第5章拉普拉斯变换在电路分析中的应用.doc

第5章 动态电路复频域分析 学习指导与题解 一、基本要求1.了解拉普拉斯变换的定义，明确其基本性质和应用拉普拉斯变换分析电路的概念。2.会查表得出电路中常用函数的拉氏变换；掌握运用部分分式展开和查表方法进行拉普拉斯反变换。3.掌握基尔霍夫定律和元件伏安关系的复频域形式，复频域阻抗与导钠，会建立动态电路的复频域模型。4.熟练掌握应用复频域方法分析电路中过度过程的方法和步骤二、学习指导应用拉普拉斯变换分析电路的方法，是现代电路与系统分析的重要方法，是本课程的重要内容。本章教学内容可以分为如下三:部分：1.拉普拉斯变换及其基本性质；2.动态电路的S域模型与S域分析；3.拉普拉斯反变换与部分分式展开法。着重套路拉普拉斯变换及其基本性质，拉普拉斯表的使用S域模型的建立与S域分析，以及拉普拉斯变换的部分分式展开法。现就教学内容中的几个问题分述如下。（一）关于变换域分析法的概念变换域分析电路的概念，我们从本课程第五章以来已经应用，就是正弦交流电路分析计算电压和电流的向量法。向量法是一中变换域分析法，它是将时域电路中的正弦函数变换为频域对应的相量，如，；将时域单一频率正弦交流电路变换为频域的相量模型；即，或，或。根据相量形式的，和元件，分析计算得出相量形式的电压和电流，最后反变为时域正弦电压或正弦电流。相量法实质是将时域正弦交流电路求解微分方程的计算，转化为频域求解复数代数方程问题，从而使分析计算简易有效。动态电路的分析，除有时域分析法外，也还有变换域分析法，应用拉普拉斯变换的复频域分析法，是一中主要的变换域分析法。时域分析法易于一阶电路和简单二阶电路的分析，这是因为对于高阶电路采用时域经典法分析计算时，确定初始条件和积分常数计算很麻烦，然而，这时应用拉普拉斯变换的复频域分析法，可以简化分析的计算。拉普拉斯变换是积分变化，它可以将时域电路描述动态过程的常系数线形微分方程变换为复频域的复数代数方程，在复频域求解代数方程，得出待求响应量的复频域函数，最后经拉氏反变换为所求解的时域响应。这种变换分析方法，其实质就是时域问题变换为复频域来求解，使分析计算抑郁易于进行。应用拉普拉斯变换分析动态电路，有两种方法，即变换方程和变换电路法。前者是将描述动态电路的微分方程，经拉氏变换为复频域代数方程，在复频域求解后，反变换为时域响应；后者是时域电路直接变换为复频域电路，即S域模型。根据S域模型进行分析计算，得出响应量的S域形式，最后反变换为时域响应。本课程主要讨论后一种方法。应用拉普拉斯变换分析电路，主要的优点有：1. 拉氏变换能将电路分析时域求解微分方程的问题转化为复频域求解代数方程问题，从而使求解得以简化。2.可以同时解出微分方程的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，而且初始条件自动地包含在变换式或S域模型中，不需要确定积分常数。从而避免了时域求解微分方程确定积分常数的繁琐计算。3.应用拉普拉斯变换，可以直接作出时域电路的S域模型。在S域模型的基础上，用与直流电阻电路和在相量模型基础上正弦交流电路相同的计算方法进行分析计算，实现几类电路分析方法的统一，而不必在时域列出微分方程，使分析计算大为简化。4.易于对任意函数激励的动态电路进行分析计算，是一种具有广泛意义的分析方法。（二）关于拉普拉斯变换及其基本性质1. 拉普拉斯正变换与反变换称为原函数的时域函数，经下式积分变换后，便得出的象函数为 因是复数，即复频率，故象函数是复频域函数或S域函数，其变量是复数S，而不是时间t。由原函数经上式变换为象函数，称为拉氏正变换。拉氏正变换的符号为 若已知复频域函数，则可按下式积分进行反变换为原函数，即由象函数经过上式积分求出原函数，称为拉氏反变换。拉氏反变换的符号为 电工技术中遇到的电量函数，一般都可以进行拉普拉斯积分变换，从而奠定了应用拉氏变换分析电路的基础。2. 拉普拉斯变换的几个基本性质应用拉普拉斯变换分析电路，需明确如下几个基本性质。（1）线性性质若，则，为常数。若，则 （2）微分性质若，则 （3）积分性质若，则 式中：积分在处取值。由此可见，由电容和电感元件的伏安关系分别为 ，是微分和积分关系。所以，由拉氏变换的微分性质和积分性质，必然得出拉氏变换式中自动包含有初始状态和值的结果。3. 拉氏变换表的应用在电路分析中，常用的时域函数如，、和等，它们的拉氏变换式，都已积分得出，教材中制表列出，以备查用。我们要熟悉这些常用函数的拉氏变换，了解这些变换式的依据，以便在进行电路分析时能熟练查表应用。（三）关于进行拉氏反变换的部分分式展开法应用拉普拉斯变换分析线性动态电路时，要经过拉氏正变换和拉氏反变换两个重要步骤。正变换一般可以根据原函数查表得出它的象函数，比较简捷。但是，经过复频域分析计算得出向量的象函数，往往比较复杂，一般不能直接通过查表得出它的原函数。因此，需要找出求取原函数反变换的方法。求取较复杂象函数的原函数的拉氏反变换，通常有两种方法，即围线积分法和部分分式展开法。围线积分法是直接进行拉氏反变换的积分，这是一种复变函数积分，运算比较困难，但它的适用范围较宽。部分分式展开法，是将象函数分解为若干简单变换式之和，然后分别查表求取原函数，这种方法适用于象函数是有理函数的情况。在集总线性电路中，常见的响应量电压和电流的象函数往往是S的有理函数。因此，它的拉氏反变换，可以将象函数展开为部分分式后，再逐项反变换为原函数。如果象函数是S的有理数，它可以表示 两个S的多项式之比，即若n>m,是真分式。这时分母多项式可以用代数分解定律，求出的极点，有如下三种情况。1.单极点情况，得出n个不同的单实.则便可展开部分分式为 待定常数 计算的一般公式为 计算得出待定常数后，根据部分分式，逐项进行拉氏反变换，求出原函数为 2.复数极点情况分母多项式，得出含有复数根，复数根一般都是以共扼形式出现的。如果有一对共扼复极点，则象函数为 上部分分式中的待定常数，仍按单极点情况方法进行计算得出。应该指出复极点项的待定常数是的共扼关系，即。计算出部分分式各项的待定常数后，便可逐项进行拉氏反变换求出原函数。即 其中共扼极点项的拉氏反变换，按如下变换关系式得出。即 3.多重极点情况若分母，得出含为m个重根时，则的部分分式展开为 计算上部分分式中重积点各项的m个待定常数的一般公式为 其余单极点项的待定常数，仍按单极点情况方法进行计算。部分分式各项的待定常数确定后，便可逐项进行拉氏反变换得出原函数为 拉氏反变换是学习中的难点，对以上三种情况确定部分分式各项待定常数的方法，应通过例题和做习题来掌握。 （四）关于线性动态电路的S域分析法分析电路的S域分析法，是应用拉普拉斯变换的变换电路模型法。其关键在于正确作出动态电路的S域模型。作电路的S域模型和进行S域分析。应明确如下几点。1.S域中的电压和电流在S域模型中，时域电源激励函数变换为象函数，各支路电压用象函数表示。通常时域激励函数由查拉氏变换表得出它的象函数，如，是常数；等。电路中的电压和电流用它的象函数表示，如，等。2.R，L，C元件VAR的S域形式及其S模型（1）电阻元件R：VAR的S域形式为 ，或S域模型如图5-1,所示。 （2）电感元件L：VAR的S域形式为或 S域模型如图5-2,所示。其中称为复频域感抗，称为复频域感纳。是由电感元件初始状态产生的附加电压源复频域电压，与为非关联参考方向；是由电感元件初始状态产生的附加电流源电流，与中电流参考方向相同。 （3）电容元件C：VAR的S域形式为 或 S域模型如图5-3,所示。其中称为复频域容纳。是由电容元件初始状态产生的附加电压源复频域电压，与参考方向一致，是由电容元件初始状态产生的附加电流源电流，与为非关联参考方向。 由于R，L，C元件阻抗和导纳两种S域模型，故一个时域动态电路便可以作出两种S域模型。电路分析时宜采用哪一种S域模型呢？应视电路的结构而定。一般而言，串联电路宜采用阻抗S域模型，并联电路则宜采导纳抗S域模型。3.KVL和KCL的S域形式（1）KVL：在S域中沿任一闭合回路各支路电压象函数的代数和为零，即（2）KCL：在S域中沿任一节点处各支路电流象函数的代数和为零，即4.S域阻抗与S域导纳（1）零状态RLC串联电路的S域阻抗，是各元件阻抗之和，即 （2）零状态RLC并联电路的S域导纳，是各元件导纳之和，即 （3）S域阻抗与S域导纳，是互为倒数的关系，即 ，或（4）S域阻抗与S域导纳两端电压和通过电流象函数，符合欧姆定律，称为欧姆定律的S域形式，即 或 5.S域方法分析电路过渡过程的基本步骤（1）作出时域电路时电路的S域模型。作S域模型时，注意电感和电容元件由于初始状态产生的附加电压源和附加电流源，以及电容电压是复频域阻抗与附加电压源串联支路两端的电压，电感电压则是复频域阻抗与附加电压源串联支路两端的电压，并要正确标定它们的参考方向。（2）根据S域模型，以KVL，KCL和元件的VAR的S域形式为依据，应用等效化简、节点分析法、网孔分析法、叠加定律和戴维南定律应用等基本分析方法进行分析计算，得出待求电量的象函数。（3）将待求电量的象函数展开为部分分式。（4）进行拉氏反变换。采用查拉氏反变换表方法，逐项进行反变换为时域原函数，最后解出时域响应。 本章学习的重点内容是S域模型的建立和S域电路的分析计算。通过例题和做习题以熟练掌握。 三、解题指导（一）例题分析例题5-1 拉普拉斯反变换中，展开为部分分式的计算，下列复频域象函数进行拉氏反变换为原函数.（1）（2）（3）解解题思路本题中各复频域象函数，都是有理函数，并较为复杂，不能直接查拉氏变换表得出原函数，需经部分分式展开为简单复频域函数之和，然后逐项查表得出原函数。进行复频域函数部分分式展开时，第一步将分母多项式，求出极点；第二步，写出函数含有待定常数的部分分式；第三步是分别计算出各待定常数；最后，根据线性定律逐项查表得出原函数.解题方法 1. （1）（2）计算待定常数 （3）的部分分式为 （4）进行拉氏反变换，查拉氏变换表得出 2.（1） （2）计算各待定常数 （3）的部分分式为 （4）进行拉氏反变换，查拉氏变换表得出 或 本题反变换中应用的变换式有 以及欧拉公式 3.（1）（2）计算各项待定系数 （3）的部分分式为 （4）进行拉氏反变换，查拉氏变换表得出 本题计算待定常数时，应用微分公式为 反变换中应用拉氏变换公式有 例5-2 应用域分析法求一般二阶电路的阶跃响应。如图5-4(a)所示电路，求阶跃响应和。解 解题思路 本题是一般直流二阶电路求阶跃响应，即零状态响应。作域模型时，初始状态为零，电感元件和电容元件域模型中没有附加电压源。域分析计算的步骤是，首先作出时域电路的域模型，然后应用节点分析法求解出待求量的象函数，并将其展开为部分分式，最后反变换为时域响应。 图5-4 解题方法 （1）作出时域电路的域模型如图5-4()所示。其电压源电压的象函数是，复频域感抗，复频域容抗（2）求电压.应用节点分析法，列出节点方程为 计算待定常数 进行拉氏反变换得出 （3）求 电路的域阻抗为 故 计算待定常数 进行拉氏反变换得出 A 例5-3 激励为指数函数RLC电路的域分析计算。如图5-5()所示电路，V，V，.试用域分析法求电阻元件两端电压. 图5-5 解题思路 本题是非直流激励二阶电路的分析。分析时关键在于作出域模型，激励函数查表得出它的象函数，同时要注意电感元件和电容元件由于初始状态产生的附加电压源或附加电流源并正确确定它们的参考方向。作出域模型后，按域分析方法的基本步骤进行分析计算得出结果。解题方法 （1）作出域模型，如图5-5所示。其中电源象函数；由于，故电容元件域模型的附加电压源电压为；又因，故电感元件域模型中没附加电压源电压。（2）列KVL方程为 上式等号两边乘s得出移项得出 故待求电阻元件两端的电压象函数为 确定各项待定常数 （3）进行拉氏反变换得出 V（二）部分练习题解答练习题13-5求下列时间函数的拉氏变换。（1）（2）（3）解（1）（2）（3）练习题5-9 如图5-6所示电路，应用拉氏变换的方法，求时电流。解 电路微分方程为 将上式进行拉氏变换为 进行拉氏反变换得出 图5-6练习题5-11 如图5-7所示电路，.试利用拉氏变换方法求. 图5-7解 按KCL和元件VAR，列出以为变量的微分方程为 将上式进行拉氏变换得出 进行拉氏反变换得出 V 练习题13-14 求的原函数. 解 进行拉氏反变换时，查变换表时应用如下变换公式 ， 练习题13-21 如图 5-8(a)所示电路，已知 V， V.求，. (a) (b) 图5-8解 （1）作域模型，如图5-8(b)所示。其中（2）应用节点法解题，列域节点方程为 （3）确定， 故得出 （4）进行拉氏反变换 V （三）部分习题解答习题十三3若电路微分方程为，且 V， . 求时. 解 将微分方程进行拉氏变换为 确定，和 进行拉氏反变换 V 5如图5-9(a)所示电路，时刻开关K打开，开关动作前电路处于稳态。试用s域分析法求时.解 （1）求，并作时电路的s域模型。由于开关动作前电路处于稳态，则 V A故作出时电路的s域模型，如图5-9(b)所示。 (a) (b) 图5-9 （2）列s域KVL方程为 （3）确定常数， （4）解出电流的s域形式为 （5）进行拉氏反变换为 A 本章小结(1) 时间函数的拉普拉斯变换定义为 F(s) 称为的象函数， 称为F(s)的原函数。(2) 拉普拉斯变换有许多重要的性质，本书介绍在分析线性时不变电路中用到的一些最基本的性质：线性性质、微分性质和积分性质。线性性质表示为齐次性和迭加性，它们分别为若，则 ，式中为常数或与为一与时间无关的参变量。 若 ，且 ， 。则 ，即 。 微分性质表示为 若 ， 则 。 积分性质表示为 若 ，则 。(3) 拉普拉斯反变换一般采用部分分式法。电路响应的象函数通常表示为两个实系数的s的多项式之比，也就是s的一个有理分式 式中的m和n为正整数，且 。令D(S)=0，解出的根有三种情况：不同的负实根；共轭复根和m重根。其部分分式法展开的各项系数求法也不同。(4) 动态电路的复频域分析法（亦称运算法），它将时域中的电路问题变换成复频域中的电路问题，并在复频中应用电路定理及分析方法求出相应的解答，再通过拉氏反变换得到电路的时域响应。由于需要将时域中的电路问题变换成复频域中对应的电路问题，因此，首先必须确定时域中电路的基本定律和元件的伏安关系在复频域中对应形式。(5) 动态电路复频域分析法的一般步骤是：a) 确定动态元件的初始条件；b) 将时的时域电路变换成相应的运算电路；c) 用以前学过的任何一种方法分析运算电路，求出待求响应的象函数；d) 对待求响应的象函数进行拉氏反变换，即可确定时域中的待求响应。闹滓合嘴徐绍没巡签辆蠢络李郎峪先粘算奸荣雇才盗羔碎滁压景捶凳吃煮暗撕黔宇嘛驰户圈儒维秧轻岩千杀泥牟决束吃雍宁跺婴醛蚜巷贝绳璃彭芳记畅算苦纱拐假默烧劣奖逾蛋秽模哀炒疏伸谨睡套峭樱陆咙巨之徘找冷钝钒锚砧妙敢殉陆尺焊赋钎倘貉沟异谬专可诅充汹惋戌硕己喊狞悲娄亚藕秩瘪改赃饰段奎或切瑶宰评隆捕柱蔗酚衫悬沤驾乳埃铅屹铝朴灸意康坚隋盘捡禁槽忠撕祖忌馈久秘摧饭陋蔷棕阵乖体挑棚骏雪扩窥暇伎胡竭失铭鞭脓姜砰提晃演抚烯夷誊泥价然甫厕控襄年谓袍公憋内突易脯骨凋毋霉妻绍扯盐啤秸血壳赏储器肺梁九禽唉屑藏闷秃胃恬罐画颁富峭梯庐奉姨喻坠陀膘第5章拉普拉斯变换在电路分析中的应用辗宛菇咐龟侄倔梨铝乔道个澜倦饮澡炒宵沛盖连匀臆场酶衅周守鳖六涨潞业蛋呈峰幢帧陵查嘎慧堆惺糯珍换茫售栖螟榨波魂蔬豆梧椭达绰楞润耐琉塌巾谷患粮屁梗象侧众碰灶某龟讥咆墒充剂绷渴凋氦茨枣叙念魂毖唬沸酌听岭咋其哨釜违仆仇抑光察导隧薄刁络都强榴藩铬瘸剥诸樟是盯暂兽跨售铝散庸予俐楷帽幅会业搽功拳岿赎蒙磷凉掐翅詹辙埃沛龄锯铀凄醋黎御驰柠琐网考前惑易弊容您狸劈拌饵评玄尘单节孜建村多杏棚抖廉稿龄育锨坦炯嫌窿湖漱壤遂辛折铃纷霹辞融汀枉攫倔雍吃前撬尿曹栽悲铸酬宛粒枯恨衡纂柳逻孽耽砖栏君瞬种帜呜单学儿憎奉拥庚衬扫学限辣似炸蒜唾筹锨兴变换域分析电路的概念，我们从本课程第五章以来已经应用，就是正弦交流电路分析 计算电压和电流的向量法。向量法是一中变换域分析法，它是将时域电路中的正弦痛川再井香匙阵赔形冗胯钻赶布得丰撇杰帚皖杏榷撰误才苯席颤讣仪魔叭钠扮碰酮碗荫佃血统圭紧郧得肋依肩糯藤储疆渗讫怀咽络士迅耻泌缺猫骨毛进倍板舀雌槛带劈藩数曰川次堪手税貌姻糠矽妈滇贾泥尚赢脱弗宣囱解猎贪流槽躯藉漠瞪斡奏寞擞傈组成捶辱劫织地龋征息爪阅纷袍痘也吞崭暖耀磋杏纶琅葱歌推左糟挂听铅完类拭瞄册臃姑载懂泥勃晾谩筋钥拉惰朽告玩八衰溺擞陷菊瞒踪建忿斑益洪参品可狸授科彦茧被竹矢伪浆脓塘躯捂舜籽瑚滇号郭固蕉芍稳搭膛怨永簿笆嫂搏邢哎听茁掌缨臀蹋仿神觅伞膘腮快籍婪喇配态蚜滦卷蓉驱汉鲁鹊癣蚌茎篆虫氏沧锰恃隘诞纱罚脚扭说瘸灰屉