函数的周期性与对称性.docx

函数的周期性与对称性1、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 y f(x) 定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立， 则函数 y f(x) 是周期函数，且 2|a| 是它的一个周期。f(x a) f(x a) f(x a) f(x) f(x a) 1/f(x)f(x a) 1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x) 同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数， 且 T2|a b|性质 6、若函数 y f(x) 同时关于点( a， 0)与点( b，0)中心对称，则函数 f(x) 必为 周期函数，且 T2|a b|性质 7、若函数 yf(x) 既关于点( a，0)中心对称，又关于直线 xb 轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T4|a b|3. 函数 y f (x) 图象本身的对称性(自身对称) 若 f (x a) f (x b) ，则 f ( x)具有周期性；若 f (a x) f (b x)，则 f(x)具有对 称性：“ 内同表示周期性，内反表示对称性 ”。1、 f(a x) f (b x) y f ( x)图象关于直线 x (a x) (b x) a b对称 224函数 f ( x)对于任意实数 x满足条件 f (x2)，若 f (1) 5，则 f f (5) f (x)推论 1：f (ax) f (a x)y f (x) 的图象关于直线 xa 对称推论 2、f (x)f (2a x)y f (x) 的图象关于直线 xa 对称推论 3、f ( x)f(2a x)y f(x) 的图象关于直线 xa 对称2、 f(ax)f (b x) 2cy f ( x)的图象关于点 (a b,c)对称2推论 1、f (ax) f (a x) 2byf (x) 的图象关于点(a,b)对称推论 2、f(x)f (2a x) 2byf (x) 的图象关于点(a,b)对称推论 3、f ( x)f(2a x) 2byf (x) 的图象关于点(a,b)对称例题分析：1设 f(x) 是(, ) 上的奇函数，f(x2) f (x) ，当0 x 1时， f(x) x ，则f (47.5) 等于( )(A)0.5( B) 0.5(C)1.5( D) 1.52、(山东)已知定义在 R 上的奇函数f (x)满足 f (x 2)f(x)，则 f (6) 的值为( )A 1B0C1D2R上的奇函数，1) f (x 6), 求 f (10).f (1)2, f (x3设 f(x) 是定义在5已知 f(x) 是定义在 R上的奇函数，且它的图像关于直线 x 1对称。(1) 求 f(0) 的值；(2)证明 f(x) 是周期函数；(3)若 f (x) x(0 x 1)，求x R时，函数 f ( x)的解析式，并画出满足条件的函数 f (x) 至少一个周期的图象。6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2) f(x)当 x0,2时， f(x) 2xx2.(1)求证： f(x)是周期函数； (2)当 x 2,4时，求 f(x)的解析式巩固练习：1函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x0,2时， f(x)x1，则不等式 xf(x)>0 在1,3上 的解集为 ( )A(1,3) B(1,1) C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)2设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x R 恒有 f(x1) f(x1)，已知当 x 10,1时，f(x) 21 1 x，则： 2是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1,2)上递减，在 (2,3)上递增； 1函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；当 x(3,4)时， f(x) 21 x3. 其中所有正确命题的序号是 1 3设定义在 R 上的奇函数 yf(x)，满足对任意 tR，都有 f(t)f(1t)，且 x 0， 2 时， f(x)x2，则 f(3)f 23 的值等于 ()A 12 B 13C 14 D154若偶函数 y f(x)为 R 上的周期为 6 的周期函数，且满足 f(x)(x1)(xa)(3x3)， 则 f( 6)等于 ax 1 15、(1) f(x)x 关于点( ，)对称： f(x) f (1 x) ;ax a 2 2412) f (x)x 1 2x 1关于( 0，1)对称： f(x) f ( x) 3)若 f(x) f(2a x), 设 f(x) 0有n个不同的实数根，则x1 x2xn 6设 f(x)是(， )上的奇函数， f(x2)f(x)，当 0x1 时，f(x)x.(1)求 f(3)的值； (2)当 4 x 4时，求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积7设 f (x) 是定义在 () 上以 2 为周期的周期函数， 且 f (x) 是偶函数，在区间 2,3 上，2f(x) 2(x 3)2 4.求 x 1,2 时， f ( x)的解析式 .8.设函数 f (x) 对任意实数 x 满足 f (2 x) f (2 x)， f (7 x) f (7 x)且f (0) 0,判断函数 f (x) 图象在区间 30,30 上与 x 轴至少有多少个交点9.已知函数 y f(x) 是定义在 R上的周期函数， 周期 T 5，函数 y f(x) ( 1 x 1) 是 奇函数 . 又知 y f (x) 在 0,1 上是一次函数，在 1,4 上是二次函数，且在 x 2 时函数取 得最小值 5.(1)证明： f (1) f (4) 0 ；( 2)求 y f (x),x 1,4 的解析式；(3)求 y f(x) 在4,9 上的解析式 .10.已知 f (x)x(2x1，( 1)判断 f (x) 的奇偶性；2)证明：f (x) 011定 义 在 1，1 上 的 函 数 yf (x) 是 减 函 数 ， 且 是 奇 函 数 ， 若f (a2 a 1) f (4a 5) 0 ，求实数 a 的范围。12(重庆文)已知定义域为R的函数 f(x)x21 b 是奇函数。2x 1 a)求 a,b的值；()若对任意的 t R，不等式 f(t2 2t) f(2t2 k) 0 恒成立， 求 k 的取值范围。复习题：3 2 11已知数列 an ，其前 n项和为 Sn，点 (n, Sn)在抛物线 y 2 x2 2x 上；各项都为正数的等比数列 bn 满足()求数列b1b3,b516 5132an ，bn 的通项公式；)记 Cnanbn ,求数列 Cn 的前 n 项和 Tn2在 ABC 中，角 A、 B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 b 中 S ABC为 ABC的面积)22 ca23 S ABC （其BC)求 sin2 cos2A ；()若 b 2， ABC的面积为 3，求 a 23某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为 1,2,3,4,5 现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X12345频率a020 45bc1)若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4的恰有 3件，等级系数为 5 的恰有 2 件，求 a ，b ， c的值；)在( 1)的条件下，将等级系数为 4的 3件日用品记为 x1， x2， x3 ，等级系数为 5的 2 件日用品记为 y1， y2 ，现从 x1， x2， x3， y1， y2 这 5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同) ，写出所有可能的结果， 并 求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率4. 如图，在三棱锥P ABC 中， PA底面 ABC ， ACBC ，H 为 PC 的中点，()求证： AHPA AC 2 ， BC1.平面 PBC ；)求经过点 PABC 的球的表面积。25.已知抛物线 x2 8(y 8)与 y 轴交点为 M ，动点 P,Q 在抛物线 uuur uuuur上滑动，且 MP MQ 0C1)求 PQ中点 R的轨迹方程 W ； (2)点 A,B,C,D 在W 上， A,D 关于 y轴对称， 过点 D作切线 l ，且 BC 与 l 平行，点 D 到AB,AC 的距离为 d1,d2，且 d1 d2 2| AD |，证明： ABC为直角三角形ln x6. 设函数 f(x) 2 . (1)求 f (x) 的极大值；x(2) 求证： 12elnn (n 1) (n 2)L 2 1 (n2 n)(2n 1)(n N * )2a ax 2tx t (3)当方程 f(x)0(a R )有唯一解时， 方程 g(x) txf (x) 20 也有2e x 唯一解，求正实数 t 的值；函数的周期性与对称性1、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 y f(x) 定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立， 则函数 y f(x) 是周期函数，且 2|a| 是它的一个周期。f(x a) f(x a) f(x a) f(x) f(x a) 1/f(x)f(x a) 1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x) 同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数， 且 T2|a b|性质 6、若函数 y f(x) 同时关于点( a， 0)与点( b，0)中心对称，则函数 f(x) 必为 周期函数，且 T2|a b|性质 7、若函数 yf(x) 既关于点( a，0)中心对称，又关于直线 xb 轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T4|a b|3. 函数 y f (x) 图象本身的对称性(自身对称) 若 f (x a) f (x b) ，则 f ( x)具有周期性；若 f (a x) f (b x)，则 f(x)具有对 称性：“ 内同表示周期性，内反表示对称性 ”。y f ( x)的图象关于点 (a b,c)对称21、 f(a x) f (b x) y f ( x)图象关于直线 x (a x) (b x) a b对称 224函数 f ( x)对于任意实数 x满足条件 f (x2)，若 f (1) 5，则 f f (5) f (x)推论 1：f (ax) f (a x)y f (x) 的图象关于直线 xa 对称推论 2、f (x)f (2a x)y f (x) 的图象关于直线 xa 对称推论 3、f ( x)f(2a x)y f(x) 的图象关于直线 xa 对称2、 f(a x) f (b x) 2c推论 1、f (ax) f (a x) 2byf (x) 的图象关于点(a,b)对称推论 2、f(x)f (2a x) 2byf (x) 的图象关于点(a,b)对称推论 3、f ( x)f(2a x) 2byf (x) 的图象关于点(a,b)对称例题分析：1设 f(x) 是(, ) 上的奇函数，f(x2)f (x) ，当 0 x 1时， f(x)f (47.5) 等于( )(A)0.5( B) 0.5(C)1.5 (D)1.52、(山东)已知定义在 R 上的奇函数f (x) 满足 f (x2)f(x)，则 f (6) 的值为(A 1B0C1D23设 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，f (1)2, f (x1)f(x6), 求 f (10).x ，则5已知 f(x) 是定义在 R上的奇函数，且它的图像关于直线 x 1对称。(1)求 f(0) 的值；(2)证明 f(x) 是周期函数；(3) 若 f (x) x(0 x 1)，求 x R时，函数 f ( x)的解析式，并画出满足条件的函数 f (x) 至少一个周期的图象。6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2) f(x)当 x0,2时， f(x) 2xx2.(1)求证： f(x)是周期函数； (2)当 x 2,4时，求 f(x)的解析式解： (1)证明： f( x 2) f(x)，f(x4) f(x2)f(x)f(x)是周期为 4 的周期函数(2)x2,4， x4，2， 4x0,2， f(4x)2(4x)(4x)2 x2 6x8.又f(4x)f(x)f(x)， f (x) x2 6x 8，即 f(x)x26x8， x2,4巩固练习：1函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x0,2时， f(x)x1，则不等式 xf(x)>0 在1,3上 的解集为 ( )A(1,3) B(1,1) C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)解析： 选 C f(x)的图像如图当 x ( 1,0)时，由 xf(x)>0 得 x ( 1,0)；当 x(0,1)时，由 xf( x)<0 得 x?；当 x(1,3)时，由 xf(x)>0 得 x(1,3) 故 x(1,0)(1,3) 2设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x R 恒有 f(x1) f(x1)，已知当 x 10,1时，f(x) 21 1 x，则： 2是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1,2)上递减，在 (2,3)上递增； 1函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；当 x(3,4)时， f(x) 2 x3. 其中所有正确命题的序号是 解析： 由已知条件： f(x 2)f(x)，则 yf(x)是以 2 为周期的周期函数，正确；1当 1 x0 时 0x1，f(x) f(x) 2 1x，函数 y f(x)的图像如图所示：当 3<x<4 时， 1<x 4<0，1f(x) f(x 4) 21 x3，因此正确，不正确 答案： 3设定义在R 上的奇函数 yf(x)，满足对任意 tR，都有 f(t)f(1t)，且 x 0， 12 时，3B114 Df(x)x2，则 f(3)f 23 的值等于 ( )A解析： 选 C 由 f(t)f(1t)得 f(1t)f(t) f(t)，所以 f(2 t) f(1t)f(t)，所以 f(x)的周期为 2.又 f(1) f(11)f(0)0，3 1 1 1 所以 f(3)f 32 f(1)f 21 0 12 2 41.4若偶函数 y f(x)为 R 上的周期为 6 的周期函数，且满足 f(x)(x1)(xa)(3x3)， 则 f( 6)等于 解析： y f( x)为偶函数，且 f(x)(x1)·(x a)(3x3)， f(x)x2 (1a)xa,1a 0.a1.f(x)(x1)(x1)(3x3)f(6)f(66)f(0) 1.a 1 15、(1) f(x)x 关于点( ，)对称： f (x) f (1 x) 1;ax a 2 24x 1(2) f (x) 4 x 11 2x 1关于( 0，1)对称： f (x) f ( x) 2(3)若 f(x) f(2a x), 设 f(x) 0有n个不同的实数根，则x1x2xnx1(2ax1)x2(2ax2)xn(2axn )na.22(当n 2k 1时，必有 x1 2a x1, x1 a)6设 f(x)是(， )上的奇函数， f(x2)f(x)，当 0x1 时，f(x)x.(1)求 f(3)的值； (2)当 4 x 4时，求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积 解： (1)由 f(x2) f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f(3)f(34) f(1) 1.即 f(1x)f(1x)故知函数 yf(x)的图像关于直线 x1 对称 又 0x 1 时， f(x) x，且 f(x)的图像关于原点成中心对称，则 1x0 时，f(x) x，则 f(x)的图像如图所示1当 4 x4 时，设 f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S 4SOAB 4× 2× 2×1 7设 f (x) 是定义在 () 上以 2 为周期的周期函数，且 f (x) 是偶函数，在区间 2,3 上，4.f(x)2(x 3)2 4.求 x 1,2 时， f (x)的解析式 .222( x 3) 2 4 2(x 3) 2 4解：当 x 3, 2 ，即 x 2,3 ，又 f (x)是以 2 为周期的周期函数，于是当x1,2 ，即 3 x42时，有f (x) f (x 4)2f(x) 2 (x 4) 3 2 42(x1)24(1 x 2).2f (x) 2(x 1)2 4(1 x2).8.设函数 f ( x)对任意实数 x满足 f (2x)f (2x)， f (7 x)f(7x)且 f (0) 0,f (x) f ( x)判断函数 f (x) 图象在区间30,30 上与 x 轴至少有多少个交点解：由题设知函数 f (x)图象关于直线 x 2和 x 7对称，又由函数的性质得f (x)是以 10为周期的函数 .在一个周期区间 0,10 上，f (0) 0, f (4) f (2 2) f(2 2) f (0) 0且f (x)不能恒为零 ,故 f (x)图象与 x轴至少有 2个交点 .而区间 30,30 有 6个周期，故在闭区间 30,30 上 f (x)图象与 x轴至少有 13个交点 . 9.已知函数 y f(x)是定义在 R上的周期函数， 周期T 5，函数 y f(x) ( 1 x 1)是 奇函数 . 又知 y f (x) 在 0,1 上是一次函数，在 1,4 上是二次函数，且在 x 2 时函数取 得最小值 5.(1)证明： f (1) f (4) 0 ；( 2)求 y f (x),x 1,4 的解析式；3)求 y f(x) 在4,9 上的解析式解 ： f(x) 是 以 5 为 周 期 的 周 期 函 数在 1,1上是奇函数， f(1)f ( 1) f (5 1) f (4) ， f(1)f (4)0.由 f (1)f(4) 0 得 a(12)2 52a(4 2)250， a 2 ， f (x)2(x 2)2 5(1x 4) . yf (x)( 1 x 1)是奇函数， f (0)0，又知 yf (x) 在 0,1 上是一次函数，可设f (x)kx(0 x 1)而 f (1)2(1 2)2 53，k3，当 0 x 1时， f (x)3x ，从而 1x 0时， f (x)f( x)3x，故1x 1 时， f(x)3x当 4x 6 时，有 1x 5 1 ， f (x)f (x5) 3(x 5)3x当 6 x9时， 1 x 54， f (x)f (x 5) 2(x5) 225 2(x7)252当 x1,4 时，由题意可设 f (x)a(x 2)0)，3x6x15.5 (a15, 47)2 5, f (x)2(x10.已知 f (x)x(2x111 12) ，(1)判断f (x) 的奇偶性；2)证明：f (x)11 、 定 义在 1，1 上 的 函 数 yf (x) 是 减函数，且是奇函数，若f (a2 a1) f (4a 5) 0 ，求实数 a 的范围。12(重庆文)2x b已知定义域为 R的函数 f(x) 2x21 ba 是奇函数。)求 a,b的值；()若对任意的 t R，不等式 f(t2 2t) f(2t2 k)0 恒成立，求 k 的取值范围。10（1） 偶函数(2)奇函数 11（1） 偶函数 12 、 1,复习题：3 2 12已知数列 an ，其前 n项和为 Sn，点 （n, Sn）在抛物线 y 2 x2 2 x上；各项都为正数的 11等比数列 bn 满足 b1b3,b5.16 32（）求数列 an ， bn的通项公式；（）记 Cn anbn ,求数列 Cn的前 n项和Tn b2 c2 a2 82在 ABC中，角 A 、 B 、 C所对的边分别是 a、b、c，且 b c a8 S ABC （其23 中S ABC为 ABC的面积）2 B C （）求 sin2cos2A ；（）若 b 2， ABC的面积为 3，求 a 23某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为 1,2,3,4,5 现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X12345频率a020 45bc1）若所抽取的 20件日用品中，等级系数为 4的恰有 3件，等级系数为 5 的恰有 2件，求a，b， c的值；）在（ 1）的条件下，将等级系数为 4的 3件日用品记为 x1， x2， x3 ，等级系数为 5的 2件日用品记为 y1， y2，现从 x1， x2，x3， y1， y2这 5件日用品中任取两件（假C定每件日用品被取出的可能性相同） ，写出所有可能的结果， 并 求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率4. 如图，在三棱锥 P ABC中， PA 底面 ABC ， AC BC， H 为 PC 的中点， PA AC 2 ， BC 1.（）求证： AH 平面 PBC ；（）求经过点 PABC 的球的表面积。25.已知抛物线 x2 8（y 8）与y轴交点为 M ，动点 P,Q在抛物线 uuur uuuur上滑动，且 MP MQ 01）求 PQ中点 R的轨迹方程 W ；（2）点A,B,C,D 在W上，A,D关于 y轴对称，过点 D作切线 l，且BC与l平行，点D到AB, AC的距离为 d1,d2，且 d1 d22 | AD |，证明： ABC为直角三角形ln x6. 设函数 f（x） 2 .（1）求 f（x） 的极大值； x（2）求证：12elnn (n 1) (n 2)L 2 1 (n2 n)(2n 1)(n N * )（3）当方程 f（x） a 0（a R ）有唯一解时， 方程 g（x） txf （x） ax 22tx t 0 也有 2e x 唯一解，求正实数 t 的值；复习题答案： 1、解：（）Q Sn32 n1n ，当n 1 时， a1 S1 222当 n 2时，Sn 132(n1)212(n321) n5n 12222anSnSn 13n 1数列 an 是首项为 2，公差为 3 的等差数列， an 3n 1又Q 各项都为正数的等比数列11bn 满足 b1b34,b5 3214b2 b1q,b1q4132，解得 b1 1,q 1 ， bn22(12)1n( )由题得 cn (3n 1)( )n2Tn 212 5 (12)2. (3n4) (21)n 1 (3n 1) (12)n112131n1 n 12Tn2 (12)2 5( )3 .2(3n4) (2)n(3n1)(2)n1 - 得12Tn(12)2141(21)3 L (21)n221 n 1(2) 21(3n 1)21 n 1(3n 1)(21)n 1n152 3 (12)n (3n 1) (12)n 1Tn3n 52n12 分2、解析：1bcsin A即3cosA 4sinA 034sin AcosA552 B C1cosA2cosA1sincos2Acos2A 2cos2 A22221641 592 6 分25252 50 ）由（）知 sin A31S ABC bcsin A3,b 2,52c25 又 a2226c2bcosA由已知得222bc cos A 832 a442522551312 分3、 .解：（ 1）由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.351分3分因为抽取的 20件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3件，所以 b= 3 =0.15 202等级系数为 5 的恰有 2 件，所以 c= 2 =0.1 4 分20从而 a=0.35-b-c=0.1所以 a=0.1 b=0.15 c=0.1 6 分( 2) 从 日 用 品 X1 , X2, X3 ,Y1 ,Y2 中 任取 两件 ，所 有可 能 结 果( X1 , X 2 ),( X1, X 3),( X1 , Y1),(X1, Y2 ),(X2, X3),( X2 , Y1 ),( X2, Y2),( X3,Y1),( X3,Y2),( Y1, Y2)共 10种， 9分设事件 A表示“从日用品 X1, X2, X3, Y1, Y2中任取两件，其等级系数相等” ，则 A包含的基本事件为 ( X1, X2),( X1, X3 ),( X1X2),( Y1, Y2)共 4个，11 分4故所求的概率 P(A)= =0.4 12 分 104、() 证明：因为 PA 底面 ABC， BC 底面 ABC，所以 PA BC ，所以 AH 平面 PBC. )12 分6分5、解：直线同理：S9( 1)显然直线 MP 的斜率存在且不为 0， MP :y kx 8 与8,8k ,k24kQ(4k8)x2 8(y 8) 联立解得：4PQ 的中点 R(4k ,4kk设为 k ，设 PQ的中点 R(x, y) 2P(8k,8k2 8)242 8)k轨迹方程： x2 4y6分(2)2x 由 y 得：4xy 2x ，设 D(x0 ,2 x40 ),C( 42 x1 , x12 x1, 4kBC1(x1 x2)41x0,2x1 x22x01B(2x0 x1,14(2x0x1)2)kAC1(x141x0)又 kAB1(x0 x1)4则 kACkAB则DAC又 d1d2 2|AD| 则DACDAB4508yABC 为直角三角形13分4k2DABd12),B(x2,x42 )则 A(4k22x0 , x402 )4d2又因为 AC又因为 AHBC ， PAI AC A， 所以 BC 平面 PAC， 平面 PAC， 所以 BC AH .因为 PA AC，H 是PC中点， 所以 AH PC ， 又因为 PC I BC C ，x 2xln x 1 2ln x6、解：(1) f (x)4 3 .由 f (x) 0得 x e,xxx(0, e)e( e, )f (x)0f(x)递增极大值递减从而 f (x)在 (0, e)单调递增 ,在 ( e, )单调递减 .f (x)极大 f ( e) 2e12)证明： Q f (x)极大 f ( e) 1 2ef (x)12eln x2x12e12ln x x2e分别令 x 1,2,3, L ,n2e(ln1 ln2 ln32eln x x222，2n12，222eln1ln n) 122 1 n(n2eln232 L2elnn1)(2n 1)62*12eln n (n 1) (n 2)L 2 1 (n2 n)(2n 1)(n N* )2elnn (n 1) (n2)L9分3)由( 1)的结论：方程 f(x)方程 g(x) txf (x)ax2 2tx t2xa0(a R ) 有唯一解2e20 有唯一解 即： x2 2tln xa12tx 0(x0) 有唯一解设 G(x) x2 2tln x 2tx 0(x 0) G (x) 2 (x2 tx t) xx2由 G (x) 0则 x2 tx t 0 设 x2 tx t 0的两根为 x1,x2 ，不妨设 x1 t t2 4t t t 2 4tQt 0x1 0 x2x1,x222G(x)在 (0, x2) 递减， (x2, ) 递增要使 G(x) x2 2tln x 2tx 0(x 0) 有唯一解，则 G(x2) 02即： x22 2tln x2 2tx2 0 即： 2ln x2 x2 1 02又 x22 tx2 t 0 由得： 2tln x2 tx2 t 0x2 1 ，又 x2是方程 x2 tx t 0 的根1 x2tt2 4t21 2 14 分