概率论与数理统计教案1.doc
概率论与数理统计教案1概率论与数理统计教案 讲 稿第一章 概率论的基本概念 一、基本概念1. 随机试验2. 样本空间试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母W表示（本书用S表示）每个结果叫一个样本点.3随机事件W中的元素称为样本点，常用w表示。(1) 样本空间的子集称为随机事件(用A,B表示)。(2) 样本空间的单点子集称为基本事件。(3) 实验结果在随机事件A中，则称事件A发生。(4) 必然事件W。(5) 不可能事件F。(6) 完备事件组（样本空间的划分）4概率的定义（公理化定义）5古典概型随机试验具有下述特征：1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性是相等的；称这种数学模型为古典概型。P(A)=kn=A包含的基本事件数基本事件总数 =。6几何概型 p(A)=7条件概率设事件B的概率p(B)>0.对任意事件A，称P(A|B)=件下事件发生的条件概率。8条件概率的独立性 P(AB)P(B)A的长度（面积、体积）W的长度（面积、体积） 为在已知事件发生的条A、B ÎF,若P(AB)= P(A) P(B) 则称事件A、B是相互独立的，简称为独立的。 设三个事件A,B,C满足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C相互独立。二、事件的关系的关系与运算.事件的包含关系若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了A， 记作AÌB。. 事件的相等设A,BÌW,若AÌB，同时有BÌA，称A与B相等，记为A=B，.并(和)事件与积(交)事件“A与B中至少有一个发生”为A和B的和事件或并事件。记作AÈB .“A与B同时发生”这一事件为A和B的积事件或交事件。记作A×B或AÇB .差事件“A发生B不发生”这一事件为A与B的差事件，记作A-B.对立事件称“W-A”为A的对立事件或称为A的逆事件，记作A。-AÈA=A AA=F.互不相容事件（互斥事件）若两个事件A与B不能同时发生，即AB=F，称A与B为互不相容事件（或互斥事件）。 .事件的运算法则1)交换律 AÈB=BÈA,AB=BA2)结合律 (AÈB)ÈC=AÈ(BÈC),(AB)C=A(BC)3)分配律 (AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC)(AÇB)ÈC=(AÈC)Ç(BÈC)4)对偶原则 AÈB=AÇB ，AÇB=AÈB三、常用公式1.加法公式（1）对任意两个事件A、B，有P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(AB)（2）对任意三个事件A、B，Cp(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)+p(ABC)2.减法公式若AÌB 则P(B-A)= P(B)-P(A); P(B)³P(A)P(A-B)= P(A)-P(AB)3.对立事件概率公式对任一随机事件A，有 P（A）=1-P（A）；4.乘法公式当p(A)>0时: p(AB)=p(A)P(B|Ap(ABC)=p(A)P(B|A)p(C|AB)5全概率公式n定理1：设 B1,B2,L,Bn是 一列互不相容的事件，且有ÈBi=W,对任何事件A，i=1n有P(A)= åP(Bi)P(ABi)i=16、贝叶斯公式n定理2：若B1,B2,L,Bn是一列互不相容的事件，且ÈBi=Wi=1则对任一事件A有p(Bi|A)=p(Bi)p(A|Bi)nåj=1p(Bj)p(A|Bj)两个公式的相同点：相关问题都有两个阶段；两个公式的不同点：全概率公式用于求第二阶段某事件发生的概率，“由因求果”贝叶斯公式用于已知第二阶段的结果，求第一阶段某事件发生的概率，“由果求因”7.贝努里概型-贝努里试验:若试验E只有两个可能的结果A及A，称这个试验为贝努里试验。 贝努里概型设随机试验E具有如下特征：1）每次试验是相互独立的；2）每次试验有且仅有两种结果：事件A和事件A；3）每次试验的结果发生的概率相同 p(A)=p>0 p(A)=1-p=q称试验E表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了n次，则这个试验也称为n重贝努里试验。记为E。kkn-k设事件A在n次试验中发生了X次，则PX=k=Cnp(1-p),k=1,2,L,n n四、举例例1.已知p(AB)=p(AB)，p(A)=p，求p(B)【解】 p(AB)=p(AB)=p(AÈB)=1-p(A)+p(B)-p(AB)p(B)=1-p例2.已知p(A)=p(B)=p(C)=个发生的概率。【解】 p(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)+p(ABC) 141414185814,p(AB)=p(BC)=0,p(AC)=18,求A,B,C至少有一 =+-0-0+0=例3.（摸球模型不放回用组合问题求解）在盒子中有6个球，4个白球、2个红球，从中任取两个（不放回）。求取出的两个球都是白球的概率，两球颜色相同的概率，至少有一个白球的概率。【解】设A：两个球都是白球，B：两个球都是红球，C：至少有一个白球基本事件总数为C6=15A的有利样本点数为C42=6, P(A)=6/15=2/5B的有利样本点数为C2=122, P(B)=1/15P(A+B)=P(A)+P(B)=7/15P(C)=1-P(B)=14/15例4. （摸球模型有放回用二项分布求解）在上题中，取球方法改成有放回，结果如何？【解】用X表示取到白球数42ö2æ2öæP(A)=pX=2=C2ç÷ç1-÷= 93øè3øè20P(B)= 022ö10æ2öæpX=0=C2ç÷ç1-÷=è3øè3ø9P(A+B)=P(A)+P(B)=5/9P(C)=1-P(B)=8/9例5（抽签原理）有a个上签，b个下签，2个人依次抽签，采用有放回与无放回抽签，证明每个人抽到上签的概率都是aa+b【证】放回抽样结论是显然的；不放回可用全概率公式证明p=aa+b12例6：（几何概型）在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于_【解】以x和y分别表示甲乙约会的时间，则 W=(x,y)|0<x<1,0<y<1两人到会面出时间差不超过15分钟A=(x,y)0<x<1,0<y<1,x-y£0.25 的概率为p(A)=SASW=34例7：某工厂有三条生产线生产同一中产品，该3条流水线的产量分别占总产量的20%，30%，50%，又这三条流水线的不合格品率为5%，4%，3%，现在从出厂的产品中任取一件，（1）问恰好抽到不合格品的概率为多少？(2)已知抽到不合格品，求该产品来自一车间的概率【解】(1)设Bi：表示产品来自第i条生产线A：表示抽到不合格品由题意 p(B1)=0.2,p(B2)=0.3,p(B3)=0.5p(A|B3)=0.03 p(A|B1)=0.05,p(A|B2)=0.04,3P(A) =åi=1p(Bi)p(A|Bi)=0.2´0.05+0.3´0.04+0.5´0.03=0.037 (2)p(B1|A)=p(B1)p(A|B)3=0.2´0.050.2´0.05+0.3´0.04+0.5´0.03=1037åi=1p(Bi)p(A|Bi)【点评】通过该题细心体会贝叶斯公式和贝叶斯公式的用法。例8甲乙两人同时射击同一目标，甲命中的概率为0.6，乙命中的概率为0.5。已知已命中目标，求是甲命中目标的概率。【分析】咋看这个题目觉得应用贝叶斯公式求解，但仔细分析个目中只有一个过程，应用条件概率求解。【解】A:甲命中，B:乙命中，C：命中，C=A+Bp(A|C)=p(AC)P(AC)=p(A)P(A+B)=34=P(A)p(A)+p(B)-p(A)p(B) =0.60.6+0.5+0.6´0.5例9：一个盒子中有4件产品，3件一等品，1件二等品，从中任取两件，设事件A表示“第一次取到一等品”， B表示“第二次取到一等品”，求p(B|A)。【解】p(B|A)=p(AB)P(A)=C3/C43/422=1/23/4=2/3这一结果的意义是明显的例10：假定某人做10个选择题，每个题做对的概率均为（1）该同学做对3道题的概率；(2) 该同学至少做对3道题的概率；【解】3pX=3=C1014；求 æ1öæ3öç÷ç÷è4øè4ø371-pX=0+pX=1+pX=2 0æ1öæ3ö=1-C10ç÷ç÷è4øè4ø0101æ1öæ3ö2æ1öæ3ö-C10ç÷ç÷-C10ç÷ç÷è4øè4øè4øè4ø1929【点评】“至少”,通过对立事件求解。例11： 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<p<1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A) 3p(1-p) (B) 6p(1-p).(C) 3p(1-p) (D) 6p(1-p) C 例12：设A,B为随机事件，且P(B)>0,P(A|B)=1，则必有(A) P(AÈB)> ) (B) P(AÈB)>P(B) P(A222222(C) P(AÈB)=P(A) (D) P(AÈB)=P(B) C 22例13：设随机变量X服从正态分布N(m1,s1)，Y服从正态分布N(m2,s2)，且PX-m1<1>PY-m2<1则必有(A) s1<s2 (B) s1>s2(C) m1<m2 (D) m1>m2 A 教学后记 教 案 第二章 一维随机变量及其分布一、分布函数的定义与性质1. 随机变量定义1：设随机试验的每一个可能的结果（样本点）唯一地对应一个实数X(w)，则称实变量X为随机变量，通常用大写字母X,Y,Z等表示随机变量，例1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数X为随机变量，X的可能取值为0，1，2例2：某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量X,的可能取值为X=0,5。例3：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用一个二维坐标（X,Y）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。2. 分布函数定义2 定义在样本空间W上，取值于实数域的函数x(w)，称为是样本空间W上的（实值）随机变量，并称F(x)=PX£x是随机变量x(w)的概率分布函数.简称为分布函数.分布函数的性质：（1）单调性 若x1<x2,则F(x1)£F(x2)；（2）F(-¥)=limF(x)=0 x®-¥Fx(=) F(+¥)=limx®+¥（3）右连续性 F(x+0)=F(x)（4）Pa<X£b=F(b)-F(a)二、离散型随机变量1.概念定义3：只取有限个或可列个值的变量X为一维离散型随机变量简称离散型随机变量。2.分布律及其表示如果离散型随机变X可能取值为(a1,a2,a3.)，相应的概率变量X的分布列，也称为分布律，简称分布。 为随机（1）分布律表示方法公式法 （2）分布律表示方法列表法 也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律： 分布列的性质:非负性：1）pi³0¥规范性：2）åpi=1i=1分布函数 F(x)=æ0例1: 已知Xç1çè41-aåxi£xpi 2ö÷ (1)求a，(2)分布函数 2a÷øx<00£x<11£x<2x³2ì0ï11ï4【解】a=- F(x)=í32ï4ï1î例2：设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任取两球，X表示取到的黑球数。（1）求X的分布律；（2）为随机变量X的分布函数【解】X可能取值为0，1，2。PX=0=310,PX=1=135610=35,PX=2=110 æ0X的分布律 Xç3çè10ì0ï1ï10F(x)=í9ï10ï1î2ö1÷ ÷10øx<00£x<11£x<2x³2三、连续型随机变量1.一维连续型随机变量的概念定义1 若X是随机变量，F(x)是它的分布函数，如果存在函数f(x)，使对任意的x，有F(x)=òx-¥f(t)dt，则称X为连续型随机变量，相应的F(x)为连续型分布函数.同时称f(x)p(x)是F(x)的概率密度函数或简称为密度.2.密度函数f(x)具有下述性质：（1）非负性f(x)³0 （1）规范性ò+¥-¥f(x)dx=1（3） x£(wX)£P(px£x<xx22)=F(x2)-F(x1)=11（4）pX=x0=0 （5）由F(x)=dF(x)dxòxx2x1x1pf(yx)dy)dxòx-¥p(y)dy式可知，对p(x)的连续点必有=F(x)=p(x)例3：设随机变量X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx。（1）求A，B ，f(x) (2)求 pX³1|X³-1【解】 F(-¥)=limF(x)=0x®-¥Fx(=) F(+¥)=limx®+¥得 A=12，B=1p， f(x)=1p(1+x)=2 1-F(1)1-F(-1)13pX³1|X³-1=pX³1,X³-1pX³-1pX³1pX³-1=ìkxïx例4：设随机变量X的概率密度函数为 f(x)=í2-2ïî00£x<33£x£4。 other（1）k (2)分布函数 （3）求 p1£X£414872 【解】 （1/6）（四、常见分布）(1)两点（0-1）分布 设离散型随机变量x的的分布列为æ01ö÷ Pø çè1-P其中0<P<1，则称x服从两点分布，亦称x服从（01）分布，简记为x(01）分布.(2)二项分布 若离散型随机变量x的分布列为k p(x=k)=Cnpq,k-nkk=0,1L,2, n其中0<p<1,q=1-p，则称x服从参数为n,p的二项分布，简称x服从二项分布，记为xb(k;n,p).nk 易验证 P(x=k)³0å,Cnk=0pqk-nk=(p+q)= 1n显然，当n=1时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例.(3)普哇松（Poisson）分布 设离散型随机变量x的所有可能取值为0，1，2，L，且取各个值的概率为P(x=k)=lek-lk!,k=0,1L,2 ,其中l>0为常数，则称x服从参数为l的普哇松分布，记为xP(k;l).易验证(1P)x(=k>)0k,=0,L1,2,;¥(2å)Px(=k=)åk=0lkk!e-l= 1定理（普哇松定理）在n重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为pn（与试验总数n有关）如果当n®¥时，npn®l(l>0常数），则有(n;n,p= limbkdx®0k!lk-le=k,0L,1 ,2,(4)几何分布 设x是一个无穷次贝努里试验序列中事件A首次发生时所需的试验次数，且可能的值为1,2,L.而取各个值的概率为 P(x=k)=(1-p)k-1p=qk-1p,k=1,2.L.其中0<p<1,q=1-p，则称x服从几何分布.记为xg(k,p).易验证(1P)x(=k=)pq>k-10=k,1L,2,¥(2å)pqk=1k-1=1(5)均匀分布若随机变量x(w)的概率密度函数为ì1ï p(x)=íb-aï0îa£x£b其他时，则称随机变量x(w)服从a,b上的均匀分布.显然p(x)的两条性质满足.其分布函数为ì0ïïx-a F(x)=íïb-aïî1x<aa£x£bx>b记为xUa,b.(6)指数分布若随机变量X的分布函数为ì1-e-lxF(x)=pX£X=íî0x>0x£0概率中称X服从参数为l的指数分布.而随机变量X的概率密度为ìle-lx, p(x)=íî0,x>0x£0(7)正态分布设随机变量X的概率密度为pf(xx)=-(x-m)2s22,-¥<x<¥ （*）2XN(m,s) m,s(s>0)是两个常数，则称设随机变量X服从m,s的正态分布，记为(s>相应的分布函数为 F(x)=x-¥-(y-m)2s22edy,-¥<x<¥并且称F(x)为正态分布，记作N(m,s2).如果一个随机变量X的分布函数是正态分布，也称X是一个正态变量.N(0,1)分布常常称为是标准正态分布，其密度函数通常以j(x)表示，相应的分布函数则记作F(x)，所以F(x)=òx-¥j(y)dy=x-¥e-y22dy(1)j(x)是偶函数，图像关于y轴对称，f(x)关于x=m对称；（2）j(x)在x=0，f(x)在x=m取得最大值；（3）x=±1是j(x)的拐点，x=±s是f(x)的拐点；（4）若XN(m,s2)，则pX£m=pX³m=0.5（5）F(-x)=1-F(x)例5：设随机变量x服从正态N(108,9)分布，（1）求P(101.1<x<117.6).（2）求常数a,使P(x<a)=0.90【解】x-108æö(1)P(101.1<x<117.6)=Pç-2.3<<3.2÷3èø=F(3.2)-F(-2.3)=F(3.2)-(1-F(2.3)»0.999313-1+0.989276=0.988589;（2）P(x<a)=Pçèæx-1083<a-108ö÷=0.90，所以 3ø a-1083»1.28,a=111.84；五、一维随机变量函数的分布1.一维离散型随机变量函数的分布 例6，已知Xçç0.2èæ-100.210.42ö2÷2X+1,2X， 求的分布列。 ÷0.2ø【解】2X+1ççæ-1è0.210.220.630.440.25ö÷ ÷0.2øö÷÷ø2X2æ0çç0.2è2.一维连续型随机变量函数的分布 设y=f(x)为一通常的连续函数，令Y=g(X)，其中X为随机变量，那么Y也是随机变量，并称它为随机变量X的函数.（1）FY(y)=pY£y=pg(X)£y=fy(y)=FY/(y)例7：已知XN(2,4)，求Y=2X-1的概率密度。122p-(x-2)82òf(x)dx g(X)£y【解】 fX(x)=ey+12 FY(y)=pY£y=p2X-1£y=pX£122py+1-(x-2)82 =ò2_¥edx2/ fy(y)=FY(y)=142pe-(y-3)24 -¥<y<¥例8：已知随机变量X的概率密度为ì2xï fX(x)=ípïî00£x£8other求Y=sinX的概率密度。解题步骤：（1）求出x的有效作用范围（fX(x)¹0的范围）， 并根据y=g(x) 求出Y的有效作用范围a,b ;(2)当y£a时，FY(y)=pY£y=0当y³b时，FY(y)=pY£y=1当a<y<b时，FY(y)=pY£y=pg(X)£y=òf(x)dxg(X)£y（3）fy(y)=FY/(y)求出概率密度。【解】（1）0£x£8时，y=sinx ，0£y£1;(2)当y£0时，FY(y)=pY£y=0当y³1时，FY(y)=pY£y=1当0<y<1时，FY(y)=pY£y=psinX£y=p0£X£arcsiny+pp-arcsiny£X£p =òarcsiny02xpdx-òpp-arcsiny2xp1ìï （3）fy(y)=FY/(y)=íp-y2ï0î0<y<1other例9：设随机变量X的概率密度为ì1,若xÎ1,8,ï f(x)=í33x2 其他;ï0,îF(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【解】易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1.对于xÎ1,8，有x3 F(x)=ò13t21=x-1.设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当y<0时，G(y)=0；当y³1时，G(y)=1. 对于yÎ0,1)，G(y)=PY£y=PF(X)£y3 =PX-1£y=PX£(y+1)=F(y+1)=y. 3于是，Y=F(X)的分布函数为ì0,若y<0,ïG(y)=íy,若0£y<1,ï1,若y³1.î例10：设随机变量X的概率密度为ì1ï2,-1<x<0ïï1fX(x)=í,0£x<2，ï4ï0,其他ïî令Y=X2求Y的概率密度fY(y)【解】 设Y的分布函数为FY(y)，即FY(y)=P(Y£y)=P(X1) 当y<0时，FY(y)=0； 2) 当0£y<1时，FY(y)=P(X=22£y)，则<y)=P(<X<ò02x+ò 41x=3) 当1£y<4时，FY(y)=P(X=4) 当y³4，FY(y)=1. 所以<y)=P-1<X<(12ò0-112dx+ 14x=.0<y<,y1£fY(y)=FYy(=)0,其他ïïî1. 4定理 设x是一个连续型随机变量，其密度函数为p(x)，又y=f(x)严格单调，其反函数h(y)有连续导数，则h=f(x)也是一个连续型随机变量，且其密度函数为ìph(y)hy(a)<,y<b y(y)=í 0,其他î其中a=minf-¥(b=maxf-¥(f),+¥(f),+¥( )证明 不妨设f(x)是严格单调上升函数，这时它的反函数h(y)也是严格单调上升函数，于是(< Fh(y)=Phy=)P(xf(<) y=P(x<h(y)=由此得h的密度为 òh(y)-¥p(x)dx,f(-¥)<y<f(+¥)y(f)-¥,(<y)<f+¥(ìph(y)ghy=)í y(y)=Fh( î0,其他)同理可证当f(x)严格单调下降时，有y(f)+¥,(<y)<f-¥(ì-Ph(y)ghî0,其他 y(y)=í由此定理得证.2 例11： 设xN(m,s)，又y=f(x)=x-ms，易验证这时定理3.1的条件满足，又因为y=f(x)的反函数为h(y)=sy+m，所以有-y2y(y)=ph(yg)h(yx-msN(0,1). 2egs=j (y)由此可见h= 教学后记 教 案 第三讲：多维随机变量及其分布一、基本概念1联合分布函数设（X,Y）是二维离散型随机变量，x,y是任意实数，F(x,y)=P(X£x,Y£Y)二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。 2.联合分布函数的性质（1）单调性F(x,y)关于x(y)单调不减；（2）0£F(x,y)£1,F(x,-¥)=F(-¥,y)=0,F(+¥,+¥)=1； (3) F(x,y)关于x(y)右连续；(4)Px1<X£x2,y1<Y£y2=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x2,y2) 3边缘分布函数设（X,Y）是二维离散型随机变量的联合分布函数为F(x,y)，则 FX(x)=PX£x=PX£x,Y£+¥=F(x,+¥)FY(y)=PY£y=PX£+¥,Y£y=F(+¥,y)，二维随机变量（X,Y）的边缘分布函数。二、离散型二维随机变量1. 离散型二维随机变量的分布律设(X,Y)是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为(ai,bj),i,j=1,2,L,令pip=Px=ah=b),i,=j pij=jX=ai,Yi=bjj1L,2 ,称(pij;i,j=1,2,L)是二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布. 二维联合分布的三个性质： (1)pij³0,i,j=1,2,L;¥¥(2)åi=1åj=1pij=1¥2. 离散型二维随机变量的分布函数 (3)P(x=ai)=åpij=pigj=1F(x,y)=ååpijX£xiY£yj3. 离散型二维随机变量的边缘分布设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布pX=xi,Y=yj=pij(i,j=1,2,L)中对固定的i关于j求和而得到¥pX=xi=pX=xi,Y£+¥=åj=1¥pij=pi.pY=yj=pX£+¥,Y£yj=åi=1pij=p.j 4. 离散型二维随机变量的条件对于固定的j若，pY=yj=p.j>0，称pX=xi|Y=yj=pX=xi,Y=yjpY=yj=pijp.j 为在Y=yj的条件下，随机变量X=xi的条件概率.pX=xi,Y=yjpX=xipijpi.同样定义pY=yj|X=xi=变量Y=yj的条件概率. 条件概率符合概率的性质pX=xi|Y=yj³0¥=为在X=xi的条件下，随机 åi=1pX=xi|Y=yj=15. 离散型二维随机变量的独立性设离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布列与边缘分布为：PX=xi,Y=yj=pij，pX=xi=pi. pY=yj=p.j定理1：离散型随机变量X,Y独立的充分必要条件是对于任意的i,j都有 pij=pi. p.j例1 从1，2，3，4种任取一个记为X，在从1X种任取一个记为Y，(1)求二维随机变量（X,Y）的联合分布律(2)求二维随机变量（X,Y）的边缘分布律。æ1Xçç1/4è21/431/44öæ1÷ Yçç25/481/4÷øè213/4837/48ö÷ 3/48÷ø4(3)求Y=1的条件下，X的概率分布pX=1|Y=1=p11/p.1=pX=2|Y=1=p12/p.1=pX=3|Y=1=p13/p.1=pX=4|Y=1=p13/p.1=1/425/481/825/481/1225/481/1625/48=12256 25 425 325 (4) 随机变量X,Y独立吗？p11=(1/4)¹(1/4)(25/48)=p1. p.1X,Y不独立。æ01öæ0ç÷Y，ç0.40.5÷èø1ö÷，且pXY¹0=0.4，求随机变量（X,Y）0.6÷ø例2 Xçç0.5è的联合分布律及pX¹Y。 例3 已知X,Y独立，完成下表： 例4 已知（X,Y）的分布律为：已知X=0与X+Y=1独立，求a,b三、连续型二维随机变量1定义与性质如果联F(x,y)是一个合分布函数，若存在函数p(x,y)，使对任意的(x,y)，有 F(x,y)=òò-¥xy-¥pu(v,dudv)成立，则称F(x,y)是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的p(x,y)是F(x,y)的联合概率密度函数或简称为密度.如果二维随机变量(x,h)的联合分布函数F(x,y)是连续型分布函数，就称(x,h)是二维的连续型随机变量.密度函数的性质：由分布函数的性质可知，任一二元密度函数p(x,y)必具有下述性质：(1)p(x,y)³0;(2)òò-¥¥¥-¥p(x,y)dxdy=F(+¥,+¥)=1反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数p(x,y)，必定可以作为某个二维随机变量的密度函数.此外，密度函数还具有性质：（3）若p(x,y)在点(x,y)连续，F(x,y)是相应的分布函数，则有¶F(x,y) =p(x,y)¶x¶y2（4）若G是平面上的某一区域，则h)ÎG= P(x,òòGp(x,y)dx dy2连续型随机变量的边缘分布若（X,Y）联合分布函数已知，那么，它的两个分量X与Y的分布函数称为边际分布函数可由联合分布函数F(x,y)求得，概率密度fX(x)=ò+¥-¥f(x,y)dy,fY(y)=ò+¥-¥f(x,y)dx3. 连续型随机变量条件分布若（X,Y）概率密度为f(x,y)，边缘概率密度fY(y)>0，称 fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)为在Y=y的条件下，随机变量X的条件概率密度. 类似地，称fY|X(y|x)=f(x,y)fX(x) fX(x)>0为在X=x的条件下，随机变量Y的条件概率密度. 设随机变量(X,Y)的联合分布为F(x,y)，如果对任意的x,y都 F(x,y)=PX£x,Y£y=PX£xPY£y=FX(x)FY(y) 则称X,Y是独立的4.随机变量的独立性设随机变量(X,Y)的联合分布为F(x,y)，如果对任意的x,y都 F(x,y)=PX£x,Y£y=PX£xPY£y=FX(x)FY(y) 则称X,Y是独立的定理2：如果(X,Y)是二维连续型随机变量，则X与也都是连续型随机变量，它们的Y密度函数分别为fX(x),fY(y)，这时容易验证X与Y独立的充要条件为：f(x,y)=fX(x)fY(y)几乎处处成立。说明：(1)F(x,y)=FX(x)FY(y)或f(x,y)=fX(x)fY(y)点点成立，则X与Y独立。(2)X与Y独立,则F(x,y)=FX(x)FY(y)点点成立f(x,y)=fX(x)fY(y)不一定点点成立。(3)在个别点f(x,y)¹fX(x)fY(y)，则X与Y可能还独立；F(x,y)¹FX(x)FY(y)，则X与Y一定不独立。例1：已知随机变两（X,Y）的概率密度为(x,y)=ìíAe-2x-yfx>0,y>0î0其他(1)求Aò+¥+¥-¥ò-¥f(x,y)dxdy=1ò+¥+¥0ò0Ae-2x-ydxdy=12A=1,A=2(2)求分布函数当x>0,y>0时，F(x,y)=òxy-2x-y-¥òy-¥f(u,v)dudv=2òx0ò0edudv=1-e-2x1-e-y其他，F(x,y)=0F(x,y)=ìïí(1-e-2x)(1-e-y)x>0,y>0 ïî0其他（3）求pX£YpX£Y=ò+¥0òx02e-2x-ydxdy=13(4) 求边缘概率密度fX(x),fY(y) 在一点ì+¥-2x-yïò2edyx>0fX(x)=òf(x,y)dy=í0=-¥ïotherî0+¥+¥-2xìï2ex>0 íïî0otherì+¥-y-2x-yïòïey>02edxy>0ì fY(y)=òf(x,y)dx=í0=í-¥ïïotherî0otherî0(5) 求条件概率密度fX|Y(x|y)当y£0时，fX|Y(x|y)不存在；当y>0时，-2xìï2efX|Y(x|y)=ífY(y)ïî0f(x,y)x>0other(6) 求pX£2|X£2pX£2|Y£2=pX£2,Y£2PY£2=F(2,2)FY(2)=1-e-4(7)X,Y独立吗？f(x,y)=fX(x)fY(y)点点成立，则X与Y独立。例2：已知随机变量（X,Y）时区域D上的分布，D由x.y=0,x+y=1围成，问X,Y是否独立？ì2f(x,y)=解：íî0（x，y)ÎD其他1212 F(1,1)=22ò0ò0+¥2dxdy=12 0£x£11-xìì2-2xïò2dy0£x£1 fX(x)=òf(x,y)dy=í0=í-¥ïotherî0î0otherFX(1)=2ò-¥212fX(x)dx=ò2-2xdx=01234 同理：FY(1)=22342 F(1,1)¹FX(1)FY(1) 2所以X,Y不否独立。例3：甲乙两人到达同一地点的时间X,Y服从7,8上的均匀分布，X,Y独立，求X，Y的差不超过14小时的概率。fX(x)=íX,Y独立ì1î07£x£8otherfY(y)=íì1î07£x£8other ì1f(x,y)=fX(x)fY(y)=íî07£x£8,7£x£8other pX-Y£14=òò1dxdy=D34 例4若二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=2ps1s12-12(1-r
