北京海淀区高三数学一模(理科)试题及答案.doc

海淀区高三年级第二学期期中练习 数学（理）答案及评分参考 2015.4一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）A （6）D （7）C （8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9） （10） （11） （12）或 （13） （14）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（）因为 2分 . 所以 . 4分令，得：. 6分所以 的最小正周期为，对称轴的方程为.（）. 9分 令， 得：. 所以 的单调递减区间为. 13分（16）（共13分）解：（）； 2分. 4分（）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则，. 6分所以 . 8分 （）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3. 9分， ，. 所以的分布列为01230.3430.4410.1890.027 11分所以 的数学期望.13分另解：由题意可知.所以 的数学期望. 13分（17）（共14分）证明：（）证明：因为 四边形为正方形， 所以 . 因为 平面平面，平面平面，平面， 所以 平面. 2分 因为 平面， 所以 . 4分（）解：如图，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则. 所以 ，. 6分 设平面的一个法向量为. 由得令，得，所以 . 8分设与平面所成角为，则.所以 与平面所成角的正弦值为. 10分（）解：直线与直线平行. 理由如下： 11分由题意得，.所以 . 所以 . 13分因为 ，不重合，所以 . 14分另解：直线与直线平行. 理由如下：取的中点，的中点，连接，.所以 且.因为 为的中点，四边形是正方形，所以 且.所以 且.所以 为平行四边形.所以 且.因为 四边形为梯形，所以 且.所以 四边形为平行四边形.所以 且.所以 且.所以 是平行四边形.所以 ，即. 14分（18）（共13分）解：（）. 2分（）当时，则函数的单调递减区间是. 3分（）当时，令，得. 当变化时，,的变化情况如下表极小值所以 的单调递减区间是，单调递增区间是. 5分（）由（）知：当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意. 6分当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 . 7分当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 . 9分因为 ，所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为. 11分因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是. 12分因为 ，所以 . 13分（19）（共13分）解：（）由题意得： 3分解得：所以 椭圆的方程为. 4分（）不存在满足题意的菱形，理由如下： 5分假设存在满足题意的菱形.设直线的方程为，线段的中点，点. 6分由得. 8分由 ，解得. 9分因为 ， 所以 . 11分因为 四边形为菱形，所以 是的中点.所以 点的纵坐标. 12分因为 点在椭圆上，所以 .这与矛盾. 13分所以 不存在满足题意的菱形. （20）（共14分）解：（）由，得.由，当，时. ,中至少有一个是数列，中的项，但，故，解得.经检验，当时，符合题意. 3分（）假设是数列中的项，由可知：6，10，15中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且.由，. 4分 对于数，由可知：；对于数，由可知：. 6分 所以 ，这与矛盾. 所以 不可能是数列中的项. 7分（）的最大值为，证明如下： 8分（1）令，则符合、. 11分（2）设符合、，则： （）中至多有三项，其绝对值大于1. 假设中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设，是中绝对值最大的四项，其中.则对，有，故，均不是数列中的项，即是数列中的项. 同理：也是数列中的项.但，.所以 .所以 ，这与矛盾.（）中至多有三项，其绝对值大于0且小于1.假设中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（）得出矛盾.（）中至多有两项绝对值等于1.（）中至多有一项等于0.综合（），（），（），（）可知中至多有9项. 14分由（1），（2）可得，的最大值为9.