矢量到张量全面概述(包括白线性空间).doc

我们都生活在形形色色的空间中。数学上所说的空间就是点的集合，如果我们给这个点集赋予特定的空间结构（引入不同的确定关系）。但世界上不存在毫无任何空间结构的“裸空间”。如果我们赋予空间以线性结构（可加性与数乘性），则这个空间就叫做线性空间。一、线性空间只要在点集中定义了加法和数乘两种代数运算，则称之为赋予空间以线性结构，这样的点集（空间）就叫做数域P上的线性空间。其中用于数乘的数域P是指包含0和1的数集，并且数集对加、减、乘、除（0不作除数）运算是封闭的。此外，实数域R上的线性空间叫做实线性空间，复数域C上的线性空间叫做复线性空间。二、广义向量空间线性空间的元素是空间点，任一元素都可以用一组有序的数（x1，x2，）（或曰一组空间坐标）来表示。如果我们把空间点的一组坐标看作一种广义的向量，则线性空间又可视为广义向量的集合，称之为广义向量空间。换句话说，线性空间的元素是广义的向量。广义向量的维数可以有限，也可以无限。所以线性空间的维数可以是有限的，也可以是无限的。如果一组向量线性无关，则其中任何一个向量都无法用其余向量线性表出。在一个向量组中，向量的极大线性无关组中向量的个数叫做向量组的秩。向量组的秩必然等于向量的维数。线性空间是向量的集合，其中的极大线性无关组不是唯一的，可以根据需要选取。但同一空间中极大线性无关组的秩都是相等的。其中选定的任何一个极大线性无关组，都可以作为线性空间的一组基向量，简称基。所谓“基”的含义，就是说该空间中的任一个向量都可以用该组基向量的线性组合表出（数学上称之为线性表出或线性表示）。即 其中基的秩n叫做线性空间的维数，数组为向量在该组基下的表出系数（组合系数、表示系数），我们称之为向量在基下的坐标。当选定一组基后，某个向量的一组坐标就是唯一的。但线性空间的基不是唯一的，所以同一个向量在两组不同的基下的坐标也是不同的。三、矢量空间线性空间的维数可以有限，也可以无限。通常我们把有限维的实线性空间叫做矢量空间。这是因为矢量的概念来源于三维实线性空间，矢量实体的几何形状来源于中国古代的矢（箭），抽象为带箭头的线段。矢量空间的元素是n维矢量，如果我们选定一组n个线性无关的参考矢量g1，g2，.，gn作为基底矢量（简称基矢），而空间中的其余元素（矢量）都与这一组基矢线性相关，即矢量空间中的任一元素（矢量）P都可以分解或表示为这一组基矢的线性组合 则表出系数叫做矢量P在该组基矢下的坐标，有时也叫做分量或坐标分量。注意：在矢量空间中，一组基矢的选取不是唯一的，所以同一个矢量在两组不同的基矢下分解表出，其两组坐标分量也可能是不相同的。朋友们如果有兴趣，可以关注线性空间、向量空间与矢量空间的细微差别。但在大多数情况下，可以不加区别。四、白线性空间我们日常生活的空间大都是三维的真欧氏空间，是一种定义了欧氏距离的度量空间，属于有限维的内积空间，也属于赋范线性空间。在欧氏空间中，有了元素长度和距离的概念，如果我们选择或建立了参考系，进而还有角度的概念。我们最熟悉的是笛卡儿坐标系，即正交直线坐标系，俗称直角坐标系。自古以来我们都早已习以为常。现在我们需要洗洗脑，把长度（距离）、角度（包括正交或曰垂直）等传统概念一律清零，暂时退出欧氏空间并放弃笛卡儿坐标系的习惯。那么我们这个空间还剩什么？任何元素都没有长度、没有距离、没有内积、没有角度、更没有直角（垂直和正交），一派清清白白的未赋范线性空间！也许有人认为类似仿射空间，但周法哲喜欢称之为白线性空间。因为就像一张白纸，没有负担，好写最新最美的文字，好画最新最美的图画。喂！你究竟想干什么？且听下回分解。上一回说到，白线性空间是没有长度、距离、角度等度量的线性空间，但决不是任何结构属性也没有的“裸空间”，白线性空间至少还有线性结构。当然，也只有线性结构。在这样的空间里能不能建立坐标系呢？能建立什么样的坐标系呢？首先谈一谈：为什么要建立坐标系？中国古人几千年前就知道宇宙万物生于“道”，“道生一，一生二，二生三，三生万物。”现代科学也证明，我们的宇宙空间本来就是高度对称的，任何空间点都是一律平等的，无所谓高低贵贱；空间方向都不是绝对的，任何方向都毫无可优越性可言，具有高度的球对称性。我们的白线性空间就是这种“太初”时期“大同世界”的数学抽象，只不过我们规定了空间各点之间的线性结构，所谓线性结构，就是元素空间点之间的“加法”。“数乘”归根到底也还是相同元素连续多次相加运算的“批发”或“批处理”。人类在认识世界的过程中，为了便于描述事物的相对位置关系，不得不选择一个参考点，这就是“原点”。当原点O选定后，空间中的其余各点的方向就可以用从原点O出发的射线来描述。因为在白线性空间中我们规定了所有空间点之间的加法和数乘等数量关系（线性关系），所以空间任意一点P相对于原点O的位置，就可以用从O到P的有向线段来唯一地确定，这就是向量，也可以叫做矢量。白线性空间虽然也是空间点的集合，但我们一旦选定了参考点原点O之后，空间各点又可以与原点构成无数个矢量，而且这样的矢量与空间点一一对应，所以线性空间也叫向量空间或矢量空间。所谓白线性空间，“白”就白在这种空间中还没有给矢量定义长度（模值或范数），还不是度量空间，更不是欧氏空间，矢量之间仅仅有线性关系存在。可以想象，在白线性空间里有无数多个矢量，都从原点出发，好像太阳光芒四射。如下图所示： 图：白线性空间中的矢量如果我们任意选取一组合适的矢量作参考矢量，则可以建立一个直线坐标系。所谓“合适”，是指我们选取的这一组矢量要相互线性无关，矢量的个数还要足够空间的维数。数学上把符合这样条件的矢量组称之为极大线性无关组。选取“合适”的一组矢量，目的是为了以这样的矢量组为基础建立坐标系，所以数学上把空间中的极大线性无关组叫做空间的一组“基”，基中的矢量都叫做基矢量，简称基矢。在白线性空间里，我们选定了原点，又选取了合适的一组基矢，就可以建立一个坐标系。有了一个完整的坐标系作参考系，空间中的任何元素就都有了坐标定位。正如中国的周易所言：“天尊地卑，乾坤定矣。卑高以陈，贵贱位矣。”有了定位和次序，空间中一切事物的描述就有了着落。在这样的空间里能建立什么样的坐标系呢？详情且听下回分解。上一回说到，白线性空间也是最广义的矢量空间。如果我们选定了原点和一组合适的基矢，则可以建立一个最朴素的线性坐标系。不妨以二维白线性空间为例，如果我们选取一组基矢，对应的坐标线分别为x和y，则可建立一个二维的任意直线坐标系。如下图所示：  图1 二维任意直线坐标系因为白线性空间没有角度概念，坐标线不存在正交关系。这里只能画成斜交的以便示意。不过一组基矢一旦选定，在空间各点上就一成不变，大小和方向均处处相同。所以每族坐标线应该是一族相互平行的直线。如下图所示：  图2  二维白线性空间示意图设想白线性空间中的任一空间点P，坐标为（x,y）。这是空间最基本的元素。以原点O为起点、以P为终点的矢量P与空间点P一一对应。所以，也可以说白线性空间是矢量空间。当然，白线性空间中的矢量还没有定义长度，矢量之间只有线性关系。在白线性空间中的这个坐标系中，任意矢量P则可按基矢上的线性组合表示为其中x,y就是基矢下的坐标分量。如下图所示：  图3  白线性空间中的矢量推广到n维白线性空间里也是一样，一组基矢有n个，坐标线有n条，任意矢量P在该坐标系中可表出为n项构成的线性组合：一旦选定了一组基矢，就等于选定了一个坐标系，则某个空间点P的一组坐标就是唯一的，对应的矢量的一组坐标分量及其线性组合就是唯一的。注意：在同一个白线性空间里可以选取不同的基矢组，所以同一个矢量P可以表示为不同的线性组合。那么，在同一个白线性空间里，这不同的基矢组之间存在什么约束关系呢？详情且听下回分解。 上一回说到，白线性空间中的基矢组的选取不是唯一的，如果选取不同的基矢组，则可建立不同的坐标系。这一回说一说同一个空间里两组基矢之间存在什么样的关系。假定在同一个白线性空间中，我们又选取了一组基矢，则可以再建立一个二维直线坐标系。它和第一组基矢之间有什么关系呢？为了便于比较，我们不妨让两个坐标系的原点重合，如下图所示： 图  两组基矢之间的关系基矢也是白线性空间的矢量，一样可以在另一组基矢下线性表出。如果把第二组基矢逐个按第一组基矢分解并线性表出，即用矩阵形式表示就是我们把上述基矢的表出系数矩阵称之为过渡矩阵，或曰基矢变换矩阵。记为基矢变换矩阵完全表明了同一空间两组基矢之间的关系。是线性变换过程中的重中之中。如果我们把第二组基矢组成的列矩阵记为 把第一组基矢组成的列矩阵记为则两组基矢之间的关系可简洁地表示为如果基矢变换矩阵A可逆，即为非奇异矩阵（行列式值|A|0），也就是说两组基矢线性无关，则还有反过来的变换关系式为其中A(-1)为A的逆矩阵。可见，有了过渡矩阵（基矢变换矩阵）A，两组基矢或曰两个坐标系之间的变换关系就完全确定了。那好，在同一个白线性空间里，在基矢按照过渡矩阵A作变换时，同一个空间点P的描述坐标会如何变化呢？详情且听下回分解。上一回说到，白线性空间中的两组坐标基矢之间的关系体现于过渡矩阵A。我们知道在白线性空间中，一个矢量实体是客观存在的事物，不会因人为的描述方式不同而有丝毫的实质性改变。换句话说，确定的一个研究对象矢量实体只有一个，但如果选取不同的坐标系来描述它，会有不同的表出形式（坐标分量及其线性组合）。那么对于同一个矢量，在两组基矢（坐标系）下的两组坐标分量之间有什么关系呢？不妨仍以上述的两个二维直线坐标系为例，白线性空间中的一个任意矢量P如下图所示： 我们已经知道，在第一个坐标系Oxy中，矢量P在第一组基矢下分解的坐标分量线性组合为同理，在第二个坐标系Ox'y'中，矢量P在第二组基矢下分解的坐标分量线性组合为既然两者描述的是同一个矢量，那么上述两种线性组合应该等效。令上述两式相等，即写成矩阵形式，有把两组基矢之间的过渡矩阵关系式代入上式，则有比较等式两边，并利用转置矩阵的性质，有如果我们把第一组坐标分量组成的列矩阵记为把第二组坐标分量组成的列矩阵记为则上述变换关系可简洁地表示为如果A的转置矩阵也可逆，即也为非奇异矩阵（行列式值|AT|0），那么两组坐标分量之间的关系可表示为事实上这也是空间任一点P在两个坐标系中的坐标之间的变换关系。若记坐标变换矩阵为则同一空间中两组坐标（分量）之间的变换关系可简洁地表示为显而易见，在同一空间里，坐标变换矩阵B是过渡矩阵（基矢变换矩阵）A的转置逆矩阵。那么当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时，坐标系中其它对象的所有参量是否都象矢量的坐标分量那样一律按照坐标变换矩阵B的规律变换呢？详情且听下回分解。上一回说到，在同一空间里，坐标变换矩阵B是过渡矩阵（基矢变换矩阵）A的转置逆矩阵。当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时，矢量的坐标分量（或空间点的坐标）按照坐标变换矩阵B的规律变换。那么有没有什么对象的参量不按照坐标变换矩阵B的规律变换，而按照基矢变换矩阵A的规律变换呢？设白线性空间（以二维空间为例）中有一条直线l，我们可以选取不同的直线坐标系来描述它。如下图所示：  图：白线性空间中的直线假定在第一个坐标系Oxy中描述直线的方程为写成矩阵形式即而同一条直线l在第二个坐标系Ox'y'中描述的方程为写成矩阵形式即其中系数a,b和a',b'均为常数。我们来看看这两组系数之间有什么关系呢？前面的讨论我们已经知道，在同一空间里，当坐标基矢按如下规律变换时，任一空间点的坐标（或矢量的坐标分量）必然按如下规律变换。不妨代入上述直线第二个方程，有比较上述直线的第一个方程，则有根据转置矩阵的性质，即得两个方程系数组之间的关系可见直线方程系数的变换矩阵正是基矢变换矩阵（过渡矩阵）A。这个结论表明：在同一个白线性空间中，同一条直线在两个不同的坐标系里有不同的描述方程，方程系数的变换规律与坐标基矢的变换规律完全相同。注意：直线方程系数的变换规律不同于空间点坐标（或矢量坐标分量）的变换规律。可见当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时，其它对象的参量的变换就有两种变换规律。这两种变换规律的参量叫做什么呢？且听下回分解上一回说到，在同一空间里，当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时，其它对象的参量在坐标变换过程中的变换规律可以分成两大类。在同一空间中，选取不同的基矢组，可以建立不同的坐标系。当坐标系改变时，基矢当然按过渡矩阵A变换，因为基矢是坐标系的基础。同时对于空间中的同一个对象，其描述参量也必然随之变换。有些参量的变换规律与基矢变换规律（主要体现在过渡矩阵A）相同如上述直线方程的系数，与基矢变换规律“协调一致”地变换这样的参量叫做协变量。也有一些参量的变换规律与基矢变换规律不一致，而是按过渡矩阵A的转置逆矩阵B变换如上述矢量的坐标分量，却“逆转而变”这样的参量叫做逆变量。为了加以区别，科学界约定俗成：协变量仍然用下标编号，逆变量一律采用上标编号。例如：上述直线方程的系数a,b属于坐标变换中的协变量，可以写成。上述空间点P的坐标（或矢量P的坐标分量）x,y，可以写成。这个约定对于多维空间中的张量代数和分析非常有用，请大家务必遵守并养成良好习惯。把空间对象的参量按照变换规律的特点分成协变量和逆变量两大类，究竟有什么用处呢？分类的标准又是看它在坐标变换过程中是否与基矢变换矩阵（过渡矩阵）A一致，而这个过渡矩阵A的实质又是什么东东呢？且听下回分解。上一回说到，在同一空间里，当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时，其它对象的参量在坐标变换过程中的变换规律可以分成两大类。在同一空间中，选取不同的基矢组，可以建立不同的坐标系。当坐标系改变时，基矢当然按过渡矩阵A变换，因为基矢是坐标系的基础。同时对于空间中的同一个对象，其描述参量也必然随之变换。有些参量的变换规律与基矢变换规律（主要体现在过渡矩阵A）相同如上述直线方程的系数，与基矢变换规律“协调一致”地变换这样的参量叫做协变量。也有一些参量的变换规律与基矢变换规律不一致，而是按过渡矩阵A的转置逆矩阵B变换如上述矢量的坐标分量，却“逆转而变”这样的参量叫做逆变量。为了加以区别，科学界约定俗成：协变量仍然用下标编号，逆变量一律采用上标编号。例如：上述直线方程的系数a,b属于坐标变换中的协变量，可以写成。上述空间点P的坐标（或矢量P的坐标分量）x,y，可以写成。这个约定对于多维空间中的张量代数和分析非常有用，请大家务必遵守并养成良好习惯。把空间对象的参量按照变换规律的特点分成协变量和逆变量两大类，究竟有什么用处呢？分类的标准又是看它在坐标变换过程中是否与基矢变换矩阵（过渡矩阵）A一致，而这个过渡矩阵A的实质又是什么东东呢？且听下回分解。上一回说到，在同一空间里，当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时，其它对象的参量按照其变换规律可以分成两大类：随A协调一致地变换者叫做协变量；“逆转而变”者叫做逆变量。显然基矢变换矩阵（过渡矩阵）A是参量分类的基准。而这个过渡矩阵A又是什么东东呢？一般地，在n维白线性空间里，一组基矢可以视为n个独立变量，另一组基矢是它们的n个齐次线性函数，即可以线性表出为其中基矢变换矩阵（过渡矩阵）A为n×n阶方阵矩阵元素在直线坐标系中通常为常数。n个齐次线性函数之间线性无关的条件要求A为非奇异矩阵，即行列式值|A|0。另一方面，与基矢相应的两套坐标线（直线）坐标（空间点P的坐标或任意矢量P的坐标分量）可分别记为和，也可以相互表出为n个齐次多元线性函数，如：其中坐标变换矩阵B也是一个n×n阶方阵当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时，空间点P的坐标按照A的转置逆矩阵B变换，即“逆转而变”，所以两个变换矩阵的关系为：即A的转置矩阵与B互逆，有坐标变换矩阵B当然也满足可逆条件。根据定义，两个矩阵应有如下关系：或这里克罗内克尔符号定义为注意：今后的克罗内克尔符号也可以有上下标之分，更具有普适性。在白线性空间里，空间一切元素之间不存在正交概念，过渡矩阵A肯定不是正交矩阵，即一般地在白线性空间里，过渡矩阵A也不一定是对称矩阵，即一般地张量概念的前提是坐标变换，而坐标变换的核心关键是基矢变换矩阵（过渡矩阵）A。那么在白线性空间里，张量究竟是什么样的量呢？详情且听下回分解。（原创）克罗内克尔符号初步（图）  2009-09-09 20:22:45|  分类： 科学的皇后|字号 订阅克罗内克尔符号（Kronecker ）在现代数学和计算机科学中神通广大，不可不识。本文初步介绍笛卡儿坐标系中的克罗内克尔符号。一、克罗内克尔符号的来由在笛卡儿坐标系中，坐标基矢不仅均为单位矢量，而且两两相互正交（即夹角90度），这样的一组坐标基矢叫做标准正交基。如下图所示： 图1 三维笛卡儿坐标系以三维笛卡儿坐标系为例，三个坐标基矢之间有如下点积关系：（1） 即下标相同的两个基矢的点积（即每个基矢的自点积）都等于1，表明坐标基矢均为单位矢量；下标不同的两个基矢的点积都等于0，表明坐标基矢两两相互正交。为了简洁地表达上述关系，人们创造了如下的符号表达式： （2）称之为克罗内克尔符号，或克罗内克尔（Kronecker ）。上述的关系式（1）就可以简洁地记为 （3）这就是同一组正交标准基内部的点积关系。二、克罗内克尔符号的矩阵形式由定义式（2）不难构想，以克罗内克尔符号的分量为元素，可以构成一个矩阵（4） 显然是一个单位矩阵。即（5）这可以看作是克罗内克尔符号定义的矩阵形式。当然也是个对称矩阵，即有 （6）克罗内克尔符号可以推广到n维的笛卡儿坐标系去使用，只要牢记它的两个指标均遍历其取值范围即可。即式（2）、（4）、（5）、（6）都不言而喻地隐含 （7）在n维笛卡儿坐标系中，克罗内克尔符号的矩阵形式可以是n×n阶单位矩阵。三、克罗内克尔符号的基本性质及用途有了克罗内克尔符号，在研究多维矢量乃至张量时就方便多了。比如有两个矢量在笛卡儿坐标系的分量表达式分别为：（8） 和（9） 注意：这里使用了爱因斯坦求和约定（参见周法哲前几天的博文）。一对哑标（如i）可以同时用其它小写字母（如j）替换。替换哑标字母是为了作矢量乘法时避免指标混乱。则这两个矢量的点积就可以表示为 （10）根据克罗内克尔符号的定义式（2）或（5）可知，指标i不等于j的求和项全为0，只有ij的几项参加求和（这几项的数值为1），所以上式的求和结果还可以写成 （11）这与我们过去熟悉的矢量点积的如下算式殊途同归。（12） 注意：比较式（10）和（11）的结果，可以发现克罗内克尔符号的一个重要性质： （13）即：如果求和项中的哑标是克罗内克尔符号的指标之一，则结果是消去克罗内克尔符号，且另一个哑标因子的指标改换为原克罗内克尔符号的另一个指标（非哑标）。一般地，克罗内克尔符号的这个性质可表示为 （14）综上所述，在n维笛卡儿坐标系中，任意两个矢量的点积运算过程可简洁地描述为 （15）克罗内克尔符号还有许多性质和更多的用途，请注意周法哲今后的相关博文。不过克罗内克尔符号可以描述矢量乃至张量的点积运算，那么，矢量的叉积有没有简洁的符号表示呢？且听下回分解上一回说到，在同一空间里，当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时，其它对象的参量按照其变换规律可以分成两大类：随A协调一致地变换者叫做协变量；“逆转而变”者叫做逆变量。显然基矢变换矩阵（过渡矩阵）A是参量分类的基准。而这个过渡矩阵A又是什么东东呢？一般地，在n维白线性空间里，一组基矢可以视为n个独立变量，另一组基矢是它们的n个齐次线性函数，即可以线性表出为其中基矢变换矩阵（过渡矩阵）A为n×n阶方阵矩阵元素在直线坐标系中通常为常数。n个齐次线性函数之间线性无关的条件要求A为非奇异矩阵，即行列式值|A|0。另一方面，与基矢相应的两套坐标线（直线）坐标（空间点P的坐标或任意矢量P的坐标分量）可分别记为和，也可以相互表出为n个齐次多元线性函数，如：其中坐标变换矩阵B也是一个n×n阶方阵当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时，空间点P的坐标按照A的转置逆矩阵B变换，即“逆转而变”，所以两个变换矩阵的关系为：即A的转置矩阵与B互逆，有坐标变换矩阵B当然也满足可逆条件。根据定义，两个矩阵应有如下关系：或这里克罗内克尔符号定义为注意：今后的克罗内克尔符号也可以有上下标之分，更具有普适性。在白线性空间里，空间一切元素之间不存在正交概念，过渡矩阵A肯定不是正交矩阵，即一般地在白线性空间里，过渡矩阵A也不一定是对称矩阵，即一般地张量概念的前提是坐标变换，而坐标变换的核心关键是基矢变换矩阵（过渡矩阵）A。那么在白线性空间里，张量究竟是什么样的量呢？详情且听下回分解。上一回说到，张量概念的前提是坐标变换，而坐标变换的核心关键是基矢变换矩阵（过渡矩阵）A。在同一空间里，当坐标变换时，所有的参量按照其变换规律可以分成两大类：随A协调一致地变换者叫做协变量；“逆转而变”者叫做逆变量。那么一阶张量究竟是什么样的量呢？本文先介绍一阶逆变张量的定义。一般地，在n维空间的任一坐标系中给定一组有序的数如果当坐标基矢按某个过渡矩阵A变换时，而这一组数X却按A的转置逆矩阵B变换，即变为则称这一组数为一个一阶逆变张量。通常用上标变量表示。矢量的坐标分量（或矢端点的坐标）就是这样的一组数。当坐标基矢变换时，它们却逆转而变，所以属于逆变张量。又因为它们的变换因子中只乘了一个矩阵，所以属于一阶张量。下面举例说明。在白线性空间里，有一矢量P，我们选定一组基矢建立一个坐标系，矢量P可表示为一组坐标分量，即可表示为一组有序的数，可构成一个n×1阶的列矩阵X。这样就把矢量转化为一组标量，便于计算机处理。不妨以二维空间为例，坐标基矢为，则矢量P可以表示为数组，或列矩阵如下图中的坐标系所示：  图：一阶逆变张量但是，同一个矢量P在不同的坐标系中会表现为不同的数组。就是说如果我们选定另一组基矢建立另一个坐标系，矢量P则又可表示为另一组坐标分量，即可表示为另一个数组，也可构成另一个n×1阶的列矩阵X'。不妨仍以二维空间为例，当坐标基矢组变换为'时，则描述矢量P的数组变换成，也可记为列矩阵如上图中的坐标系所示。通过前几回的讨论我们知道，当坐标变换时，两组基矢之间的变换关系体现为一个过渡矩阵A。仍以二维空间为例，假定可记为或一般地对于n维空间写成其中基矢变换矩阵（过渡矩阵）A为n×n阶方阵一阶逆变张量的定义是说：当坐标基矢按如上矩阵A变换时，则矢量P的坐标分量却按矩阵B“逆转而变”成对于二维空间中即对于n维空间一般即其中坐标变换矩阵B也是一个n×n的方阵如果变换矩阵B恰是过渡矩阵A的转置逆矩阵则这样的矢量（一组数）就属于逆变量，叫做一阶逆变张量。注意：上式中矩阵元素的指标次序倒置表示矩阵的转置。可见，张量是一组数，其中随坐标基矢变换“逆转而变”者属于逆变张量，变换因子中只乘一次矩阵者叫做一阶张量。矢量就是一阶张量的典型实例。一阶张量的几何意义如上图。中国古代汉语中“张”字的本义是指把弦安装到弓上，拉的紧绷绷的。英语中“张量”一词tensor也是“拉紧”的意思。作为某个一阶张量的矢量实体，是个客观存在的不变量，但我们采用不同的坐标系来描述它时，却表现为不同的坐标分量组合，张成不同的平行四边形，然而两个平行四边形的对角线（矢量实体）始终不变，描述的对象是同一个“量”，这样的量就是张量。值得提醒大家的是，矢量是一阶张量的典型实例，但一阶张量不仅仅只有矢量。况且上述举例的矢量是一阶逆变张量，只不过是一阶张量中的一类，实际中还存在一阶协变张量。究竟什么是一阶协变张量呢？且听下回分解。上一回已经介绍了一阶逆变张量的概念，典型的实例就是矢量的一组n个分量，而且通常是在一组协变基矢下分解的坐标分量。简单的说，逆变张量就是坐标变换中的逆变量。接下来我们介绍另一类一阶张量即一阶协变张量的概念。顾名思义，协变张量肯定是协变量，即随坐标基矢“协调一致”变换的一组数量。我们先看一个实例，在白线性空间中有个不过原点的平面，我们可以选取不同的坐标系（坐标基矢）来描述它。不妨以二维空间中的直线l为例，假定直线l在第一个坐标系（基矢为）中的方程为我们得到方程的一组系数，就是一个一维数组，可以写成一个列矩阵它可以代表一个张量。这个张量反映了直线l的客观存在，不因描述它的坐标系不同而改变。但在不同的坐标系里，表现出的分量或数组元素不同。如下图所示：图：一阶协变张量（直线方程的系数） 假定同一条直线l在第二个坐标系（基矢为'）中的方程是则方程的系数数组就变成了，也可以写成一个列矩阵根据以往的讨论我们知道，在同一空间里，这两组坐标基矢之间的变换关系为或一般地对于n维空间写成其中基矢变换矩阵（过渡矩阵）A为n×n阶方阵而直线方程的系数也按过渡矩阵A的规律，与坐标基矢协调一致地变换，即或对于n维空间一般写成或可见直线方程的系数数组，在坐标变换中随坐标基矢按照过渡矩阵A的规律，也就是说与坐标基矢“协调一致”地变换。这样的一组数组就属于协变张量。在坐标变换过程中，作为乘法因子的变换矩阵A仅仅相乘了一次，所以属于一阶张量。一般地，在n维线性空间的任一坐标系中给定一组有序的数如果当坐标基矢按某个过渡矩阵A变换时，这一组数Y也按A的规律变换，即变为则称这一组数为一个一阶协变张量。通常用下标变量表示。注意：平面方程的系数是一阶协变张量的典型实例，但协变张量的实例不仅仅只有平面方程的系数组。此外，在坐标变换过程中，有些协变量或逆变量的变换因子中不一定只可以相乘一个变换矩阵，所以张量也不限于只有一阶的。高阶张量是什么？且听下回分解。前面已经介绍了一阶张量的概念，实际上二阶张量是最常用的张量。二阶以上（含二阶）的张量统称为高阶张量。在介绍高阶张量之前，我们先介绍一下矢量的直积。矢量的直积是矢量之间最简单的一种乘法运算，其结果是张量，所以也叫做矢量的张量积，俗称并矢。举例说明如下：设三维白线性空间中的任意两个矢量的线性表出分别为       与则两个矢量的直积就是一个并矢，属于二阶张量的一种，可记为注意：并矢的先后次序一般不可交换。即并矢既不是点积，也不是叉积，而是矢量的直积或直乘。因为其结果已经超出了原来的矢量空间，所以属于外积的一种。所谓直积运算就是一个矢量的所有线性组合项遍乘另一个矢量的所有线性组合项，类似于多项式乘法。如上例即可见三维空间中的一个二阶张量共有9个分量。本例的基矢都是自然基矢（协变基矢），分量都是逆变分量，所以这个张量属于一个二阶逆变张量。如果用爱因斯坦求和约定，上述并矢（二阶张量）还可以简洁地表示为注意：两对哑标相乘时必须区别开。其中基矢的并矢 叫做基张量，本例中的基张量是两个基矢的并矢，所以属于二阶基张量。基张量对应的线性组合系数 叫做张量的分量。对于两个n维矢量的并矢，有时也用完整的一组个分量表示其运算结果（一个二阶张量），即矢量的直积运算还可以采用分量矩阵形式表示。如上例可表示为一组9个基张量也可以用矩阵表示为矢量的直积运算可以推广到多个矢量的并矢，即高阶张量。如三个矢量的直积（三重并矢）abc是一个三阶张量四个矢量的并矢abcd是一个四阶张量依此类推。为简便起见，张量可以只用一个大写字母（比如T）表示，代表阶数的横线通常可以省略。当然最常用的是二阶张量，那么二阶张量的定义是什么？且听下回分解。上一回已经介绍了一阶张量的概念，实际上二阶张量是最常用的高阶张量。周法哲把形形色色的空间（欧氏空间和非黎曼空间等）返朴归真，退回到白线性空间，就是为了让我们看清张量概念的本质。在白线性空间中，二阶张量的古典定义如下：在n维白线性空间的任一坐标系中给定一组有序的数当坐标系的自然基矢按某个过渡矩阵变换时，如果这一组数的下标i也按过渡矩阵的规律变换，而上标j却按过渡矩阵的转置逆矩阵变换，即：则称这一组数为一阶协变、一阶逆变的二阶张量。其中上式的右端采用了爱因斯坦求和约定，哑标i和j都从1到n求和。自由指标i' 和j' 都取从1到n的值，表明二阶张量有一组n2个这样的线性组合式。注意：二阶张量的下标是协变指标，上标是逆变指标，两者不能混淆。可见张量是一组数（不是一个数），因为变换因子中有两个矩阵，所以叫做二阶张量。又因为当坐标基矢变换时，既有指标（下标）随基矢协调一致地变换（协变或曰共变），同时又有指标（上标）逆转而变（逆变或曰反变），所以叫做混变张量。也就是说，既有下标又有上标的张量叫做混变张量。只有一个上标和一个下标的张量就叫做二阶混变张量（如定义形式）。例如，在n维白线性空间里定义的克罗内克尔符号就是一个二阶张量，且是一阶协变、一阶逆变的二阶混变张量。实际中，二阶张量还可以只有下标或只有上标。只有两个下标的张量叫做二阶协变张量；只有两个上标的张量叫做二阶逆变张量。例如，我们上一回讨论的并矢就是一个二阶逆变张量。张量既然是一组有规则的数，这些数就叫做张量的元素，也叫做张量的分量。在n维白线性空间里，一个二阶张量的元素（分量）有n2个，可以组成一个n2元数组或n×n阶矩阵。通常把二阶以上的张量叫做高阶张量。那么更一般地高阶张量是如何定义的呢？且听下回分解。上一回已经介绍了二阶张量的古典定义，知道张量是一组数，而且在坐标变换时按一定规则变换。二阶张量是最常用的高阶张量，通常可以理解为二阶并矢。前面已经说过，所谓并矢就是矢量的直积或曰张量积，属于矢量外积运算的一种。为了研究高阶张量的数据结构，我们不妨先从二阶逆变张量谈起。二阶张量可以表示为一组数据，我们来讨论一下这一组数据在坐标变换中的变化规律。设白线性空间中任意两个矢量a和b，在第一个坐标系中分别表示为与则两个矢量的并矢为可记为一组数据不妨以二维空间为例，如下图所示：  图：二阶张量（并矢）可以看出，与任意矢量一样，并矢也是一个客观存在，不因坐标系而改变。但采用不同的坐标系来描述它时，往往表现为不同的一组数据。如果我们采用第二个坐标系来描述它，两个矢量a和b分别表示为与则两个矢量的并矢又可表示为也可记为一组数据根据前几节的讨论我们知道当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时而矢量的坐标分量按照A的转置逆矩阵变换，即“逆转而变”为及从而可知“那一组数据”变换为通过上例的分析可见，并矢是一组数据，描述一个张量T，但它在坐标变换中随基矢“逆转而变”，所以属于逆变张量；由于变换因子中有两个矩阵，所以叫做二阶张量。一般地，在n维空间的任一坐标系中给定一组有序的数它有两个上标；当坐标基矢按某个过渡矩阵A变换时，如果这一组数T的每个上标却独立地按过渡矩阵A的转置逆矩阵变换，即变换为则称这一组数T为二阶逆变张量。其中上式右端的哑标i,j表示从1到n求和。自由指标k和l都取从1到n的值，表明二阶张量有一组n2个这样的线性组合式。上述定义的张量只有两个上标，叫做二阶逆变张量，属于二阶张量的一种。实际中，二阶张量还可以只有下标或既有下标又有上标。只有两个下标的张量叫做二阶协变张量；既有一个下标又有一个上标的张量叫做二阶混变张量。有待后续章节陆续介绍。张量既然是一组有规则的数，这些数就叫做张量的元素，有时也叫做分量。在n维白线性空间里，一个二阶张量的元素（分量）有n2个，可以组成一个n2元数组或n×n阶矩阵。通常把二阶以上的张量叫做高阶张量。那么更一般地高阶张量如何表示呢？它们的数据结构如何呢？且听下回分解。