考察非线性方程求根的试位法.doc
数值分析课程设计 题 目 考察非线性方程求根的试位法 学 生 指导教师 课 程 设 计 任 务 书 数理 系 数学0701 班 学生 王宇 秦海霞 朴日华 课程设计课题： 考察非线性方程求根的试位法一、课程设计工作日自 2009 年 6 月 22 日至 2009 年 6 月 28 日二、同组学生： 王宇 秦海霞 朴日华 三、课程设计任务要求（包括课题来源、类型、目的和意义、基本要求、完成时间、主要参考资料等）：【来源与意义】本课题来源于教材第七章非线性方程求根，目的是通过实例，考察非线性方程求根的试位法及其收敛速度。另一方面重在考查学生对用计算机与Matlab解决实际问题的能力。【基本要求】要求自编程序；掌握编程思想，学会一门编程语言；报告要有较强的理论分析；有较强说服力的数据表或图像；对结果进行分析；给出相应结论；鼓励创新；【参考资料】1. 数值分析，李庆扬，王能超，易大义，2001，清华大学出版社（第四版）。2. 数值方法，关治，陆金甫，2006，清华大学出版社。3. 数值分析与实验学习指导，蔡大用，2001，清华大学出版社。4. 数值分析与实验，薛毅，2005，北京工业大学出版社.指导教师签字： 教研室主任签字： 天津工程师范学院课 程 设 计 评 审 表 数理 系 数学0701 班 学生 王宇 秦海霞 朴日华 设计任务完成情况及指导教师评语答辩情况评定成绩成绩： 指导教师签字： 日期： 教研室主任： 主任签字： 日期： 日期： 一、问题提出 讨论单变量非线性方程 (1.1)的求根问题,这里. 在科学与工程计算中有大量方程求根问题,其中一类特殊的问题是多项式方程 (1.2) 其中系数为实数. 当为代数多项式 (1.2) 时,根据代数基本定理可知, 次方程在复数域有且只有 个根(含复根,重根为个根)，=1,2 时方程的根是大家熟悉的, 时虽有求根公式但比较复杂,可在数学手册中查到,但已不适合于数值计算,而 时就不能用公式表示方程的根.因此，通常对 的多项式方程求根与一般连续函数方程（1.1）一样都采用迭代法求根。这里介绍试位法，并应用此方法求解下述问题：一个半径为，密度为的木质球体投入水中，问球浸入水中部分的深度等于多少？，使用二分法求解，使得误差小于，要求有数据表，与二分法比较收敛速度。【要求】自编程序，报告有数据表、分析、结论。二、理论基础若且，根据连续函数性质可知在内至少有一个实根，这时称为方程（1.1）的有根区间。试位法对有根区间进行考察，连接，两点，与x轴交于,假设不是的零点，然后进行根的搜索，即检查与是否同号，如果确系同号，说明所求的根在的右侧，这时令；否则必在的左侧，这时令，以下以在的左侧为例对试位法的求根过程进行说明。对压缩了的有根区间又可实施同样的手续，即连接与，交x轴于，令，从而又得到一个新的有根区间。如此反复进行下去，即可得到一系列有根区间其中每个区间的长度都比前一个要小，当时，必收缩于一点，该点显然就是所求的根。在实施试位法过程中，连接与，把此直线与x轴的交点作为根的近似值，则可获得一个近似根的序列该序列必以根为极限。不过在实际计算中，我们不可能完成这个极限过程，其实也没有这种必要，因为数值分析的结果允许带有一定的误差，只要满足即可，为预设精度。三、实验内容待添加的隐藏文字内容3先确定有根区间，可通过使用Matlab中自带的画图语句，得到图形，观察发现有3个根，以寻找内的根为例。根据题意，找到的解，编写程序，以“与的误差小于”为终止语句，列出以下数据表1：k1235.932432432432435.930790094078175.93075167350415我们知道二分法中，只需保证，从中解得k17，即要迭代17次，见表2：k1234565.55.755.8755.93755.906255.921875k7891011125.92968755.933593755.9316406255.93066406255.931152343755.930908203125k13141516175.93078613281255.930725097656255.930755615234385.930740356445325.93074798583985四、结果分析 对于表1，由于程序中给了终止语句，所以达到要求后程序自动终止，k为迭代次数，为相应迭代次数下的自变量的值。上例中如果采用试位法解决需要迭代3次，但如果采用二分法解决该问题则需迭代17次。所以说一般情况下，试位法的迭代速度比二分法要快。参考文献1.数值分析，李庆扬，王能超，易大义，2001，清华大学出版社（第四版）。2.数值方法，关治，陆金甫，2006，清华大学出版社。3.数值分析与实验学习指导，蔡大用，2001，清华大学出版社。4.数值分析与实验，薛毅，2005，北京工业大学出版社.附录1.建立函数function y=f(x)y=x3-15*x2+319; 命名为f.m>>format long>>fzero('f',5) 得其零点为 5.93075075406021。2.求函数f在5,6上的近似根的程序： a=5;b=6;format longd=5.93075075406021;i=1;x(i)=b+(a-b)*f(b)/(f(b)-f(a);if f(x(i)*f(a)>0 a=x(i);else b=x(i);end while x(i)-d>0.5e-5 i=i+1; x(i)=b+(a-b)*f(b)/(f(b)-f(a); b=x(i); end x
