河南省中原名校高三下学期第二次联考理科数学试题及答案.doc

中原名校2013-2014学年高三下期第二次联考数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则集合等于（ ）A. B. C. D. 2.已知为纯虚数，是实数，那么（ ）A. B. C. D. 3.下列命题正确的个数是（ ）“在三角形ABC中，若,则”的逆命题是真命题；命题或，命题则是的必要不充分条件；“”的否定是“”；若随机变量，则回归分析中，回归方程可以是非线性方程.A.1 B.2 C.3 D.44.一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的P位于区间内，则判断框内应填入的条件是（ ） A. B. C. D. 5.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 6.函数为定义在R上的偶函数，且当时，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 7.已知双曲线，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 8.若为等差数列，数列满足则（ ）A.56 B.57 C.72 D.739.在三角形ABC中，的平分线交BC于D，AB=4, ,则AD的长为（ ）A. B. C. D. 10.已知函数的导函数为，且，设是方程的两根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 11.已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2, 若点P,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ）A. B. C. D. 12.将数字1,2,3,4填入右侧表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（ ）种.1234431221433421A.432 B.576 C.720 D.864第卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知实数满足，若的最大值为则14.已知则的展开式中的常数项是（用数字作答）15.已知椭圆分别是椭圆的上、下顶点，B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，则的余弦值是16.已知定义在R上的函数存在零点，且对任意都满足若关于的方程恰有三个不同的根，则实数的取值范围是三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数（）求函数的最大值，并写出取最大值时的取值集合；（）在中，角的对边分别为，若求的最小值.18.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的被淘汰.若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图.()求获得参赛资格的人数；()根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；()若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛.已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响.已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望.19.如图，在直角梯形ABCP中，,D是AP的中点，E,G分别为PC,CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD.（）若F是PD的中点，求证：AP平面EFG;（）当二面角G-EF-D的大小为时，求FG与平面PBC所成角的余弦值.20.如图，已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C上一点A作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q两点. （）若直线PQ过定点，求点A的坐标；（）对于第（）问的点A，三角形APQ能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD的个数；若不能，说明理由.21.已知函数图像上一点处的切线方程为()求的值；()若方程在区间内有两个不等实根，求的取值范围；()令如果的图像与轴交于两点，的中点为，求证：22.如图，在锐角三角形ABC中，D 为C在AB上的射影，E 为D在BC上的射影,F为DE上一点，且满足()证明：()若AD=2，CD=3.DB=4，求的值.23.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同单位长度.已知曲线过点的直线的参数方程为（t为参数）. ()求曲线C与直线 的普通方程；()设曲线C经过伸缩变换得到曲线，若直线 与曲线相切，求实数的值.24.设函数()当时，求不等式的解集；()若对恒成立，求的取值范围.中原名校20132014学年高三下期第二次联考数学(理)试题参考答案一、选择题：CDCCB ABBDA DB二、填空题：13.0 14.168 15. 16.17.解：().函数的最大值为.当取最大值时,解得.故的取值集合为.(6分)()由题意,化简得 , , 在中,根据余弦定理,得.由,知,即.当时,取最小值.(12分)18.解：()由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为500×(0.00500.00430.0032)×20125人. . (2分)()设500名学生的平均成绩为,则(×0.0065×0.0140×0.0170×0.0050×0.0043×0.0032)×2078.48分.(6分)()设学生甲答对每道题的概率为,则,.学生甲答题个数的可能值为3,4,5,则=所以的分布列为345×3×4×5. (12分)19. ()证明：是的中点时,/,/,/平面,/平面,平面/平面,平面,/平面.(6分)()建立如图所示的坐标系,则有,设,平面的法向量,则有PDABGCEFyxz,解得. .平面的法向量,依题意,.于是.平面的法向量,则有,解得. .与平面所成角为,则有,故有.(12分)20.解：()设抛物线的方程为,依题意,则所求抛物线的方程为.(2分)设直线的方程为,点、的坐标分别为.由,消得.由,得,.,.设点坐标为,则有.,或.或, 恒成立. .又直线过定点,即,代入上式得注意到上式对任意都成立,故有,从而点坐标为.(8分)()假设存在以为底边的等腰直角三角形,由第（）问可知,将用代换得直线的方程为.设,由消,得. ,.的中点坐标为,即,的中点坐标为.由已知得,即.设,则,在上是增函数.又,在内有一个零点.函数在上有且只有一个零点,所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. .(12分)21.解：(),.,且.解得a2,b1. .(4分)(),设,则,令,得x1(x1舍去).当x时, h(x)是增函数；当x时, h(x)是减函数.则方程在内有两个不等实根的充要条件是解得.(8分)(),.假设结论成立,则有,得.由得,于是有,即. 令, (0t1),则0.在0t1上是增函数,有,式不成立,与假设矛盾.CABDEFGame.(12分)22. ()证明：设与交于点,连接.,又,.于是有,注意到,四点共圆.从而有,.(5分)()在中, ,由,知,.又,.故.(10分)23.解：()曲线：,直线：. .(5分)()曲线：,与直线联立得,消去,得,由知,. .(10分)24. 解：(),的解集是. .(5分)()时,时,结合的图像知,解得或,故的取值范围是.(10分)