3<t<5. 10分(3) 因为f(2)=3，所以2()=3，即2a4 3a2 2=0，所以a=12分所以g(x)2x2x4m()()24m()2.令t=，由(1)可知t=为增函数，因为x2，所以t，令h(t)t24mt2(t2m)224m2 (t)15分若m，当t2m时，h(t)min24m22，m1 若m<，当t时，h(t)min6m2，解得m>，舍去综上可知m1.18分
