数理统计之统计量及其分布(习题)[统计学经典理论].doc

计算题、证明题1 设(,，)及（，）为两组子样观测值，它们有如下关系（都为常数）求子样平均值与，子样方差与之间的关系解: 2 若子样观测值, 的频数分别为,，试写出计算子样平均值和子样方差的公式 (这里=+).解: 其中， 是出现的频率。3利用契贝晓夫不等式求钱币需抛多少次才能使子样均值落在0.4到0.6之间的概率至少为0.9 ? 如何才能更精确的计算使概率接近0.9所需抛的次数 ? 是多少?解: 设需抛钱币次,第次抛钱币结果为， 则独立同分布.且有分布 从而。设是子样均值.则. 由契贝晓夫不等式， 即需抛250次钱币可保证为更精确计算n值,可利用中心极限定理 . 其中是的分布函数. 4. 若一母体的方差= 4, 而是容量为100的子样的均值. 分别利用契夫晓夫不等式和极限定理求出一个界限, 使得- (为母体的数学期望E) 夹在这界线之间的概率为0.9.解:设此界限为由由此由中心极限定理, 5假定和分别是取自正态母体N (,)的容量为的两个子样(),和()的均值,确定使得两个子样均值之差超过的概率大约为0.01. 解: 且相互独立.，所以于是 6设母体N(,4 )，（）是取自此母体的一个子样, 为子样均值,试问：子样容量应取多大,才能使 (1) E ( );(2) E (); (3) P （).解: (1)(2) = (3) .7. 设母体 (两点分布), （）是取自此母体的一个子样, 为子样均值,若P0.2,子样容量应取多大,才能使(1)P (2)E (丨丨)若P为未知数,则对每个,子样容量应取多大才能使E (丨丨)解: (1) 要当时,服从二项项分布查二项分布表知所以应取10.(2) 当时 (3) 当未知时,由此知, , 要对一切此时均成立.只要求值使最大, 显然当, 最大,.所以当时,对一切的不等式均能成立.8 设母体的阶原点矩和中心矩分别为=Ek,=，,，和分别为容量的子样阶原点矩和中心矩, 求证:(1) E; (2).解: +注意到独立, 且 所以 =9. 设母体N,子样方差=, 求E,D并证明当增大时,它们分别为+和+. 解: 由于所以.10. 设为取自正态母体N的一个子样, 试证: 1 +2, 1-2是相互独立的.证： 由于1, 2 N， 所以. E即 又，所以由两个变量不相关就推出它们独立.11设母体的分布函数为F,是取自此母体的一个子样,若F的二阶矩存在, 为子样均值,试证1-与j-的相关系数=, 证 由于的二阶矩存在,不妨设 12. 设和分别是子样的子样均值和子样方差,现又获得第+1个观测值,试证:(1) n+1=n+(n+1-n);(2) =.证 (1) =13. 从装有一个白球、两个黑球的罐子里有放回地取球, 令=0表示取到白球, =1表示取到黑球.求容量为5的子样的和的分布,并求子样均值和子样方差的期望值.解: 相互独立都服从二点分布E= D 所以 服从二项分布其分布列14. 设母体服从参数为的普哇松分布, 是取自此母体的一个子样,求： (1)子样的联合概率分布列:(2)子样均值的分布列、E、D、和E。解: (1) (2)服从参数为的普哇松分布,所以的分布列为 15. 设子样取自自由度为的母体, 试求子样均值的分布密度函数. 解: 由于分布具有可加性,所以服从分布. 的分布密度函数为: 16. 设母体服从分布,其密度函数为 为大于0的常数, 为取自此母体的一个子样,试求子样和的分布函数.解: 利用分布的可加性,知的分布密度为 .17. 设母体服从指数分布,其密度函数为，求子样均值的分布. 解: 由于服从指数分布,也就是服从分布:由分布的可加性,知子样和服从因而的分布密度为。18.若是取自正态母体N的子样,求和, 的联合分布. 解: 由于相互独立,又所以和相互独立, , ，所以的联合分布是二维正态分布 .19. 设母体是取自此母体的一个子样,求子样均值的分布密度函数. 解: 二维正态变量的和 仍为二维正态变量,其五个参数分别为, 因此服从20. 设母体的分布列为P()=,k=1,2,N.现进行不返回抽样，为子样的均值,试求E和D (表示成N的函数).解: 由于N有限,而抽样不返回,所以不是简单随机子样,的分布列与母体相同,但不相互独立, 因为 . 21. 设母体,为取自此母体的一个子样,在子样空间中求子样点到原点距离小于1的概率.解: 设样本点到原点的距离为则. - 所以查分布表,可求得近似值22. 设为取自正态母体N的子样,为子样方差,分别求满足下列各式的最小的值.(1) (2) 解: 由于(1) 查-分布表知最小的值为21.(2). 而查-分布表知,最小的值为13. 23. 设随机变量 求: (1) 的分布密度函数;(2) 求的分布密度函数; (3) 求随机变量的数学期望E和方差D. 解: (1) 服从分布,称服从分布,且(2) 的密度函数为 24. 设i 为相互独立的连续型随机变量, i的分布函数为, 试证: 随机变量服从分布.证: 令则服从分布. 的概率密度为 即i服从分布.由于相互独立,所以相互独立.因而由分布可加性有.25.子样来自正态母体,又 求的联合分布密度及的边际分布.解: 由于变换的系数矩阵为 是正交矩阵.所以也相互独立,服从分布的随机变量,其联合密度为26. 若相互独立且服从正态分布,它们的数学期望相等,方差各为, 证明: 与是相互独立的,且服从正态分布,服从自由度为的分布.证明 :设的数学期望为,不失一般性设即分布, 设 , 则相互独立,且服从分布.现对作正交变换,要求其变换矩阵的第一行为: 令变换后所得的变量为其中, 从而 和 又=由于相互独立,所以也相互独立,从而Xi相互独立,此即证明了和是相互独立的.由于是正态变量的线性函数,所以服从正态分布.又因是相互独立的正态变量.而所以服从自由度为的分布.27.设母体服从正态分布N和分别为子样均值和子样方差,又设且与独立, 试求统计量的抽样分布.解: 因为服从分布. 所以 而且与独立, 所以分布.即服从分布.28. 是取自二元正态分布N的子样,设,和试求统计量的分布. 解: 由于 .所以服从分布 . 是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证与相互独立. , 所以 统计量 服从分布.29. 设随机变量服从自由度为的分布,试证的极限分布为标准正态分布.证：因为 ，其中 且相互独立,的特征函数为的特征函数为,因而 即 而所以按斯鲁茨基定理,从而的极限分布为 30. 设随机变量服从自由度为的分布, 试求: (1)=的分布密度函数;(2) =的分布密度函数;(3) 证明服从参数为的分布,这里的密度函数为 解: 且相互独立. (1) 令而的密度函数为所以的密度函数为。(3) 令 ，其反函数为= .可见是服从分布. 31. 设母体的密度函数 , 由此母体抽取一个子样又是子样的次序统计量,求(3)的密度函数.解: 的密度函数为由于 32. 母体服从上均匀分布, 为取自此母体的子样,为次序统计量, 求 解: 其分布密度函数为其分布函数为的密度函数为 33. 设母体的密度函数为 , 为容量为5的取自此母体的子样的次序统计量, 试证：与(4)相互独立.解: r.v. 的分布函数为,的联合密度为： 的分布密度函数为：的分布密度函数为 为求和的联合密度.令， ， 则 变换的雅可比行列式 因而和的联合密度为 =18 所以与是相互独立的.34. 设是取自具有指数分布母体的子样,其密度函数为 为次序统计量,求的联合密度函数. 解: 的联合分布密度函数为 令 则此变换的雅可比行列式， 所以的联合分布密度为35. 设母体的分布函数是连续型的,为取自此母体的子样的次序统计，设 试证:(1) ，且是来自均匀分布母体的次序统计量;(2) (3) 和的协方差矩阵为，其中 证: (1) 因为是连续型,分布函数为.则服从均匀分布.又因为（i）是取自母体的子样的次序统计量.单调下降.所以有，从而得出是取自均匀分布母体的子样的次序 统计量， (2) 的密度函数为 . (3) 对任意的 和的联合密度函数为 因而 =令 所以的方差矩阵为 .36. 设母体, 从此母体获得一组子样观测值 x1=0, x2=0.2 (1) 求子样经验分布函数; (2) 计算(3) 计算分布函数值. 解: (1) (2) 用上题的结论:(3) 的概率密度函数为 其分布函数为 . 在值37. 设母体服从正态分布是容量的子样的中位数,试证:的密度函数关于是对称的,且. 证: 的密度函数为令, 则雅可比行列式为于是:为的分布函数, 为的密度函数.由, 所以 即的密度函数关于y = 0对称,因而的分布密度函数关于是对称的,从而得出 38. 设min试求：(1) 的分布; (2) 解: (1) 令则 令Y= 先求Y的概率密度函数可见的密度函数为:=(2) () （）所以 39. 设母体服从指数分布,其分布函数为 其中是子样的次序统计量,若令 其中=0,试证: (1) 相互独立;(2) 的联合密度函数和的边际密度函数. 证: 的联合密度为: 通过变换 求的联合密度,其雅可比行列式,所以的联合密度为: 再通过变换, 求的联合密度. 在此变换下所以的联合密度为可见是相互独立的变量,yi的边际密度为40设总体 X N (), 假如要以0.9606 的概率保证偏差，试求当= 0.25 时，样本容量 n 应取多大？解. 即.41设总体 X 服从正态分布 N ( 72,100 ),为使样本均值大于70的概率不小于90% , 则样本容量 n 至少应取多少？解. 查标准正态分布表，得 取 n=42。42设在总体 N () 中抽取一个容量为 16 的样本，这里,为未知，求。解.查表知， 故 取 于是 43设 X1,X2,- -X10为N (0, 0.32 )的一个样本，求.解. 服从自由度为10的分布。44设总体 X f (x)=, X1,X2,-,X50为取自X的一个样本，试求：（1）的数学期望与方差；（2）S2的数学期望；(3) 解. (2)=(3) =1-45从一正态总体X中抽取容量为10的样本，假设有2%样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.解.设总体X N () ，样本均值为，则 ，于是 ，查标准正态分布表，得。46设随机变量T服从t (n)分布, 求T2分布.解.由t(n) 分布的定义有 ，其中 XN(0,12), Y 于是 ，又由抽样分布F的定义可知，T2 服从F(1,n)分布。8设总体X在区间a,b上均匀分布，求:（1）来自X的简单随机样本（X1,X2, Xn）的密度f (x1,x2, xn); (2)Y=max X1,X2, Xn 的密度fY(x); Z=min X1,X2, ,Xn 的密度fZ(x).解. （1） X的密度为 f(x)= ，由于 X1，X2, Xn独立且与X同分布，所以有f (x1,x2, xn)= (2)由题设X 在a,b上服从均匀分布，其分布函数为 F(x)= 由 Y=max X1,X2, Xn 及Z=min X1,X2, ,Xn 分布函数的定义， 于是有，。47. 假设(X1,X2, X9)是来自总体X N (0, 22 )的简单随机样本，求系数a,b,c,使 Q=a (X1+X2)2+b (X3+X4+X5)2+c (X6+X7+X8+X9)2服从分布，并求其自由度。 解. 由于X1,X2,X9相互独立且取自总体X N (0, 22 )，由正态分布的线性运算性质有X1+X2N（0，8） X3+X4+ X5N（0，12） X6+X7+X8+ X9N（0，16）于是，由= X1+X2+Xk 有 Q= (X1+X2)2+(X3+X4+X5)2+(X6+X7+X8+X9)2 服从分布。故 a =,b=,c=，自由度为3。 .