newton插值均差与差分.doc

第五章 函数近似计算(插值问题)的插值方法5.3 Newton插值/均值与差分lagrange插值多项式作为一种计算方案，公式简洁，做理论分析也方便。其缺点是，当节点改变时，公式需要重建，计算量大；如果还要根据精度要求，选取合适的节点和插值多项式的次数，则只好逐次计算出 , 等，并做误差试算，才可以做到，这当然是不理想的。为次，人们从改进插值多项式的形式入手，给出另一种风格的插值公式，这就是Newton(牛顿)插值公式。Newton插值公式通过均差和差分的记号来表达。1 均差的概念及其性质定义 5.3.1 设函数在互异节点上的值为 , ,等，定义(1) 在上的1阶均差为 (2) 在上的2阶均差为 （3）递推地，在上的阶均差为 同时规定在上的零阶均差为 性质1 阶均差可以表示成个函数值的线性组合，即(5.3.5)或记为 （5.3.5b）证明：用数学归纳法。当时由均差定义有故(5.3.5)式成立。现假设时(5.3.5)已成立，对由均差定义及归纳假设有 可知(5.3.5)成立。性质2 均差对其节点是对称的，即节点按任意顺序排列，其值不变。如这个性质称为对称性。性质3 如果是的次多项式，则其1阶均差是的次多项式，且由此递推可得阶均差为零阶均差，阶均差为零。证明：按均差定义，的1阶均差为由假设，上式等号右端分子为的次多项式，且当时为零，可知分子会有因子,它与分母同时约去，则得等号右端为次多项式。 零阶均差 1阶均差 2阶均差 3阶均差 2Newton插值公式及其余项由均差的定义可知 对上述第二式两端乘以，第三式两端乘以, 最后一式两端乘以，然后由后一式的左端代入前一式的右端(第二项)，即可得 (5.3.7) 显然，是次多项式，又有，故有，从而满足条件，这就说明是关于的次插值多项式，通常称它为Newton插值公式，为插值余项。根据插值多项式的惟一性，可知Newton插值与Lagrange插值之间有 于是就有 从而可得均差与导数之间存在关系 现在如果再 增加节点，即相当于增加插值条件 这时，只要在中增加一项即可满足条件，从而可得新的Newton插值公式Newton插值余项称为均差型余项，Lagrange插值余项称为微分型余项。3 差分的概念及其性质定义 5.3.2 设函数在等距节点 处的值，在处 的值记为,定义(1) 在的1阶向前差分 (2) 在的1阶向后差分 (3) 在的1阶中心差分 由此递推得定义在的阶向前差分 阶向后差分 阶中心差分 以及规定零阶差分上述定义中的符号，实际上起着算子的作用。此外，进一步还使用另外两个差分算子符号：(1) 位移算子 (2) 单位(或称不变)算子 于是由 ，可得 性质1 差分与函数值可互相表示。例如 (5.3.12 ) (5.3.13 ) （5.3.14 ）其中 性质 2 差分与均差可互相表示。性质3 差分与导数值也可互相表示。例如 设 ，则有 4 等距离节点的Newton插值公式(1) Newton前插公式设节点，要计算附近点的函数值,可令，于是 并注意到 ， 代入(5.3.6 )得它称为Newton前插公式，其余项公式为 (2) Newton后插公式如果要求的是在附近的值，把插值节点按次序排列，再取变换，即得Newton后插公式余项为