线性方程组的理论及应用.doc

线性方程组的理论及应用摘要：线性代数起源于研究线性方程组，试图找到一般的方法求它们的解。线性方程组的理论是线性代数的基础部分。这个理论包括三个方面：线性方程组的求解方法；线性方程组解的情况的判定；线性方程组的解的结构。线性方程组的理论无论是在线性代数里还是在数学的其他分支以及工程技术中都有着广泛的应用。因此熟练的掌握和运用线性方程组的理论是线性代数这门课程的基本要求之一。 在高等代数的研究中一般常用矩阵作为研究工具，该文系统地从多项式、矩阵、广义逆矩阵、线性空间、欧式空间等五个方面的应用，说明线性方程组理论也是研究高等代数强有力的工具。在线性空间的讨论中不但给出了替换定理的一个推广，而且应用线性方程的知识给出了线性空间中的替换定理的一个新证法，进而推出了一个新结论，并得到了一些有使用价值的应用。 关键词：线性方程组，求解方法，判定，结构，非零解，替换定理，秩 一、线性方程组的解法 解线性方程组的最基本最有效的方法是消元法。它的做法是：先把线性方程组的增广矩阵经过矩阵的初等行变变换化成阶梯形，然后去解相应的阶梯形方程组。或者把线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成行简化阶梯形，从而可立即写出方程组的解。 例1 解线性方程组： 解 把此方程组的增广矩阵经过初等行变换化成行简化阶梯形： 从而得到此方程组的一般解为： 其中x、x是自由未知量。对于方程个数与未知量个数相等的线性方程组，如果它的系数行列式不等于零，还可以用克莱姆法则求解。但是这种方法计算量很大，因此一般不用它，只是对少数字母系数的方程组采用克莱姆法则求解。二、线性方程组的情况的判定线性方程组 的解的情况只有三种可能：有唯一解；有无穷多个解；无解。判别它们的方法有： 先把线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形，相应的阶梯形方程组如果出现“0=d,其中d是非零数。”则方程解无解；否则就有解。有解时，如果阶梯形方程组的方程个数r（亦即阶梯形矩阵的非零行的个数）小于未知量的个数n，则方程组有无穷多个解；如果秩（A）=n,则有唯一解。 线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。有解时，如果秩,则有无穷多个解；如果秩，则有唯一解。 方程组个数与未知量个数相等的线性方程组如果它的系数行列式不等于零，则有唯一解。例2 线性方程组 当为何值时有解？此时有多少解？解 把方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形： 显然，当a时，方程组无解；当a时，方程组无解，此时由于阶梯形矩阵的非零行有2行，而未知量有4个，所以方程组有无穷多个解，易求出一般解为： 其中x,x是自由未知量。齐次线性方程组有无非零解的判定方法有： 把齐次线性方程的矩阵系数矩阵经过初等行变换化为阶梯形，如果阶梯形的非零行的行数r小于未知量个数n，则有非零解；如果r,则只有零解。 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量个数。 方程个数与未知量个数相等的齐次线性方程组非零解的充分必要条件是它的系数行列式等于零。 方程个数小于未知量个数的齐次线性方程组必有非零解。 三、线性方程组解的结构n元线性方程的一个解是一个n维向量，当方程组有无穷多个解时，需要研究这些解向量之间的关系，以便更透彻地把握住它们。关于齐次线性方程组的解的结构有以下结论：1. 齐次线性方程组的两个解的和还是解，一个解的倍数还是解。2. 齐次线性方程组有非零解时必定存在基础解系，并且一个基础解系里有n-r个解，其中n是未知量的个数，r是系数矩阵的秩。如果系数在数域P中的齐次线性方程组 的一个基础解系是：则的全部解为： 其中取遍数域P中全部数。 例4 求下述齐次线性方程组的一个基础解系： 解 把方程组的系数矩阵经过初等行变换化成简化阶梯形： 于是方程组的一般解为： 其中是自由未知量。 令得 令得 令得。 就是方程组的一个基础解系。一般线性方程组的解与它的导出组的解之间有密切联系。方程组的两个解的差是它的导出组的解；方程组的一个解与它的导出组的解的和是的解。由此推出，一般线性方程组的全部解为： 其中是方程组的一个特解，是它的导出组的一个基础解系，取遍数域P中全部数。 四、在多项式理论中的应用1. 在多项式整除讨论中的应用例1 若这里的为实系数多项式，求证其中证 设的5个根为其中互不相同，记。由假设可得 （2）由范德蒙行列式可知（2）的系数行列式不等于零。再由推论1得 2. 在用结式求解二元高次方程的公共解的讨论中的应用 为了推出一个解二元高次方程组的方法，我们先引入一个引理 引理 设是数域P上的两个非零的多项式，它们的系数不全为零。于是与在Px中有非常数的公因式的充分必要条件是，在PX中存在非零的次数小于m的多项式u(x)与次数小于n的多项式v(x)，使得利用这个引理及线性方程组的知识，可引入两个多项式结式的概念，从而得到定理5 设是Px中两个多项式，m,n>0,于是它们的结式的充分必要条件是与在Px中有非常数的公因式或者它们的第一个系数为全零。由定理5，利用结式，进行消元，可得出一种求二元高次方程公共解的方法。（详见文献2） 五、 在矩阵中的应用1.运用齐次线性方程组理论证明矩阵秩的有关结论例2 证明证 设考虑齐次线性方程组： 与 显然的解为的解，因此即。同理，即结论成立，得证。例3 设为实矩阵，为任意复数，则可逆的充分条件是可逆。证 可以只证充分性。设上式两边左乘B有 ，由于有。当然即因此。由此我们可以得到在证明一些矩阵秩的问题上可以通过建立与矩阵对应的齐次线性方程组，再依据齐次线性方程组理论得出关于解向量的式子，从而证明矩阵秩的问题。对于矩阵问题的证明齐次线性方程组理论是一个有力的手段。 2.在广义逆矩阵中的应用这里先给出广义逆矩阵的一个定义。定义 设A为矩阵，如果矩阵G满足：AGA=A，则称G为A的一个广义逆矩阵。下面再引入一个重要的定理及其推论定理6 A为矩阵，G为任意给定的广义逆矩阵，则齐次线性方程组的全部解为这里Z取遍任意n维列向量。推论 设G是A的一个广义逆，有解，则其全部解为由此我们可以知道对于矩阵的解，也是须求出全部从而得出的全部解为。例6 设求解。解 由题知其中P,Q分别为可逆阵，且 所以 故有即的解为。 因此的解为。 由此可知，对于求解类的方程，不仅限于求解当A为方阵时的情况，我们可以通过引入广义逆矩阵来求解当A不是方阵的情况，从而拓宽了求解的限制条件。六、在线性空间中、在欧式空间上的应用1. 在线性相关、线性无关的判定方面的应用 例7 设n阶矩阵A的n个列向量，其中试问，当秩时，向量组的线性相关性解 设则有其中，且即有 又由有所以当n为偶数时，因，有非零解，即有非零解即是说，向量组线性相关。当n为奇数时，因故只有非零解，即只有非零解即是说，向量组线性无关。例8 设V是实数域R上所有实函数构成的线性空间，讨论V中函数组的线性相关性。解 设实数使得法一 式对t求1阶和2阶导数，并与原式联立得 该齐次线性方程组的系数行列式为 恒不为0.故齐次线性方程组只有零解，从而线性无关。法二 在式中分别取t=0,t=1和t=2得 该齐次线性方程组的系数行列式为 故齐次线性方程组只有零解，从而线性无关。由此可以看到：对于法一，若讨论函数组的线性相关性，可对诸函数分别求1阶，2阶，s-1阶导数（要求对t有s-1阶导数），若行列式 恒不为0，则线性无关。若则线性相关。2.在欧式空间上的应用例9 在中按通常内积定义求一单位向量与三个向量正交。解 一个向量同三个向量正交的充分必要条件是是方程组 的非零解，易知此方程组系数矩阵的秩是3。令得一解向量就是所求的单位向量。例10 设是n维欧式空间V中的一组向量，而 证明 当且仅当时，线性无关。故当且仅当时，线性无关。 结语在高等代数的研究中一般常用矩阵作为研究工具。本文从多项式、矩阵、广义逆矩阵、向量空间、欧式空间五个方面的应用说明线性方程组理论是研究高等代数的强有力的工具。实际上，线性方程组的知识在数学的许多分支及其它许多学科上都有广泛的应用。我们必须认识到这一点，而且要灵活的加以利用。参考文献1 杨成.线性方程组理论的妙用J.中国民航飞行学院学报.2000.1：45-47.2 徐德余.高等代数（第二版）M.成都.四川大学出版社.2005：175-178.3 徐德余.替换定理的两个证明J.绵阳师范学院报，2004.4（2）：15-16.4 钱吉林.高等代数题解精粹M.北京.中央民族大学出版社。2002：68-92.5 徐仲.高等代数（北大.第三版）导教 导学 导考M.西安：西北工业大学出版社，2004.3：336-337.6 刘子酉.高等代数习题精解M.合肥：中国科学技术大学出版社.2004.7 杨子胥.高等代数习题解（上册，修订版）M.济南.山东科学技术出版社，2001.8 杨子胥.高等代数习题解（下册，修订版）M.济南.山东科学技术出版社，2001:397-413.9 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（三版）M.北京：高等教育出版社，2003：148-154.10 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组。高等代数（二版）M.北京：高等教育出版社.1978：197-202.11 同济大学应用数学系。线性代数M.北京：高等教育出版社，2003.12 丘维声.高等代数学习指导书M.北京：清华大学出版社.