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线性系统状态反馈区域极点配置算法研究 摘 要20世纪50年代后期，控制理论由经典控制理论向现代控制理论转变，现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。与经典控制理论一样，现代控制系统中仍然主要采用反馈控制结构，但不同的是，经典控制理论中主要采用输出反馈，而现代控制系统中主要采用内部状态反馈。状态反馈可以为系统控制提供更多的信息反馈，从而实现更优的控制。闭环系统极点的分布情况决定于系统的稳定性和动态品质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系统的极点所应具备的分布情况，把极点的配置作为系统的动态品质指标。这种把极点配置在某位置的过程称为极点配置。在空间状态法中，一般采用反馈系统状态变量或输出变量的方法，来实现系统的极点配置。本论文对线性系统的状态反馈区域极点配置的算法进行了研究，分别以具有稳定裕度和具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计为例，利用线性矩阵不等式LMI处理方法，编写系统的MATLAB仿真程序。最后以同样的方法对不确定系统状态反馈区域极点配置进行了研究，结果证明了设计方法的正确性和有效性。关键词：线性系统；状态反馈；极点配置；线性矩阵不等式；不确定系统Algorithmic Research for Regional PoleAssignment of Linear System Via State Feedback Controllers ABSTRACT In the late 1950s, control theory later by classical control theory to modern control theory shift, modern control theory is introducing state and state space concept developed on the basis of. As with classical control theory, modern control system still mainly uses the feedback control structure, but different is, classical control theory mainly uses the output feedback, and modern control system mainly uses the internal state feedback. State feedback control for system provide more information feedback, so as to achieve better control.The distribution of closed-loop system poles depends on system stability and dynamic quality, therefore, can according to the system dynamic quality request, provisions that poles of close-loop system should have the distribution of the pole, configuration of the system dynamic quality indicators. The position of the poles in the process called poles. In space, the general state method in the feedback system state variables or output variable method to achieve system poles. This thesis studied the algorithm of linear system state feedback regional poles, and respectively by the state feedback controller design of stability margin ofand has round domain constraints as examples, by using the linear matrix inequality LMI treatment methods, writing MATLAB simulation program of system. Finally in the same way the uncertain system state feedback regional poles are studied, and the result shows the design method is correct and effective.Key words：Linear system；State feedback；Pole placement；LMI；Uncertain system 目 录摘要.ABSTRACT.1 绪 论11.1 课题背景及意义11.2 极点配置简介11.3 本论文研究的主要工作22 理论基础及数学准备32.1 区域极点配置问题32.2 状态反馈42.3 线性矩阵不等式LMI62.3.1 线性矩阵不等式LMI基本变换引理72.3.2 LMI工具箱介绍82.4 本章小结103 线性定常系统状态反馈区域极点配置算法研究113.1 精确极点配置113.1.1 问题描述113.1.2 算法步骤123.1.3 仿真分析123.2 具有稳定裕度的区域极点配置153.2.1 问题描述163.2.2具有稳定裕度的状态反馈控制器设计163.2.3程序清单173.2.4仿真结果183.3具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计213.3.1 问题描述213.3.2具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计213.3.3 程序清单223.3.4仿真结果233.4 本章小结264 线性不确定系统状态反馈区域极点配置算法研究274.1 不确定性274.2线性不确定系统区域极点配置274.2.1 问题描述274.2.2 不确定系统区域极点约束的状态反馈控制器设计284.2.3 仿真分析304.3 本章小结32结 论33致 谢34参考文献351 绪 论1.1 课题背景及意义在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的，其研究问题的方法主要有时域状态空间分析法，线性二次型最优状态调节器法（Linear Quadratic Regulator，简记为LQR），状态观测器控制法，李雅普诺夫（Laypunov）稳定性分析法以及极点配置法等1-2。近年来，随着科学技术的日新月异和工业生产的高速发展，使得工程界对控制的要求也日益提高，由此极大地推动了现代控制理论的发展和完善。 在控制理论与实践中的一个基本要求是设计反馈控制律，将闭环系统的极点配置在指定的位置上，从而保证闭环系统具有所要求的动态和稳态特性。由于模型的不确定因素和各种扰动的存在，使得精确极点配置的控制方式不可能得到真正的实现。实际设计中只要将闭环系统的极点配置在指定的区域内，就可以使系统获得满意的性能。近年来，对D稳定理论的研究十分活跃，利用这一理论研究区域极点配置问题已取得一些成果，包括最优控制、鲁棒性、性能、性能等方面3。在对系统的分析和设计中，首先要考虑的是系统的稳定性问题，而线性系统的稳定性与其极点的位置紧密相关，因此极点配置问题在系统设计中是很重要的。为此，需要根据分析和设计的目的，将系统极点配置在指定区域内或指定某个位置。这里需要解决两个问题：一个是建立极点配置的条件，也就是给出受控系统可以利用状态反馈而任意地配置其闭环极点所应遵循的条件；另一个是确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。1.2 极点配置简介所谓极点配置问题，就是通过反馈矩阵的选择，使闭环系统的极点，即闭环特征方程的特征值恰好处于所希望的一组极点位置上或者是某个区域内。由于希望的极点具有一定的任意性，因此极点的配置也具有一定的任意性。对于线性系统而言，其稳定性取决于状态的零输入响应，因而取决于系统极点的分布，当极点的实部小于零时，系统是稳定的；当极点分布在虚轴上时，系统是临界稳定的；当极点的实部大于零时，系统是不稳定的。同时，系统动态响应的基本特性也依赖于极点的分布，若系统极点是负实数，则系统动态响应时非周期的，按指数规律衰减，衰减的快慢取决于极点的分布；若系统极点是具有负实部的共轭复数，则其动态响应是衰减振荡的，振荡的频率取决于极点的虚部，而振幅衰减的快慢由极点的实部决定。因此将系统极点配置在指定位置（这主要由综合问题中更为直观的性能指标，例如时域形式的过渡过程时间、超调量等和频域形式的增益稳定域度、相位稳定域度等，通过转换和经验估计，而具体地加以给出的），可以使系统满足性能指标的要求，从而改善系统的基本特性，具有实际的理论意义。在现代控制理论中，以状态空间描述和状态空间方法为基础，引入反馈和补偿器将闭环系统的极点配置在指定位置。显然，解决极点配置问题必须给出可配置条件和相应的配置方法。由于在控制理论中，主要的反馈形式有状态反馈和输出反馈两种。传统的输出反馈方法虽然也能改变系统极点的位置，但有很大的局限性，而采用状态反馈方法可以实现极点的任意配置。下面重点对状态反馈形式的极点配置问题行讨论。状态反馈是控制理论中最基本的反馈形式之一。状态反馈就是采用线性系统的状态变量构成反馈律，进而改变系统矩阵，因此状态反馈具有改变系统结构属性和实现性能指标的功能。首先，状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。其次，由于状态反馈是系统结构信息的一种完全的反馈，因此状态反馈系统可以获得良好的动态性能。最后，当系统状态完全可测时，状态反馈控制器更易于实现。下面我们给出线性定常系统极点的可配置条件：线性定常系统可以通过状态反馈任意配置其全部极点的充分必要条件是此系统完全能控。对于单输入单输出线性定常系统，可以直接通过系统的特征多项式求出状态反馈增益矩阵。1.3 本论文研究的主要工作本论文是对线性系统状态反馈区域极点配置算法的研究。其中，第一章简单介绍了该课题的背景，使读者对极点配置有了基本的理解；第二章主要介绍了线性系统状态反馈区域极点配置的基本理论概念和线性矩阵不等式LMI的相关内容；第三章对精确极点配置进行了分析，重点是对区域极点配置的分析与研究；第四章研究对不确定系统的极点配置问题及不确定系统区域极点约束的状态反馈控制器设计。 2 理论基础及数学准备2.1 区域极点配置问题 在控制理论与实践中的一个基本问题是设计反馈控制率，将闭环系统的极点配置在所期望的位置上，以保证闭环系统具有所要求的动态和稳态性能。在最初的极点配置问题研究中，考虑的是精确的极点配置问题，即将闭环极点配置在复平面中事先给定的位置。然而，由于模型的不精确性和各种扰动的存在，使得这样一种精确极点配置的控制方式不可能得到真正的实现。区域极点配置是指将一个线性系统的所有极点配置在一个指定的区域内。对于连续系统，指定的区域在左半开复平面；对于离散系统，指定的区域在以原点为圆心的单位圆内。如果记这个指定区域为D，则区域极点配置称为D极点配置。下面介绍将系统极点配置在左半开复平面某一区域内的主要目的。线性系统的瞬时响应与它的极点位置紧密相关，只要将闭环系统的极点配置在复平面上一个适当区域内，就能保证系统具有一定的动态和稳态特性。以二阶系统为例，设极点为： 其阶跃响应可由无阻尼自然频率（或无阻尼振荡频率），阻尼比（或相对阻尼系数）和阻尼自然频率完全决定。如果将配置在一个适当的区域内，则可保证，和满足一些给定的界，从而保证系统具有所期望的过渡过程特性。对于要达到的控制目的，一个有意义的区域是图2-1中： 将闭环极点限定在这个区域内，可保证系统具有最小衰减度，最小阻尼比和最大阻尼自然频率，这将进一步保证系统的最大超调、振荡模频率、衰减时间、上升时间、调节时间等过渡过程指标不超过由，和确定的。 图2-1 区域 2.2 状态反馈在经典控制理论中，利用系统输出进行反馈，构成输出负反馈系统，可以得到较为满意的系统性能；减小干扰对系统的影响；减小被控对象参数变化对系统性能的影响。因此输出反馈得到了广泛的应用，在现代控制理论中，为了达到希望的控制要求，也采用反馈控制方法来构成反馈系统，多数控制系统都采用基于反馈控制构成的闭环系统。反馈系统的特点是对内部参数变化和外部环境影响具有良好的抑制作用。反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。状态反馈是以系统状态为反馈变量的一类反馈形式。状态反馈不增加系统新的状态变量，对系统输入矩阵无影响，状态反馈不改变系统的能控性。下面针对连续时间线性定常系统，就状态反馈的相关问题进行简单的讨论。（1） 状态反馈的构成 对连续时间线性定常受控系统，状态反馈的构成可用图2-2所示的方块图表示，其中，状态x通过反馈矩阵K被回馈到系统输入端，v为系统参考输入。考虑到反馈矩阵K为常数阵而非动态系统，更确切地应称这类状态反馈为静态状态反馈。 图2-2 状态反馈结构图（2）状态反馈系统的描述考虑连续时间线性定常受控系统，状态空间描述为： ：， （2.1） 其中，x为n维状态，u为p维输入，y为q维输出，A，B和C为相应维数的常数阵。由图2-2可知，状态反馈下受控系统的输入为： （2.2）其中，K为反馈矩阵，v为p维参考输入。将式（2.2）带入（2.1），通过简单推导，可以导出线性定常状态反馈系统的状态空间描述为： ：， （2.3） 上式表明，引入状态反馈的结果是使系统矩阵变为。在系统综合中，不同的期望性能指标归结为综合不同的反馈矩阵K。进而，由式（2.3）并利用传递函数矩阵基本关系式，可以得到线性定常状态反馈系统的传递函数矩阵为： （3）状态反馈系统的结构特性对于线性定常状态反馈系统，结构特性可由其系统矩阵的特征值表征，有 特征值，i=1,2,.,n其中，表示相应矩阵的特征值。系统综合实质上就是通过引入适当状态反馈矩阵K使闭环系统特征值位于复平面上期望位置。 对于连续时间线性定常系统，状态反馈保持能控性，但是不一定保持能观测性。状态反馈为系统结构信息的完全反馈，在物理上是不能构成的。2.3 线性矩阵不等式LMI线性矩阵不等式LMI（Linear Matrix Inequality）的研究最早可以追溯到1892年。李亚普诺夫矩阵不等式实际上就是一个线性矩阵不等式LMI，任意给定一个对称正定矩阵P，求解李亚普诺夫方程，即可得到不等式的一个可行解4。控制中的很多问题，由于复杂性的增加而不可能直接给出问题求解的解析表达式，但却可以将问题转化为线性矩阵不等式求解。因此，线性矩阵不等式的求解在控制系统的分析、设计中的地位是举足轻重的。1995年，MathWorks公司在其软件MATLAB中推出了求解线性矩阵不等式问题的LMI工具箱，从而使得人们能够更加方便和有效地处理和求解线性矩阵不等式，进一步推动了LMI方法在系统和控制领域中的应用。到目前为止，LMI在控制中应用主要具有以下特点。一是通用性，即一类系统分析与综合的问题可以通过LMI的形式来解决，并且可以方便的添加约束条件；二是可解性，虽然我们通常不能找找一个系统或控制问题的解析解，但是如果要计算的问题具有凸函数的形式，可以得到有效的解决，大量的系统分析与综合问题都可以用LMI的形式表示，根据有界实引理，最终转化为可解的凸问题。基于这两点，用LMI求解鲁棒性问题已发展成比较成熟的技术。LMI方法以其高效的求解算法和能获得全局最优解的特点，已引起控制界的关注，成为鲁棒控制分析与设计的重要方法。 在控制工程中，许多控制问题尤其是鲁棒控制问题，都可转化成一种称为线性矩阵不等式或带有线性矩阵不等式限制条件的最优化问题的求解。线性矩阵不等式一般形式如下： （2.4） 其中是变量，i=0，1，.m，是已知的实对称阵。 实际应用时，通常遇到的LMI并不呈现式（2.4）的形式，其中变量不是向量而是一个（或多个）实矩阵，但它可以等价地转化成式（2.4）形式。线性矩阵不等式的求解一般可归结为下列三类问题：一、 可行性问题 求使得 （2.5）二、 具有线性矩阵不等式限制条件的线性规划问题 满足于 （2.6）三、 具有线性矩阵不等式限制条件的广义特征值最小化问题 满足于 （2.7） 在控制理论中，大多数控制问题都可以转化成上述三种矩阵不等式问题中一种。2.3.1 线性矩阵不等式LMI基本变换引理在许多系统与控制问题中，我们需要将一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式，这时常常用到矩阵的Schur补性质。考虑对称矩阵，且 （2.8）假定非奇异，则称为S11在S中的Schur补。以下引理给出了矩阵的Schur补性质。 引理2.1：（Schur Complement） 对于给定的对称矩阵，以下三个条件等价：（1）（2） （3） 在一些控制问题中，经常遇到二次矩阵不等式： （2.9）其中，A，B，是给定的适当维数的常数矩阵，是对称矩阵变量，则应用引理2.1上述矩阵不等式的可行性问题可以转化为一个等价的矩阵不等式 （2.10）的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量的线性矩阵不等式。该引理用于矩阵不等式的等价变换。2.3.2 LMI工具箱介绍 在 60 年代，已经提出了线性矩阵不等式，但由于求解形如式（2.5）（2.7）所描述的线性矩阵不等式的算法还不够成熟。再加上求解量大，因而线性矩阵不等式在实际中未得到充分应用。近几年来，由于线性矩阵不等式的理论不断完善，求解算法也不断成熟，加上计算机的广泛应用，线性矩阵不等式的求解变得很方便，因此线性矩阵不等式在实际工程中尤其在控制工程理论中得到广泛的应用。线性矩阵不等式（LMI）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。由于其面向结构的线性矩阵不等式方式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。 由于用线性矩阵不等式求解控制理论中的问题是当今控制理论发展的一个重要方向，因此出现了许多计算机应用软件，其中以美国MathsWorks Inc公司用C语言开发的MATLAB软件最为流行；到目前为止，已相继推出了几个版本，其中在MATLAB5.3、MATLAB6.0、MATLAB7.0 等版本中，增加了用于求解线性矩阵不等式的线性矩阵不等式控制工具箱。线性矩阵不等式工具箱提供了在鲁棒控制设计中所遇到的最优化问题的解，同时给出了一个用于求解线性矩阵不等式的集成环境。由于这个工具箱功能强大和友好的用户界面，因此可以开发自己的应用程序。LMI工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用于：（1）以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式；（2）获取关于现有的线性矩阵不等式系统；（3）修改现有的线性矩阵不等式系统；（4）求解三个一般的线性矩阵不等式问题；（5）验证结果。下面我们介绍LMI工具箱中的几个重要函数：（1）setlmis（ ）：初始化的LMI系统。（2）lmivar（type，struct）：增加新的矩阵变量X到当前的LMI系统中。其中，type (类型）：根据变量X的不同类型设置（13），1表示矩阵变量X为对称块对角阵，2表示矩阵变量X为满秩阵，3表示矩阵变量X为其它；struct（结构）：若type=1,则struct的第i行描述X的第i个块对角阵，其中struct（i，1）代表块的大小，struct（i，2）代表块的性质，如果是尺度块t*I，则struct（i，2）取0，如果是满块，则取1，如果是0块，则取-1。若type=2，假如X是矩阵，则struct=M，N。若type=3,则struct是一个与X同维的矩阵，其中，struct（i，j）取值为：当X（i，j）=0，struct（i，j）=0，当X（i，j）为第n个待求变量时，struct（i，j）=+n，当X（i，j）为第n个待求变量乘上（-1）时，struct（i，j）=-n。（3）lmiterm（termID，A，B，flag）：给定前描述的LMI系统中的某个LMI增加一项。其中，termID为4输入向量，用来指定项的位置和性质。对于termID（1）：若该项位于第n个LMI的左边，则termID（1）=+n，若该项位于第n个LMI的右边，则termID（1）=-n。对于termID（2：3）：若该项属于LMI的第（i，j）块，则termID（2：3）=i，j，若该项属于外部因子，则termID（2：3）=0 0。对于termID（4）：若该项属于常数项，则termID（4）=0，若该项属于变量项，则termID（4）=m，若该项属于变量项：termID（4）=-m，其中，m为由函数lmivar返回的变量X的标识。A可以是外部因子，常数项或者变量项或的左系数，B是变量项或的右系数。flag：设置flag='s'，在一个lmiterm函数内快捷定义表达式。（4）LMIs=getlmis：如果系统已经用lmivar和lmiterm进行了完整描述，则返回这个LMI系统的内部描述LMIs。内部描述LMIs能够直接传递到求解工具或者其它LMI-Lab函数中去。（5），xfeas=feasp（LMIs，options，target）：求解LMI系统定义的线性矩阵不等式约束条件问题的可行解。如果问题是可解的，则输出xfeas将是待求向量的可行值。给定的可解性问题，解决凸优化过程：对：求：minimize t如果LMI系统可解，则极小化值将是负的。feasp在每次迭代过程中给出t的当前最佳值。LMIs：LMI约束的描述；options（选择项）：控制参数的5输入向量。Target（选择项）：的目标值（缺省值=100）。一旦<Target，则代码终止。：终止时的。而且仅当LMI系统是可解的，。xfeas：相应的极小化值，如果，xfeas将是LMI约束的一个可行向量。使用dec2mat可以从xfeas取出相应的矩阵变量的值.（6）copt，xopt=mincx（LMIs，c，options，xinit，Target）：针对约束，极小化。其中，X是待求变量。LMIs：LMI约束的系统描述；c：与X同维的向量；options（选择项）：控制参数的5输入向量；xinit（选择项）：X的初始值。Target（选择项）：目标值，一旦可行的X找到，即：<Target，中断迭代；copt：目标的极小化值；xopt：待求变量X的极小化值。使用dec2mat可以从xopt取出相应的矩阵变量的值。（7），xopt=gevp（LMIs，nlfc，options，target）：求解广义特征值最小化问题。对LMI约束，以及 （j=1,.,nlfc），求minimize t。这里x表示待求变量。正定约束必须很好限定，涉及t的LMIs必须最后限定。LMIs：LMI约束的系统描述；nlfc：涉及t的LMIs的数目；options（选择项）：控制参数的5输入向量；，（选择项）：t，x的初始值；target（选择项）：的目标值，只要t小于这个值，则代码终止；：t的最小值；xopt：待求变量x的极小化值。使用dec2mat可以从xopt取出相应的矩阵变量的值。2.4 本章小结本章通过线性矩阵不等式算法（LMI）、基础和工具箱三方面，对LMI的一般形式、可解决问题的分类以及应运软件等方面内容进行了分析。线性矩阵不等式做为有效解决系统的鲁棒控制问题及其控制理论中引起的其它控制问题的方法，在当今社会的各个领域都得到了广泛的应用，随着各行业的飞速发展，理论的进一步完善，LMI应用的普遍性亦可得到证实。3 线性定常系统状态反馈区域极点配置算法研究3.1 精确极点配置对于线性系统而言，其稳定性取决于状态的零输入响应，因而取决于系统极点的分布，当极点的实部小于零时，系统是稳定的；当极点分布在虚轴上时，系统是临界稳定的；当几点的实部大于零时，系统是不稳定的。同时，系统动态响应的基本特性也依赖于极点的分布，若系统极点是负实数，则系统动态响应时非周期的，按指数规律衰减，衰减的快慢取决于极点的分布；若系统极点是具有负实部的共轭复数，则其动态响应是衰减振荡的，振荡的频率取决于极点的虚部，而振幅衰减的快慢由极点的实部决定。因此将系统极点配置在指定位置，可以使系统满足性能指标的要求，从而改善系统的基本特性，具有实际的理论意义。 3.1.1 问题描述 在极点配置方法中为使全部的闭环极点位于期望的位置上，需要反馈全部的状态变量。但在实际系统中，不可能测量到全部的状态变量，为了实现状态反馈，利用状态观测器对位置的状态变量进行估计是十分必要的。给定线性定常系统为： （3.1） 选取 （3.2）式中，X为n维状态向量；u为p维状态向量；A和B为相应维数的常数阵。若给定n个反馈性能的期望闭环极点为 （3.3）则极点配置的设计问题就是确定一个状态反馈增益矩阵K，使状态反馈闭环系统 （3.4）的极点为，即 （3.5）其中，表示的特征值。3.1.2 算法步骤 当系统状态完全可控时，可以通过状态反馈将系统的极点配置到复平面的任何位置。极点配置有两种方法：第一种方法是采用变换矩阵T，使系统具有期望的极点，从而求出矩阵K；第二种方法基于Caylay-Hamilton理论，通过矩阵特征多项式，求出K（称为Ackermann公式）5。（1） 矩阵变换法极点配置步骤：第1步 检查系统的可控性，当时系统可控（在MATLAB中可以用 实现），其中cam为可控性矩阵；第2步 确定系统矩阵A的特征多项式系数：（在MATLAB中可用poly函数实现）；第3步 确定变换矩阵T：（在MATLAB中hankd（）函数用于计算）；第4步 确定期望特征多项式系： 第5步 求增益矩阵K： 。（2） Ackermann公式极点配置步骤：第1步 检查系统的可控性，当；第2步 确定系数；第3步 求；第4步 求增益矩阵K：。3.1.3 仿真分析MATLAB控制系统工具箱提供了进行极点配置的函数acker（）和place（），它们的调用格式如下：K=acker（A，B，P）K=place（A，B，P）其中，K为状态反馈矩阵，P为希望配置的极点位置，acker函数用于SISO系统的极点配置设计，place函数用于MIMO系统的极点配置设计。 对于已知系统（3.1）假设其参数分别为： ，。希望的闭环极点为，试设计状态反馈矩阵K，并计算当系统初始条件为时的响应。用MATLAB控制系统工具箱提供的place函数和acker函数进行极点配置设计的程序如下：clear all;close all;A=0,1,0;0,0,1;0,-2,-3 ; B=0;0;1;if rank(ctrb(A,B)=3 P=-2+j*sqrt(3),-2-+j*sqrt(3),-10;K=acker(A,B,P); sys_new=ss(A-B*K,B,eye(3),zeros(3,1)t=0:0.1:5;y=initial(sys_new,1;0;0,t); figure(1)plot(t,y(:,1);gridxlabel('t');ylabel('x1');title('initial response');figure(2)plot(t,y(:,2);gridxlabel('t');ylabel('x2');title('initial response');figure(3) plot(t,y(:,3);gridxlabel('t');ylabel('x3');title('initial response');grid else message('This system not controllable,can not pole allocation')end运行结果如下：状态反馈矩阵 K=70 45 11对应的控制律为 各状态下系统的零输入响应曲线如下图3-1（a，b，c）所示。 图3-1（a）变量下系统的零输入响应曲线 图3-1（b）变量下系统的零输入响应曲线 图3-1（c）变量下系统的零输入响应曲线 图3-1 各状态下系统的零输入响应曲线3.2 具有稳定裕度的区域极点配置在对系统的分析和设计中，首先要考虑的是系统的稳定性问题，而线性系统的稳定性与其极点的位置紧密相关。在综合考虑系统的各种性能时，如果系统极点配置在指定位置，则不能满足系统综合的要求，将系统极点配置在指定区域内。因此，D极点配置问题是一个具有实际意义和吸引力的研究领域6。事实上，只要将闭环系统的极点配置在复平面上的一个适当的区域中，就可以保证系统具有一定的动态和稳态特性。对控制系统的设计，一些感兴趣的区域有:保证状态响应具有衰减度的半平面（）、垂直条状区域、圆盘、扇形区域等。Gutman和Jury（1981）针对一类相当一般的区域和一个给定的正方矩阵，用含有一个矩阵变量的矩阵方程的可行性给出了该矩阵的所有特征值均在所考虑的区域中的充分必要条件。下面介绍一类可以用一个线性矩阵不等式刻画的区域，称为LMI区域。可以证明，一个矩阵的特征值均在这样一个LMI区域中的充分必要条件是一个适当的线性矩阵不等式是可行的，从而可以借助求解线性矩阵不等式的有效方法来方便地求解系统极点的分析和区域极点配置问题。3.2.1 问题描述 对于已知系统（3.1）假设其参数分别为： ，。希望闭环极点均配置在s=-1线的左侧，试设计状态反馈矩阵K，当系统初始条件为时，画出其零输入响应曲线及系统的极点分布图。3.2.2具有稳定裕度的状态反馈控制器设计 具有稳定裕度的控制系统满意控制，即期望设计这样一个控制器，使其闭环系统的极点均位于s平面的s线左侧，其中，这样的控制策略被称之为稳定裕度设计。 引理3.1：矩阵A的所有特征值均在区域中的充分必要条件是存在一个对称正定矩阵 使得下式成立： （3.6）对于系统（3.1），我们希望寻求一个状态反馈控制 （3.7） 将闭环系统的极点配置在区域内，由引理3.1不难得出如下推论： 推论3.1：系统（3.1）在状态反馈（3.7）控制下，其闭环系统所有极点在复平面区域内，当且仅当以下LMI： （3.8）有矩阵解和Q。其中，K为状态反馈增益矩阵。 证明：将式（3.6）中的矩阵A替换成得 整理得 令，则上式为：故推论3.1成立。下面给出线性定常系统区域极点配置的算法步骤：（1）根据对系统性能的要求，选取适当的参数，即确定区域；（2）应用MATLAB工具箱求解推论3.1中的线性矩阵不等式（3.8），得到X和Q；（3