2全光谱拟合法测量薄膜光学常数的数学模型.doc

2 全光谱拟合法测量薄膜光学常数的数学模型2.1光学薄膜的色散模型我们要求的薄膜光学常数是,也就是折射率消光系数各自与光波波长间的函数关系.这种函数关系不是简单的对应,对于不同的半导体介质材料相应的制约因素可能就不尽相同了.这种复杂的对应关系归结里起来主要是由于介质材料的色散模型所决定,常见的色散模型有:Cauchy模型F-B模型Sellmeier模型等等。2.1.1 Cauchy模型对于大多数介质材料，远离其吸收区，都满足Cauchy模型。其对应的函数关系可由以下方程组得出: (2.1) (2.2)、就是我们进行全局优化所需要求解的常数.在可见光谱范围内, 非常大,因此对于的整体影响非常小,在精度要求不是特别高的情况下可以忽略不计。根据通常光学薄膜介质的性质,预设这些参数的解集范围: 、。2.1.2 F-B模型F-B色散模型适用于非晶半导体和绝缘体材料，在F-B色散模型中，消光系数k是复合折射率的虚部（），它与光子能量E之间满足： (2.3)根据Kramers-Krong关系，可以推得实部折射率满足： (2.4)其中，,不是独立的参数，它由决定： (2.5) (2.6) (2.7)代表光子能量在无穷大时的折射率；等于导带与价带中心距离的两倍，与通过跃迁时激子寿命联系起来；代表吸收最小的光子能量，称为F-B带隙，需要特别指出的是它不等于材料的光学带宽，一般小于光学带宽；是色散公式取的项数，对于无定型薄膜，而对于多晶薄膜。因此，,薄膜的光学常数可以由参数等决定，待拟合参数就为这五项。另外，因为，我们就可以建立起折射率、消光系数和波长之间的关系，所有程序函数的待定数据和自变量都已明确。备注：在F-B色散模型的参数中，一些物理限制条件必须被满足：(1)所有的参数必须大于0；(2)F-B带隙，并且和薄膜的材料的禁带宽度接近；(3)为了保证有意义, 。2.1.3 Sellmeier 模型Sellmeier方程是描述媒质色散的重要公式之一。Cauchy色散模型只能描述介质正常色散规律。1871年Sellmeier根据洛伦兹的电子论推出介质色散的一般关系式，修正Sellmeier方程的表达式如下： (2.8)式中，表示折射率，是入射光波长，是与吸收能带有关的常数，为介质的吸收波长。Sellmeier色散公式既能描述在介质的吸收区域内呈现的反常色散现象，它与Cauchy色散模型相似，能在远离吸收区域推出Cauchy色散公式。Sellmeier 模型适用于无吸收的透明介质，即：。由于对于大多数介质材料来说,远离其吸收区,都满足Cauchy模型对应的函数关系，因此本课题中以Cauchy模型为例建立数学模型。2.2全光谱拟合法测量薄膜光学常数的数学模型光谱拟合的过程其实就是将假设或者通过一步一步优化所得到的光学常数和薄膜厚度d值代入评价函数计算公式,并计算评价函数的逐渐优化的过程。首先考虑折射率为的介质垂直入射到抛光的折射率为的材料表面上，如下图2.1所示，部分光将被反射掉，部分光将入射到材料内部。本文主要对单层薄膜的情况进行了分析。对于单层膜的情况，其结构由空气薄膜基底系统三种介质组成，如 图2.1所示。 基 底 薄 膜 环境介质图2.1单层膜介质系统设单层膜正入射(即,)为例进行推导： （2.9） （2.10） （2.11）将式（2.9）、（2.10）、（2.11）代入透射率公式如下： (其中,) 其中 、 （令 则：）代入上式： 令则：经一系列化简得： (2.12)本课题中以最小均方差函数作为目标优化函数，即： (2.13)有了目标优化函数计算式，我们根据已知的客观条件或基本常识设定各个拟合常数的上下限，在这个区域内产生一组待测常数的解代入计算式得出相应的目标优化函数，然后根据全局优化算法的理论通过计算机对这些解进行优化，朝目标优化函数逐渐变小的方向寻优。当评价函数足够小（理想值0）的时候，我们就求得了待定薄膜的光学常数和膜层厚度的解。