上海市杨浦区高三第一学期一模理科数学试卷及答案.doc
上海市杨浦区20132014学年度第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷（理科） 2014.1.2考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上2本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1. 计算： 2若直线的倾斜角是，则 (结果用反三角函数值表示).3若行列式，则 . 4若全集，函数的值域为集合，则 .5双曲线的一条渐近线方程为，则_.6若函数的反函数为，则7. 若将边长为的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于 .8. 已知函数，若，则 _.9. 已知函数的最小正周期为，则 _ 10. 某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨11. 已知复数（为虚数单位），复数，则一个以为根的实系数一元二次方程是_. 12 若的二项展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中的常数项为 13设，随机取自集合，则直线与圆有公共点的概率是 14已知函数，定义函数 给出下列命题： ； 函数是奇函数；当时，若，总有成立，其中所有正确命题的序号是 . 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15.若空间三条直线满足，则直线与（ ）.一定平行 一定相交 一定是异面直线 一定垂直16“成立”是“成立”的（ ）. 充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分又非必要条件17. 设锐角的三内角、所对边的边长分别为、，且 ，, 则的取值范围为（ ）. 18定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为（ ）. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 已知正方体的棱长为.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求四棱锥的体积.20（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 已知向量，其中.函数在区间上有最大值为4,设.(1)求实数的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.21（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，点为轴上一点，记，其中为锐角求抛物线方程；如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求的大小？22 （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第问5分,第问5分，第（2）小题满分6分. 已知椭圆：.(1) 椭圆的短轴端点分别为(如图)，直线分别与椭圆交于两点，其中点满足，且.证明直线与轴交点的位置与无关； 若面积是面积的5倍，求的值；(2)若圆:.是过点的两条互相垂直的直线,其中交圆于、 两点,交椭圆于另一点.求面积取最大值时直线的方程.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第问5分,第问8分. 设是数列的前项和，对任意都有成立， (其中、是常数) （1）当，时，求；（2）当，时，若，求数列的通项公式；设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“数列”.如果，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有，且若存在，求数列的首项的所有取值构成的集合；若不存在，说明理由杨浦区20132014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2 一填空题（本大题满分56分） 1. 1 ； 2.； 3.2； 4. ； 5. ； 6. 1 ； 7. ； 8. 2； 9. 理； 10. 30 ； 11. ； 12. 理15 ；13.理， 14.理、， 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. D ； 16. B； 17. A ； 18.理B；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题19. 【解】（1）因为 ，直线与所成的角就是异面直线与所成角. 2分又为等边三角形，异面直线与所成角的大小为. 6分 （2）四棱锥的体积 12分 20. 【解】（1）由题得 4分 又开口向上，对称轴为，在区间单调递增，最大值为4, 所以， 7分 （2）由（1）的他， 8分令,则 以可化为,即恒成立, 9分且,当,即时最小值为0, 13分 14分21. 【解】理科 （1） 由抛物线焦点得,抛物线方程为 5分 （2） 设，则点 6分所以，既 7分解得 8分 同理： 9分 10分 11分“蝴蝶形图案”的面积令, 12分则, 时,即“蝴蝶形图案”的面积为8 14分22. 【解】理科解：（1）因为,M (m,)，且， 直线AM的斜率为k1=,直线BM斜率为k2=, 直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y= , 2分由得， 由得，； 4分据已知，直线EF的斜率 直线EF的方程为 , 令x=0,得 EF与y轴交点的位置与m无关. 5分,，, 7分 ，整理方程得，即，又有， ，为所求. 10分(2) 因为直线,且都过点,所以设直线,直线, 12分所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦；由,所以 所以 14分所以 当时等号成立,此时直线 16分23【解】（理科）解：（1）当，时，由得 用去代得， 得， 2分 在中令得，则0，数列是以首项为1，公比为3的等比数列，= .5分（2）当，时， 用去代得， 得， ， .7分用去代得， 得，即， .8分 数列是等差数列.，公差， 10分易知数列是等差数列，.又是“数列”，得：对任意，必存在使，得，故是偶数， .12分又由已知，故 一方面，当时，对任意，都有 .13分 另一方面，当时，则，取，则，不合题意. .14分当时，则， .15分当时， .16分又，或或或 .17分所以，首项的所有取值构成的集合为 18分（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）
