安徽省皖南八校高三第二次模拟考试 理科数学试题及答案.doc

2014届皖南八校高三第二次联考数学（理科）参考答案一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题 号12345678910答 案ACBAADBCDC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11 12 13 14 15 三、解答题（本大题共6小题，共75分）16（本题满分12分）已知中，、是三个内角、的对边，关于的不等式的解集是空集 （）求角的最大值； （）若，的面积，求角取最大值时的值解：（）显然 不合题意， 则，即， 即 解得： 故角的最大值为 - 6分 （）当=时， 由余弦定理得：， ，- 12分17（本题满分12分）从正方体的各个表面上的12条面对角线中任取两条，设为两条面对角线所成的角（用弧度制表示），如当两条面对角线垂直时，（）求概率；（）求的分布列，并求其数学期望解：（）当0时，即所选的两条面对角线平行则P(0)=- 4分（）0，；P(0)=， P( )=， P( )=；0P- 10分E- 12分18（本题满分12分）已知是正方形，直线平面，且，（）求二面角的大小；（）设为棱的中点，在的内部或边上是否存在一点，使，若存在，求出点的位置，若不存在说明理由解：方法一：（）因为，设平面的法向量为，则，令，得，同理得平面的法向量为，所以其法向量的夹角为，即二面角为- 6分（），设，（，），则由面，得存在点（即棱的的中点），使面- 12分FMOIHG方法二： （）连结交于，则面，作于，连结，则就是二面角的平面角=，二面角为（）存在的中点，使平面是中位线，而面，故平面19（本题满分13分）数列：满足，（）设，求证是等比数列；（）求数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，求证：解：（）由得，即， 是以2为公比的等比数列； - 4分 （） 由， 即， - 8分（） - 13分20（本题满分13分）已知命题“若点是圆上一点，则过点的圆的切线方程为”（）根据上述命题类比：“若点是椭圆上一点，则过点的切线方程为 ”（写出直线的方程，不必证明） （）已知椭圆：的左焦点为，且经过点（1，）（）求椭圆的方程；（）过的直线交椭圆于、两点，过点、分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程解：（）； - 3分（）（）； - 7分（）当直线的斜率存在时，设为，直线的方程为，设A，B，则椭圆在点处的切线方程为： 椭圆在点的切线方程为： 联解方程 得：，即此时交点的轨迹方程： - 11分当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，经过两点的切线交点为综上所述，切线的交点的轨迹方程为： - 13分21（本题满分13分）已知函数，（）（）若在定义域上单调递增，求实数的取值范围；（）若函数有唯一零点，试求实数的取值范围解：（）， - 2分令，则有根：，函数单增；，函数单减； - 5分； - 6分（）方法一：由题，即有唯一正实数根；令，即函数与函数有唯一交点；- 9分；再令，且易得，故，当时，函数单调递减；草图当时，函数单调递增；即， 又当时，而当时，且，故满足条件的实数的取值范围为：- 13分方法二：有唯一正实数根，记；（）若，即函数在定义域上单调递增，又，即函数有唯一零点；（）若即，则，从而，又当时，而当时，；故函数有唯一零点；（）若，则，但方程的两根满足： ，即两根均小于0，故，从而，由（）同理可知，仍满足题意；（）若，同样，则方程的两根为：，（舍）；当时，故在为增函数，当时，故在为减函数，故，当时，取得最大值；则，即，所以，即；令，则，即为定义域上增函数，又，所以方程有唯一解，故，解得；综上，实数的取值范围为：