概率论的发展简介及其在生活中的若干应用.doc

题 目：概率论的发展简介及其在生活中的若干应用摘要概率作为数学的一个重要部分，在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛的用处。加强数学的应用性，让学生用数学知识和数学的思维方法去看待，分析，解决实际生活问题，在数学活动中获得生活经验。这是当前课程改革的大势所趋。加强应用概率的意识，不仅仅是学习的需要，更是工作生活必不可少的。人类认识到随机现象的存在是很早的，但书上讲的都是理论知识，我们不仅仅要学好理论知识，应用理论来实践才是重中之重。学好概率论，并应用概率知识解决现实问题已是我们必要的一种生活素养。 关键字：概率论 实践 解决问题 AbstractProbability as an important part of mathematics, in the life of the used more and more widely, also plays a more and more extensive use. Strengthens mathematics applied, lets the student with mathematics knowledge and mathematical thinking method to treat, analysis, solve practical life in mathematics activities, gain life experience. This is the current trend of curriculum reform. Strengthen the consciousness of applied probability, not just learning, but also the need of work life indispensable. People realize how random phenomena exists is early on, but telling the theoretical knowledge, we should not only learn theory knowledge, the application of theory to practice is the most important. Learn probability, and applied probability knowledge solving realistic problem is already a life we necessary accomplishment. Key words: probability practice to solve problems 目 录一 前言 1二 概率论的发展简史 21早期的概率现象 22对早期概率论的发展有过重要贡献的数学家 43成熟中的概率论 5三 概率在生活中的应用71.在经济管理决策中的应用 82.在经济损失估计中的应用103.在求解最大经济利润问题中的应用104.在经济预测中的应用115.在经济保险问题中的应用126概率论中多元统计方法在起义经营管理中的应用137概率在中奖问题中的应用148概率在优化选择中的应用149概率与选购方案的综合应用1510概率与设计方案的的综合应 16四 参考文献18五 致谢 19一 前言概率论是一门与现实生活紧密相连的学科，不过大多数人对这门学科的理解还是很平凡的：投一枚硬币，0.5 的概率正面朝上，0.5 的概率反面朝上，这就是概率论嘛。学过概率论的人又多以为这门课较为理论化，特别是像母函数，极限定理等内容与现实脱节很大，专业性很强。其实如果我们用概率论的方法对日常生活中的一些看起来比较平凡的内容做些分析，常常会得到深刻的结果。 在谈及应用之前，先澄清一下多数人在概率方面的一个误解。大部分人认为一件事概率为0 即为不可能事件。这是不对的，比如甲乙玩一个游戏，甲随机地写出一个大于0 小于1的数，乙来猜。乙一次猜中这个数乙每秒猜一次，一直猜下去，“最终”猜中这个数。这两件事发生的概率都是0，但显然它们都有可能发生，甚至可以“直观”的讲发生的可能性大些。这说明概率为0 的事也是有可能发生的。不过在我看来，这样的可能性实在是太小了，在实际的操作中认为不可能也是有道理的，但不管怎么说，它们确是可能事件。来看一个赌博的例子。在我国南方流行一种称为“捉水鸡”的押宝，其规则如下：由庄家摸出一只棋子，放在密闭的盒中，这只棋子可以是红的或黑的将、士、象、车，马、炮之一。赌客们把钱押在一块写有上述12 个字（6 个红字、6 个黑字）的台面的某个字上。押定后，庄家揭开盒子露出原来的棋子。凡押中者（字和颜色都对）以1 比10 得到赏金，不中者其押金归庄家通过简单计算便知，当一个赌徒押上1 元之后，其期望所得（即平均所得）为元，也就是说其净收益的期望为-元。因此这是不公平的赌博。当然了，多数赌徒即使不懂概率论，也应该明白自己参与的是不公平赌博，不过他们由于的侥幸心理，抱着寻求刺激的想法，还是会义无反顾地参与进去。但由概率论的原理我们知道，长期负期望的累积，其结果必然为负，也就是说，长期的赌博，结果必然会输，那种“万一运气好”的侥幸心理是不科学的。所以说，我们不仅从社会要求上不应参与赌博，从结果上看，我们也不应赌博。再看一个应用：在12 只金属球中，混有一只假球，并且不知道它是比真球重或轻，用没有砝码的天平来称这些球，试问至少需要多少次称量才能找出这个假球，并确定它是比真球轻或重为了讲清概率论在这个问题中的应用，先讲一下熵的概念。熵是概率论的分支学科-信息论中的概念，它是一个实验不确定程度的量度，熵越大，说明该实验的不确定性越高。比方说，扔一枚硬币是一个实验，扔一枚色子也是一个实验，直观地讲，我们说前者的不确定性要小些；计算结果，前者的熵为lg2,后者的熵为lg6,与直观吻合。同样，判断12个球的真假和轻重也是一个实验，它的熵为lg24，我们要在若干次称量后将其不确定性降为0，也就是要其熵降为0。每用天平称量一次（随便怎样称），天平都有3 种结果，于是最多获得lg3的信息，所以k次称量最多可得k*lg3,也就是lg的信息。令lglg24 lg 得k=3，至少进行3 次实验才能完成要求。当然，这是理论上最少的结果，我们还要找到一个现实可行的方案，实际上，这样的方案也是有的，所以说得到的解是正确的结果。这种方法将看似是智力测验的题目用数学方法解决了。其实用这种方法还可解决4 次使用天平，能判断最多多少个球的真假轻重情况的问题。关于这点，可以这样考虑：第一次称量时，所有的球只有两种可能：要么在天平上，要么没有在天平上，且在天平上的球数须是偶数，否则进行的称量是得不到有用的信息的。设在天平上的球数为2u，不在天平上的球数为v，若天平平衡，下面要3 次使用天平在个球中找到假球并判其轻重，由前面的结果知的最大值为12；若天平不平，不妨设其左倾，则假球在2u个球中，且其轻重已知（若假球是左盘上的一只则假球比真球重，否则比真球轻）。判断这2u个球中哪个球为假球（轻重已判）的实验的熵为lg2u,令lg<lg2u<lg,得u的最大值是13，于是4 次使用天平，最多可判断38 枚球的真假及轻重情况，具体办法也是有的，由于比较繁琐，这里就不列举了。实际上，把这种方法通过观察、归纳、总结，可得更一般的结论：k(-5)/2 次使用天平至多能判断(k>=4)个球的真假和轻重状况。这也说明数学的威力所在：它可以将某些东西系统化，得到更一般的结论。说了这么多，其实就是一个意思，课本上学习的是理论，我们还要尽可能与实际生活联系起来，不要把数学学死了，总之一句话，我们学习数学，是为了更好的认识世界。数学文化，也就是数学在生活中的反映吧。而概率论作为数学的一个分支，与我们的现实生活已是密不可分，了解其发展简史并把概率论作为一个工具应用于生活已是一种必要的修养。二概率论的发展简史概率论同其他数学分支一样，是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累今日的概率论被广泛应用于各个领域，已成为一棵参天大树，枝多叶茂，硕果累累。正如钟开莱1974年所说：“在过去半个世纪中，概率论从一个较小的、孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响、内容宽广而深入的学科。”概率论发展的每一步都凝结着数学家们的心血，正是一代又一代数学家的辛勤努力才有了概率论的今天。1早期的概率现象人类认识到随机现象的存在是很早的从太古时代起，估计各种可能性就一直是人类的一件要事。早在古希腊哲学家就已经注意到必然性与偶然性问题；我国春秋时期也已有可考词语（辞海）；即使提到数学家记事日程上的可考记载，也至少可推到中世纪。有史记载15世纪上半叶，就已有数学家在考虑这类问题了。如在意大利数学家帕乔利（L.pacioli）1494年出版的算术一书中就有以下问题：两人进行赌博，规定谁先获胜6场谁为胜者。一次，当甲已获胜5场，乙也获胜2场时，比赛因故中断。那么，赌注该如何分配呢？所给答案为将赌注分成7份，按5：2分给甲乙两人当卡丹(Cardan Jerome，15011576)看到上述问题时，以为所给分法不妥。他考虑到接下去比赛的几种可能结果，并确定赌注应按10：1来分配（现在看来，其分法也是错误的）卡丹著有论赌博一书，其中提出一些概率计算问题。如掷两颗骰子出现的点数和的各种可能性等。此外，卡丹与塔塔利亚（Tartaglia Niccolo，15001557）还考虑了人口统计、保险业等问题。但是他们的研究工作，对数学家来说，赌博味道太浓了一些，以致数学家们对其嗤之以鼻。近代自然科学创始人之一伽利略（Galileo，15641642）解决了以下问题：同时投下三颗骰子，点数和为9的情形有6种：（1、2、6）、（1、3、5）、（1、4、4）、（2、2、5）、（2、3、4）和（3、3、3）。点数和为10的情形也有6种：（1、3、6）、（1、4、5）、（2、2、6）、（2、3、5）、（2、4、4）和（3、3、4），那么出现点数和为9与10的机会应相同，而经验告知，出现10的机会比出现9的机会要多，原因何在？伽利略利用列举法得出同时掷三颗骰子出现点数和为9的情形有25种，而出现点数和为10的情形却有27种。可见，已经产生了概率论的某些萌芽。1654年7月29日，法国骑士梅累向数学神童帕斯卡（pascal，16231662）提出了一个使他苦恼很久的问题：“两个赌徒相约若干局，谁先赢了S局则赢若一人赢1 局，另一人赢5 局，赌博中止，问赌本应怎么分？”帕斯卡对此思考良久，又将其转给业余数学王子费马（Fermat，16011665）。在数学史上有名的来往信件中，两人取得了一致意见：在被迫停止的赌博中，应当按每个局中人赌赢的数学期望来分配桌面上的赌注帕斯卡与费马用各自不同的方法解决这个问题，帕斯卡长于计算，运用数学归纳法，推导出数学内含的规律性，而费马以敏锐的观察力，严格的推理，建立起数学概念。以掷骰子为例来说明他们的解法即谁先胜3局，则可得到全部赌注，在甲胜2局，乙胜1局时，赌局中止了，问怎样分配赌注才算公平合理。帕斯卡分析认为：甲已胜2局，乙也胜1局，如再赌一局，则或者甲大获全胜，赢得全部赌金，或者乙胜，则甲与乙胜的局数变成相等，甲、乙应平分赌金把这两种情况平均一下，甲应得赌金的3/4，乙则得赌金的1/4。费马认为：由甲已胜a局，乙已胜b局，要结束这场赌博最多还需要赌 局，在这个例子中，最多还需要玩两局，结果有四种等可能的情况：（甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），（乙胜，乙胜）。在前面三种情况下，甲赢得全部赌金，仅第四种情况能使乙获得全部赌金因此甲有权分得赌金的3/4，而乙应分赌金的1/4。费马和帕斯卡虽然没有明确定义概率的概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢的情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡和费马开始的。正如对概率论有卓越贡献的法国数学家泊松（poisson，17811840）后来所说：“由一位广有交游的人向一位严肃的冉森派所提出的一个关于机会游戏的问题乃是概率演算的起源”。当荷兰数学家惠更斯（C.Huygens，16291695）到巴黎的时候，听说帕斯卡与费马在研究概率问题，便也参与进来，并于1657年出版了论赌博中的计算一书。书中给出了第一批概率论概念和定理（如加法定理、乘法定理）。在概率论的现代表述中，概率是基本概念，数学期望则是第二级的概念，但在历史上，顺序却相反，先有“期望”概念，而古典概型的概率定义，完全可以从期望概念中导出来。因此，可以认为概率论从此诞生了。2对早期概率论的发展有过重要贡献的数学家莱布尼兹（Leibniz，16461716）于16721676年侨居巴黎时读到帕斯卡概率方面的研究成果，深刻地认识到这门“新逻辑学”的重要性，并且进行了认真的研究。在帕斯卡与费马通信讨论赌博问题的那一年，雅各·伯努利（Jacob Bernoulli，16541705）诞生了。在1713年出版的其遗著猜度术中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理，伯努利定理刻画了大量经验观测中呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。伯努利认为：先前人们对概率概念，多半从主观方面来解释，即说成是一种“期望”，这种期望是先验的等可能性的假设，是以古典概型为依据的。这种方法有极大的局限性，也许只在赌博中可用；在更多的场合，由于无法数清所有的可能情况，也无法确定不同情况的可能性彼此间的大小，这种方法就不可行他提出，为了处理更大范围的问题，必须选择另一条道路，那就是“后验地去探知我们所无法先验地确定的东西，也就是从大量相关事例的观察结果中去探知它”。这样一来，就从主观的“期望”解释转到了客观的“频率”解释。大数定律可以说明目前的大多数概率应用。由于有了它，任一种预测的准确程度将随着例数增多而提高。这就是为什么承得一个特殊事件的保险费的收费标准，要高于大量的一般事件的保险费标准的原因。伯努利之后，棣莫弗（A.De Moivre，16671754）于1733年和高斯（Gauss,17771857）于1809年各自独立引进了正态分布；蒲丰（G.L.L Buffon，17071778）于1777年提出了投针问题的几何概率；泊松于1837年陈述了泊松大数定律等。特别是拉普拉斯（P.S.Laplace，17491827）1812年出版的概率的分析理论以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零散的结果系统化拉普拉斯的著作实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期。正是在这部著作中，拉普拉斯给出了概率的古典定义：事件的概率 等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该试验中所有可能结果数之比。籍此拉普拉斯曾以“中立原理”计算出第二天太阳升起的概率为1/826214。值得说明的是，拉普拉斯认为世界是决定性的，偶然性只是出于人们的无知如果我们能预知一切情况，以后的发展使可全知。关于这点拉普拉斯在其概率论的哲学试验中说的很明确：“智慧如果能在某一瞬间知道转动着自然的一切力量，知道大自然所有组成部分的相对位置，再者，如果它是如此浩瀚，足以分析这些材料，并能把上到庞大的天体下至微小的原子的所有运动悉数囊括在一个公式之中，那么，对于它来说，就没有什么东西是不可靠的了，无论是将来或过去，在它面前都会昭然若揭。”按此观点，宇宙的一切发展，早在混沌初开时就完全决定下来，岂不荒唐！19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫（.，18211894）在这方面作出了重要贡献。他在1866年建立了关于独立随机变量序列的大数定律，使伯努利定理和泊松大数定理成为其特例切比雪夫还将棣莫弗-拉普拉斯极限定理推广为更一般的中心极限定理。切比雪夫的成果后又被他的学生马尔可夫（.,18561922）发扬光大，推进了20世纪概率论发展的进程。19世纪末，概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要。另外，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处，其中最著名的是所谓“贝特朗悖论”。1899年由法国学者贝特朗（J.Bertrand）提出：在半径为r的圆内随机选择弦，计算弦长超过圆内接正三角形边长的概率 根据“随机选择”的不同意义，可以得到不同的答案。这类悖论说明概率的概念是以某种确定的实验为前提的，这种实验有时由问题本身所明确规定，有时则不然。因此，贝特朗等悖论的矛头直指概率概念本身，尤其是拉普拉斯的古典概率定义开始受到猛烈批评。这样，到19世纪，无论是概率论的实际应用还是其自身发展，都强烈地要求对概率论的逻辑基础作出更加严格的考察。鉴此，1900年夏，38岁的德国代表希尔伯特（D.Hilbort，18621943）在世界数学家大会上提出了建立概率公理系统的问题这就是著名的希尔伯特23问题之中的第6个问题。这就引导一批数学家投入了这方面的工作。3成熟中的概率论最早对概率论来严格化进行尝试的，是俄国数学家伯恩斯坦（.，18801968）和奥地利数学家冯·米西斯（R.von Mises,18831953）。他们都提出了一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的。作为测度论的奠基人，博雷尔（Borel）在1905年指出概率论理论如果采用测度论术语来表述将会方便许多，并首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，特别是1909年他提出并在特殊情形下解决了随机变量序列 ，服从强大数定律的条件问题博雷尔的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列探索，其中尤以原苏联数学家科尔莫戈罗夫（.，19031987）的研究最为卓著。从二十世纪二十年代中期起，科尔莫戈罗夫开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述1926年，他推导了弱大数定律成立的主要条件，后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了一般的结果，推广了切比雪夫不等式，提出了科尔莫戈罗夫不等式，创立了可数集马尔可夫链理论，他最著名的工作是1933年以德文出版的经典性著作概率论基础。科尔莫戈罗夫是莫斯科函数论学派领导人鲁金（.，18831950）的学生，对实际函数论的运用可以说是炉火纯青他在这部著作中建立起集合测度与事件概率的类比、积分与数学期望的类比、函数正交性与随机变量独立性的类比，等等。这种广泛的类比终于赋予了概率论以演绎数学的特征。科尔莫戈罗夫的公理系统逐渐获得了数学家们的普遍承认，由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位。科尔莫戈罗夫热爱教育事业，经常在大学生和进修生中挑选人才，参加讨论班。1934年，他与概率论另一位创始人辛钦(.)共同主持概率论讨论班在他们培养的学生中有6位成为前苏联科学院院士或通信院士1980年科尔莫戈罗夫荣获沃尔夫奖。公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点，随机过程作为随时间变化的偶然量的数学模型，是现代概率论研究的重要主题。莱维（P.Levy）从1938年开始创立研究随机过程的新方法，即着眼于轨道性质的概率方法.1948年出版的随机过程与布朗运动，提出了独立增量过程的一般理论，并以其为基础极大地推进了对作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。1939年维尔(J.Ville)引进“鞅”这个名称，但鞅论的奠基人是美国概率论学派的代表人物杜布(J.LDoob)。杜布从1950年开始对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支.鞅论使随机过程的研究进一步抽象化,不仅丰富了概率论的内容,而且为其他数学分支如调和分析、复变函数、位势理论等提供了有力的工具。从1942年开始,日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程,为一门意义深远的数学新分支随机分析的创立与发展奠定了基础。概率论不仅是“数学之树”的一庞大支条，而且还有若干强壮的根（如下表），直接扎在实际应用环境的大地上“芳草有情皆碍马，好云无处不遮楼”正如英国的逻辑学家和经济学家杰文斯（Jevons，18351882）所说，概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为。”   随机分析 时序分析 过程理论 随机理论 鞅论 随机微分方程 估计方法 抽样分布概率论 统计 学 检验方法 回归方法 随机计算方法 博奕论 应用概率 排队论 三概率在生活中的应用随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，生活的数学无处不在。而概率作为数学的一个重要部分，同样也在发挥着越来越广泛的用处。 抽样调查，评估，彩票，保险等经常会遇到要计算概率的时候，举个例子在保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险，在一年里死亡的概率为0.002，每个人一年付12元保险费，而在死亡的时候家属可以领取由保险公司支付的2000元，问保险公司盈利的概率是多少，公司获利不少于10000的概率是多少？这样的问题咋一看很难知道保险公司是否盈利，但经过概率统计的知识一计算就可以得知公司是几乎必定盈利的A2500×12-2000X<0X>15由此得知P=0.999931,而盈利10000以上的概率也有0.98305，以上的结果说明了为什么保险公司那样乐于开展保险业务的原因.除了保险，概率统计学对彩票也有有两个方面的应用 。据钱江晚报报道，彩票市场越来越火爆，据了解，南京某一期电脑福利彩票有一懂概率统计的彩民一个人中1个一等奖、3个二等奖、33个三等奖，有一期彩票有9注号码中一等奖，从而引发了无数彩民自己预测号码的愿望，概率统计方面的书籍也一下子走俏。许多平时见到符号就头疼的彩民也捧起概率书兴趣盎然地啃起来。    东南大学经管院陈建波博士指出，概率书上讲的都是理论知识，一大堆数学计算公式，如何把概率书的理论运用到彩票选号中来，才是许多彩民关心的问题。实际上，概率统计学主要有两个方面的应用：一个方面是利用概率公式计算各种数字号码出现的概率值，然后选择最大概率值数字进行选号。举一个简单的例子，类似“1234567”七个数一直连续的彩票号码与非一直连续的号码出现的概率比例为：29：6724491（1：230000）左右，由于出现的概率值极低，因此一般不选这种连续号码。另一方面的应用是统计，即把以前所有中奖号码进行统计，根据统计得到的概率值来预测新的中奖号码，例如五区间选号法，就是根据统计进行选号的。南京的“专业”彩民则介绍一条选号规则逆向选号法。从摇奖机的构造角度来说，它要保证每个数字中奖的概率都一样。虽然摇一次奖无法保证，摇100次奖也无法保证，但摇奖的次数越多，各个数字中奖的次数也必定越趋于平均。就像扔硬币，一开始就扔几次可能正反面出现的次数不一样，但随着扔的次数的增加，正反面出现的次数就会越来越接近。从这个角度考虑，在选号时就应该尽量选择前几次没中过奖的数字。这就是逆向选号法，即选择上一次或前几次没中奖的数字，这也说明了概率的无所不在。    但由于传统的数学教育属于知识传授型，比较注重课程各自的系统性、独立性和方法的应用，人为地割裂了数学理论和教学方法与现实世界的联系，不注意学生对数学方法产生的背景和思想的理解，使学生不善于利用所学到的数学知识、数学方法分析解决实际问题，只是生搬硬套，而真正在实际中有重要应用的值的数理统计部分往往被轻视，使得有些人在学完该课后只知道几个抽象的分布，甚至连最简单的数据处理方法都不会应用学好概率尤其是能够将学习的概率统计应用与实践中对我们确实是较困难而又受益非浅的事。下面就具体深入分析一些生活中每天都会遇到的需要应用概率知识解决问题的实例，从另一个角度认知概率的现实必要性和可操作性。1.在经济管理决策中的应用概率统计是一门相当有趣的数学分支学科。随着科学技术的发展和计算机的普及,它最近几十年来在自然科学和社会科学中得到了比较广泛的应用,在社会生产和生活中起着非常重要的作用。当今概率统计与经济的关系可以说是息息相关的,几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开它的应用,例如:实验设计、多元分析、质量控制、抽样检查、价格控制等都要用到概率统计知识。实践证明,概率统计是对经济学问题进行量的研究的有效工具,为经济预测和决策提供了新的手段。本文通过一些具体的例子讨论概率统计在经济管理决策、经济损失估计、最大经济利润求解、经济保险、经济预测等几个经济学问题中的应用。在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本。利用概率统计知识可以获得合理的决策,从而实现这个目标。下面以数学期望、方差等数字特征为例说明它在经济管理决策中的应。例 1 某人有一笔资金,可投入三个项目:房产、地产 和商业,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为, ,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元) ,见表1 : 表1 各种投资年收益分布表好中差房产113-3地产64-1商业102-2请问:该投资者如何投资好?解我们先考察数学期望,可知 ；根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风险,我们再来考虑它们的方差:;因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少万元,但风险要小一半以上。2.在经济损失估计中的应用随着经济建设的高速发展火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法。利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致的经济损失大小。下面以参数估计为例来说明它在这一方面的应用。例 2 已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布 ,今随机抽取8 次货损资料,得到如下仓库货物损失金额表。表2 仓库货物损失金额表货物损失金额(元)1000200030005000次数2141解利用矩估计法或最大似然估计法可知: , 的矩估计量分别为:，从而根据表2 中的数据可计算出:；从而得到仓库货物损失的平均估计值为2625元,标准差的估计值为1049. 55 元。3.在求解最大经济利润问题中的应用如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。例 3 某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量 (单位:吨) 服从 上的均匀分布,每售出 吨该原料,公司可获利千元;若积压1 吨,则公司损失 千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?分析:此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。解设公司组织该货源吨,则显然应该有,又记为在吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即 ,由题设条件知:当时,则此吨货源全部售出,共获利；当时,则售出 吨(获利) 且还有吨积压(获利) ,所以共获利，由此得从而得 上述计算表明 是的二次函数,用通常求极值的方法可以求得,吨时,能够使得期望的利润达到最大。4.在经济预测中的应用在实际经营中,许多量之间存在某种密切联系,根据数理统计原理,可以根据往年资料或市场信息,通过对社会经济现象之间客观存在的因果关系及其变化趋势进行线性回归分析预测,从而得出未来的数量状况。下面以一元线性回归分析为例探讨一下线性回归分析在经济预测中的应用。例 4 合金的强度 与合金中碳的含量 有关,为了生产强度满足用户需要的合金,在冶炼时要控制碳的含量。现调查收集了12组数据,见表3 ,试建立适当的线性回归模型并进行检验。如果在冶炼过程中通过化验得知了碳的含量为0.16 ,根据模型预测这炉合金的强度。表3 合金刚强度与碳含量的数据表序号序号10.1042.070.1649.020.1143.080.1753.030.1245.090.1850.040.1345.0100.2055.050.1445.0110.2155.0 0.1547.5100.2360.0解第一步,建立线性回归模型已知一元线性回归模型为,根据公式及表中的数据得: , ,从而所求的回归模型第二步,检验线性关系的显著性现在用 检验法,经计算得 ,取显著性水平 ,则 ,由于 ,因此在显著性水平下回归方差是显著的。第三步,预测将 代入回归模型,则得到预测值为 ,在显著性水平下,得 的概率的预测区间为 ,即有的把握认为,碳的含量为时,合金的强度介于之间。5.在经济保险问题中的应用目前,保险问题在我国是一个热点问题。保险公司为各企业、各单位和个人提供了各种各样的保险保障服务,人们总会预算某一业务对自己的利益有多大,会怀疑保险公司的大量赔偿是否会亏本。下面以中心极限定理说明它在这一方面的应用。例 5 已知在某人寿保险公司有个人参加保险,在一年里这些人死亡的概率为 ,每人每年的头一天向保险公司交付保险费元,死亡时家属可以从保险公司领取元保险金,求: 保险公司一年中获利不少于元的概率; 保险公司亏本的概率。解设一年中死亡的人数为 ,死亡率为 ,把考虑人在一年里是否死亡看成重Bernoulli 试验,则,保险公司每年收入为 ,付出元,则根据中心极限定理得:(1) 所求概率为: (2) 所求概率为:经上述计算可知一个保险公司亏本的概率几乎为,这也是保险公司乐于开展业务的一个原因。6概率论中多元统计方法在起义经营管理中的应用随着市场经济的发展和竞争的日益激烈，如何运用科学的分析方法对到的数据做出准确、及时的分析并制定正确的决策，已成为企业极为关注的问题。例如：某销售企业对100名招聘人员的销售策略知识和能力进行测试，出了50道题的试卷，其内容包括的面较广，但总的来说，通过应用因子分析方法可以归纳为六个方面：语言表达能力、逻辑思维能力、判断事物的敏锐和果断程度、思想品德、兴趣爱好、生活常识等，我们将每一个方面称为因子。显然，这里所说的因子不同于回归分析中的因素，因为前者是比较抽象的一种概念，而后者有极为明确的实际意义。因子分析在市场调查分析中也有广泛的应用。例如：对30个调查区的商业网点数、人口数、金融机构服务数、收入情况等20个指标进行因子分析，如果按照一般的分析方法，我们就需要处理20个指标，并给它们以不同的权重，这样不仅工作量变大，而且由于指标之间存在比较高的相关性，会给分析结果带来偏差。另外，给具有较高相关性的众多指标设置权重系数也是一件非常复杂的事情。于是可以考虑采用因子分析的方法，从而减少分析变量的个数，然后再给它们以不同的权数，从而计算出各个调查区平均综合实力得分，以便决定在某个调查区拟建何种类型的销售点。7概率在中奖问题中的应用例6 集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（120号）和1只红球，规定：每次只摸一只球。摸前交1元钱且在120内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元。 （1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由。 （2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？ 分析：小红摸到红球与摸到同号球的概率均为是。那么可能得到得到是收益分别为：或。那么他平均每次将获利为（）。解（1）P（摸到红球）P（摸到同号球）；故没有利（2）每次的平均收益为故每次平均损失元8，概率在优化选择中的应用例小名拿着一个罐子来找小华做游戏，罐子里有四个一样大小的玻璃球，两个黑色，两个白色，小明说“使劲摇晃罐子，使罐子中的小球位置打乱，等小球落定后，如果是黑白相间地排列（如图所示），就算甲方赢，否则就算乙方赢。”他问小华要当甲方还是乙方，请你帮小华出注意，并说明理由。分析：设A表示第一个黑球，A表示第二个黑球，B表示第一个白球，B表示第二个白球，可能出现的结果，利用树状图表示小球排列的位置为： A B B A B A A BB B A B B