《应用数理统计》吴翊李永乐第二章 参数估计课后习题参考答案.doc

第二章 参数估计课后习题参考答案2.1 设总体X服从二项分布为其子样，求N及p的矩法估计。解：令解上述关于N、p的方程得：2.2 对容量为n的子样，对密度函数 其中参数的矩法估计。解： 所以 其中为n个样本的观察值。2.3 使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量，其结果为(单位：mm)232.50，232.48，232.15，232.52，232.53，232.30232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30试用矩法估计测量的真值和方差(设仪器无系统差)。解：2.4 设子样1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是来自具有密度函数的总体，试用矩法估计总体均值、总体方差及参数。解：2.5 设为的一个字样，求参数的MLE；又若总体为的MLE。解：(1)(2)2.6 设总体X的密度函数为为其样本，求下列情况下的MLE。（i） (ii) (iii) 已知（iv） r已知（v） 解：（i） (ii) （iii） (iv) (v) 2.7 设总体X的密度函数为，为其子样，求参数的MLE及矩法估计。今得子样观察值为0.3，0.8，0.27，0.35，0.62，0.55，求参数的估计值。解：极大似然估计：矩法估计:2.8 在处理快艇的6次实验数据中，得到下列的最大速度值(单位：m/s)27 ,38 ,30 ,37 ,35 .31,求最大艇速的数学期望与方差的无偏估计。解：是总体期望的无偏估计是总体方差的无偏估计2.9 设总体，为其子样。(1)求k，使为的无偏估计；(2)求k，使为的无偏估计。解：(1) 即k=2(n-1)(2)所以2.10 设总体为一样本，试证明下述三个估计变量都是的无偏估计量，并求出每一估计量的方差，问哪一个最小？证：同理：是的无偏估计量。由于最小。 2.11 设是参数的无偏估计，且有，试证不是的无偏估计。解：是参数的无偏估计，即又因为所以综上所述：不是的无偏估计设总体证明为的无偏估计，且效率为。证明：设则即，为的无偏估计由于则， 2.13设总体X服从几何分布： 证明样本均值是的相合，无偏和有效估计量。证明：（1）相合性令 对上式括号中的式子，利用导数，并利用倍差法求和因此，相合性： 当则是的相合估计。本题中， 是的相合估计。（2）无偏性 （3）有效性 是的有效估计。2.14 设总体X服从泊松分布，为其子样，试求参数的无偏估计量的克拉美劳不等式下界。解：克拉美劳不等式的下界为：2.15 设，是的有效估计量，试证明是的有效估计量。解：从而的无偏估计量C-R下界是的有效估计量。2.16 设有二元总体，而为其样本，证明是的无偏估计。证明：同理为的无偏统计量。2.17 设和是参数的两个独立的无偏估计量，且的方差为的方差的2倍，试确定常数及,使得为参数的无偏估计量，并且在所有这样的线性估计中方差最小。解：和是参数的两个独立的无偏估计量则即又要使其最小，则要求最小。当时，取得最小值，此时2.18 设总体X服从指数分布，其密度函数为为其样本，n>2。(1)求的MLE；(2)计算,求k，使得为的无偏估计；(3)证明是的渐进有效估计。解：(1)(2)的密度函数 若为的无偏估计，则 (3)由此可知，是的渐近有效估计。2.19 设总体X服从泊松分布,为来自X的一个样本。假设有先验分布，其密度为求在平方损失下的贝叶斯估计。解：给定，样本的分布列为：样本的边缘分布列，其中时的联合密度函数：的后验密度为：的贝叶斯估计：=2.22 随机的从一批零件中抽取16个，测得长度（单位：cm）为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 以零件长度的分布为正态的，试求总体均值的90%置信区间。 （i）若； （ii) 若。解：求得：（i）若则，的90%置信区间为：带入数据（ii）若未知 2.23 对方差已知的正态分布总体来说，问需抽取容量n为多大的样本，才能使总体均值的置信度为置信区间的长度不大于。证明：估计区间：区间长度：2.24随机地从A批导线中抽取4根，并从B批导线中抽取5根测得其电阻（）为 A批导线 0.143 0.142 0.143 0.137 B批导线 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140设测试数据分别服从正态分布。解：此题中，置信度0.95，即查得 因0含在此置信区间内，故认为2.26 在一批货物抽100件检查，发现次品16件，求这批货物次品率的0.95置信区间。解：，100件产品中有16件次品，则使用棣莫弗拉普拉斯中心极限定理，服从标准正态分布，于是解下列不等式解上述不等式得：p=0.101，p=0.244，95%的置信区间0.101 0.2442.25随机地取某种炮弹9发作试验，得炮口速度的样本标准差，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹炮口速度之标准差的0.95置信区间。 解：开根号得这种炮弹炮口速度之标准差的0.95置信区间为7.8806, 22.3504