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分块矩阵及其应用【摘要】矩阵论是代数学中是一个重要的组成部分和主要的研究对象。而分块矩阵可以降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更加清晰，从而使矩阵的相关计算简化，并且可以证明一些与矩阵有关的问题。 本文详细且全面论述了分块矩阵阵的概念、分块矩阵的运算和其初等变换，而且证明了矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵秩的问题，用分块矩阵求行列式问题，用分块矩阵求逆矩阵的问题,分块矩阵相似的问题。【关键词】：分块矩阵；矩阵的秩；逆矩阵；行列式目录1引言.22矩阵分块的定义和性质.2 2.1 矩阵分块的定义.2 2.2 分块矩阵的运算.2 2.3 分块矩阵的初等变换.3 2.4 n阶准对角矩阵的性质.33分块矩阵在高等代数中的应用.4 3.1 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用.4 3.2 利用分块矩阵计算行列式.7 3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 .11 3.4 分块矩阵在解线性方程组方面的应用.164总结.19参考文献.201 引言 矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，从而使问题的解决更简明。比如当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。本文就分块矩阵的加法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在证明矩阵相关秩的问题、矩阵求逆、行列式展开计算等方面的应用作了较为深入的研究。矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于理解和掌握，而且能开拓思维，提高灵活应用知识解决问题的能力。2 分块矩阵的定义和性质2.1分块矩阵的定义 矩阵分块，就是把一个大矩阵看成一些小矩阵组成的，当运算时，把这些小矩阵当做一些数来处理，给矩阵的运算带来了方便。 设A是数域P上的矩阵，将A的行分割r段，每段分别包含个行，又将A的列分割为s段，每段包含个列。于是A可用小块矩阵表示如下：A=其中是矩阵,这种分割法称为矩阵的分块。 2.2分块矩阵的相关运算性质2.21.加法运算：设为同型矩阵（行和列数分别相等）。 若采用相同的分块法, A= B= 则可以直接相加。2.22乘法运算:设AB=C（A、B为同型矩阵且有相同分块方式），则C有如下分块形式： C=， 其中 2.23.分块矩阵的转置：一般地，设A=是一个分块矩阵，那么分块矩阵取转置的规则： 第一步：把的每一块都看成元素（数）取转置 第二步：对的每一块取转置。2.3.分块矩阵的初等变换 分块矩阵的初等变换是处理分块矩阵有关问题的重要工具，我们可以 根据矩阵的初等行变换推广得到如下定义： 定义：以下三种变换称为分块矩阵的初等行变换 （1）用一个行列式不为零的方阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行。 （2）互换两块行的位置。 （3）把一个块行的（矩阵）倍（即这个块行里每一个小矩阵都左乘或右乘一个矩阵）加到另一块行上。2.4. n阶准对角矩阵有如下性质： （1）对于两个同类型的n阶准对角矩阵（其中同为阶方阵）， A= B=，有:AB= （2）； （3）A可逆等价于可逆，且。 2.5分块矩阵相似的条件 定义1：设为阶分块矩阵，若存在可逆分块矩阵，使得则称相似于，记作。对进行矩阵的积运算称为对进行相似变换，可逆分块矩阵称为把变成的相似因子阵。相似是分块矩阵间的一种特殊的等价关系，即两个相似分块矩阵是等价分块矩阵；反之不然。这就是说相似关系具有一下性质：1) 反身性 ；2）对称性 若,则；3）传递性 。设由定义还可得到相似矩阵的以下运算性质：1）2）3）4）其中中的任意一个多项式。特别有。定理1 两个对角矩阵相似的充要条件为对角线上的元素相同，只是排列顺序不同。证明：设A，B是两个对角矩阵且A相似于B，则由相似矩阵的性质知，存在可逆矩阵X，使得，即于是有又由A,B为对角矩阵知，上式成立的充要条件是对角线上元素相同，仅仅排列顺序不同。定义2 设是定义在全体阶分块矩阵聚合上的函数，若对中的任意两个相似矩阵A和B，总有，则称为相似不变量。定理2 矩阵的行列式是相似不变量。证明：设，则存在可逆矩阵X，使得，于是这说明行列式是相似不变量。3分块矩阵在高等代数中的应用3.1分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用 定理 1 设A是数域P上m×n矩阵，B是数域P上 n×s矩阵，于是秩min秩,秩，即乘积的秩不超过各因子的秩。证明 : 为了证明此定理，只需证明秩（AB）秩（A）,同时秩（AB）秩 （B）。现在来分别证明这两个不等式。令=，, 则() 可由线性表示 秩秩,即秩秩秩 令， 所以 即 可由线性表示 秩秩,即秩秩秩 即秩 定理 2 设、都是n×n矩阵，证明：若,那么秩秩.证明：对分块如下: 由于 即 即 说明的各列都是的解.从而秩基础解系的维数秩 即秩秩 3.2分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用例 设、都是阶矩阵,求证:秩秩+秩证明： 因为 （第2行×(-E)+第1行） （第1列×（-B-E）+第2列） 所以由初等变换知= 因为，都可逆 所以秩=秩 而秩秩秩=秩+秩 所以秩秩+秩例2 设为矩阵,是从中取行得到的矩阵,则证明：不妨设是的前S行,而后行构成的矩阵为,则 又显然有 于是例3设A为s ×n矩阵，则有秩()-秩()=n-s证明：因为=又因为可逆所以秩=秩，而秩=秩 ()+n 所以秩=秩=秩()+n (1)又因为= 同理可得 秩=秩=秩() +s （2） （1）、（2）式相减即得秩()-秩()=n-s 3.2 利用分块矩阵计算行列式3.1引理设矩阵 H=或H=其中A1,A2,As是实矩阵，且均为方阵,则|H|=|A1|A2|As|3.2利用分块矩阵计算行列式 设A、B分别为m与n阶方阵.计算行列式= 矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算 命题1设A、B分别为m与n阶方阵.证明: (1)当A可逆时,有= (2)当B可逆时,有= 证(1)根据分块矩阵的乘法,有由引理知,两边取行列式即得(1). (2)根据分块矩阵的乘法,有两边取行列式即得(2).注意:利用命题1解题时,要注意条件:矩阵A或B可逆. 推论1设A,B,C,D分别是m,n,n×m和m×n矩阵.证明 (1) （3） (2) |A-DC|. (4) 证明：只需要在命题1的(1)中令A=Em,即得(3);在(2)中令B=En,即得(4). 推论2C,D分别是n×m和m×n矩阵.证明： （5）证明：证明在推论1的(3)中,令B=En,在(4)中,令A=Em,即得(5).例1计算下面2n阶行列式|= (a0)解令A=,B=，C=,D=且都为n阶方阵.由于a0,故A为可逆方阵.又易知从而由命题1中(1)得|=例2计算行列式 ,(ai0,i=1,2,n); 解设Q=，其中A=(),B=,C= ,D= 因为ai0,i=1,2,n,所以B是可逆矩阵.又易知从而由命题1中的(2)得= .= 例3：设行列式 , 试展开. 解：把矩阵进行分块如下:=;其中当,可逆。此时选取矩阵： 则有：上面等式两边取行列式，便有 ; 但是 这样有 = 当时，也可以表示为上述形式，所以行列式的展开式为:.3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或者初等变换的方法来解决，而此类方 法对级数较高的矩阵运算量较大，这时我们可以运用分块矩阵，求出非奇异分块矩阵A的逆，得相应子块的逆，即用相应的分块形式得出分块矩阵的逆。 命题1 设是一个四分块方阵，其中为阶方阵, 为阶方 阵,当与都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵，并且 特例 当，与都可逆时，有. 当，与都可逆时，有 当，与都可逆时，有 证明： 设可逆，且，其中为阶方阵，为阶的方阵. 则应有 即 ， 于是得到下面的等式XA+YC=E(1) XB+YD=0(2) ZA+WC=0(3) ZB+WD=E(4) 因为可逆，用右乘(2)式可得 代入(1)式得 则. 用右乘(4)式可得 代入(3)式得 则可得-. 所以.命题2 设是一个四分块方阵，其中为阶方阵，为阶方阵，当与（）都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵,并且 =特例 （1） 当，与都可逆时，有 （2） 当，与都可逆时，有 （3） 当，与都可逆时，有. 例1：设 求。解：把分块成因，所以可逆，且均可逆，所以因为所以同法算得所以 例2 设M，求. 解 令，. 则很容易求得，且-由命题2可得，本小节主要讲述了欲求一个矩阵的逆矩阵，先将该矩阵分成四小块，在根据该四小块的具体情况推导出了求这个矩阵的逆矩阵的公式.这里我们重点的区别中那些可逆那些不可逆,再具体运用.3.4分块矩阵在线性方程组方面的应用对于线性方程组记，为系数矩阵，为未知向量，为常数项向量，为增广矩阵，按分块矩阵记法可记为或此方程也可记为，把系数矩阵按行分成块，则可记做 把系数矩阵按列分成块，则与相乘的对应按行分成块，记作 ，即，其都为线性方程组的各种变形形式，在求解过程中变形以更方便快捷例：利用分块矩阵证明克拉默法则：对于个变量个方程线性方程组如果他的系数行列式，则它有唯一解，即证明：把方程组改写成矩阵方程，这里为阶矩阵，因，故存在，令，有表明是方程组的解向量，由 ，有 ，即，根据逆矩阵的唯一性，知是方程的唯一解向量，由逆矩阵公式，有即即 结束语：矩阵得分块不算是一个抽象的概念，我们能够清楚的了解知道并掌握它的概念及性质，进而能够灵活的运用，这样对我们今后的学习与研究都会有很大的帮助。本文主要论述了分块矩阵的概念和性质和分块矩阵在中的应用。对于同一个矩阵有着不同的分法，这就要求我们平时要善于观察，争取把矩阵的分块用到恰到好处。在我们利用矩阵的分块来解决问题的时候，我们要注意一些问题，比如我们在做分块矩阵相乘的时候，要注意到前面的矩阵的列的分法必须和后面矩阵行的分法一致，两个分块矩阵相加时，它们所对应的子块行数和列数必须一样。通过上面介绍的分块矩阵在高等代数中的几个应用，可以看出，利用分块矩阵可以使一些复杂的问题简单化，大大的减少运算量，比如说我们在利用分块矩阵求行列式，如果不利用矩阵的分块将很难解决。 总而言之，矩阵的分块贯穿整个高等代数的内容，在日常生活中，我们要善于发现它们的内在联系。