数值计算方法 练习题.doc
数值计算方法 练习题习题一 1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； 2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过 ，问各近似值分别应取几位有效数字？ 显示答案 3. 设 均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。 （1） ； （2） ； （3） 显示答案 4. 计算 ，取 ，利用下列等价表达式计算，哪一个的结果最好？为什么？ （1） ； （2） ； （3） （4） 显示答案 5. 序列 满足递推关系式 若 （三位有效数字），计算 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？显示 6. 求方程 的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用 。显 7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。 （1） ； （2） （3） ； （4） 显 8. 设 ，求证： （1） （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。9.设x>0,x*的相对误差为，求f(x)=ln x的误差限。10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。11.下列公式如何才比较准确？（1）（2）12.近似数x*=0.0310,是位有数数字。13.计算取，利用式计算误差最小。 四个选项：习题二 1. 已知 ，求 的二次值多项式。显示答案 2. 令 求 的一次插值多项式，并估计插值误差。显示答案 3. 给出函数 的数表，分别用线性插值与二次插值求 的近似值，并估计截断误差。0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736显示答 4. 设 ，试利用拉格朗日余项定理写出以 为节点的三次插值多项式。显示答案 5. 已知 ，求 及 的值。显示答案 6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算 和 的近似值。X1.6151.6341.7021.8281.921F (x)2.414502.464592.652713.030353.34066 7. 已知函数 的如下函数值表，解答下列问题 （1）试列出相应的差分表； （2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。X0.00.10.20.30.40.5f (x)1.001.321.682.082.523.00显示答案 8. 下表为概率积分 的数据表，试问： （1） 时，积分 （2） 为何值时，积分 ？X0.460.470.480.49P0.4846550.49374520.50274980.51166839. 利用 在 各点的数据（取五位有效数字），求方程 在0.3和0.4之间的根的近似值。10. 依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。 表10 x01y01y¢3911. 依据数表11中数据，利用基函数方法，构造四次埃尔米特插值多项式。表11X012Y023y¢01 12. 在 上给出 的等距节点函数表，用分段线性插值求 的近似值，要使截断误差不超过 ，问函数表的步长h应怎样选取？显示答案 13. 将区间 分成n等分，求 在 上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。显示答案显示答案14、给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限15、在-4x4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?16、若，求和17、若互异，求的值，这里pn+1.18、求证19、已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.20、给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差.21. 求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足22. 令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证明是-1,1上带权的正交多项式序列.23、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.24、填空题(1) 满足条件的插值多项式p(x)=().(2) ,则f1,2,3,4=()，f1,2,3,4,5=().(3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则()，().(4) 设是区间0,1上权函数为(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则()，()习题三 1. 给出数据如下表所示，试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。x1.000.750.500.2500.250.500.751.00y0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.2836 2. 用最小二乘法求下列不相容方程组的近似解。 （1） （2） 显示答案 3. 用最小二乘法求一个形如 的经验公式，使它与下表中的数据相拟合，并计算均方误差。X1925313844Y19.032.349.073.397.8 4. 在某次实验中，需要观察水份的渗透速度，测得时间t与水的重量W的数据见下表。设已知t与W之间的关系为 ，试用最小二乘法确定参数a、s。t(秒)1248163264W(克)4.224.023.854.593.443.022.595. 试构造点集 上的离散正交多项式系 。并利用所求的离散正交多项式系，对第二题中的数据求二次拟合多项式。6. 现测量长度 和 米、 米，为了提高测量的可靠性，又测量到 米。试合理地决定长度 和 的值。习题四 1. 确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。 （1） ； （2） ； （3） ；（4） ； 2. 用辛甫生公式求积分 的值，并估计误差。 3. 分别用复化梯形法和复化辛甫生法计算下列积分： （1） ，8等分积分区间； （2） ，4等分积分区间；（3） ，8等分积分区间； （4） ，6等分积分区间。4. 用复化梯形公式求积分 ，问将积分区间 a, b 分成多少等分，才能保证误差不超过e（不计舍入误差）？ 5. 导出下列三种矩形公式的项 （1） ； （2） ； （3） 提示：利用泰勒公式。 6. 用龙贝格公式计算下列积分，要求相邻两次龙贝格值的差不超过 。（1） ； （2） ； 7. 根据等式 以及 当n=3,6,12时的三个值，利用外推算法求 的近似值。 8. 分别用下列方法计算积分 ，并比较结果精度（积分准确值 。 （1） 复化梯形法，n = 16； （2） 复化辛甫生法，n = 8； （3） 龙贝格算法，求至R2； （4） 三点高斯勒让德公式； （5） 五点高斯勒让德公式。 9. 试确定下面求积分式的待定参数，使其代数精度尽可能高。 10. 已知f ( x )的值见表6-13。用三点公式求函数 在x = 1.0,1.1,1.2处的一阶导数值，并估计误差。显示答案 11. 用二阶三点公式求函数 在x = 1.2处的二阶导数值（利用数表6-13）。x1.01.11.2f ( x )0.250000.226760.20661 12. 用中点公式的外推算法求 在x = 2处的一阶导数值，取h = 0.8开始，加速二次。13、分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.14、用Simpson公式求积分，并估计误差15、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(1) (2) (3) 16、计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分?17、用Romberg求积算法求积分，取.18、用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.19、用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分.习题五 1. 用列主元素法解下列方程组(1) ； (2) ； (3) 对(1) (2)两题观察每步消元结果的系数矩阵有何特点，右下方矩阵是否对称，列主元在何处，消元过程是否符合上题结论。显示答案 2. 用追赶法解下列方程组 （1） （2） 显示答案 3. 求第1题及第2题中系数矩阵A的LU分解，并用此分解法解对应的线性方程组。显示答案 4. 给定 ，求 及 。显示答案 显示答案5、用Gauss消去法求解下列方程组.6、用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.7、用Doolittle分解法求习题5(1)方程组的解.8、下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?9、用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中10、用平方根法解方程组11、设，证明12、设计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数.13、设为 上任一种范数，是非奇异的，定义，证明14、求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计.，即，即15、是非题（若"是"在末尾（）填+,"不是"填-）：题目中（1）若A对称正定,则是上的一种向量范数 （ ）（2）定义是一种范数矩阵 （ ）（3）定义是一种范数矩阵 （ ）（4）只要，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵 （ ）（5）只要，则总可用列主元消去法求得方程组的解（ ）（6）若A对称正定,则A可分解为，其中L为对角元素为正的下三角阵 （ ）（7）对任何都有（ ）（8）若A为正交矩阵，则（ ）习 题 六 1. 对下列方程组考察用雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法是否收敛？若收敛，写出其迭代格式；若下收敛，能否将方程变形，使之用雅可比迭代法或高斯塞德尔迭代法时收敛？ （1） ； （2） ； （3） ； （4） ；显示答案 2. 试分析用雅可比迭代法和塞德尔迭代法连续迭代5次求线性方程组的解（取初值 ） 显示答案 3. 用雅可比迭代法解下列方程组。 （1） （2） 取 ，并判别此迭代是否收敛？显示答案 4. 用塞德尔迭代法解方程组。 取 ，并判别此迭代是否收敛？显示答案 5.证明对于任意的矩阵A，序列收敛于零矩阵.6.方程组(1) 考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.(2) 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到为止.7.设方程组证明:解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散.8.下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛?9.设，detA0，用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.10.用SOR方法解方程组(分别取=1.03,=1,=1.1)精确解，要求当时迭代终止，并对每一个值确定迭代次数.11.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?12.填空题(1)要使应满足（）.(2) 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度R(B)=（）.(3) 设方程组Ax=b,其中其J法的迭代矩阵是（）.GS法的迭代矩阵是（）.(4) 用GS法解方程组，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足（）.(5) 给定方程组,a为实数.当a满足（），且02时SOR迭代法收敛.习题七 1. 判断下列方程有几个实根，并求出其隔根区间。 （1） ； （2） （3） ； （4） 2. 方程 在区间（3，4）中有一实根，若用二分法求此根，使其误差不超过 ，问应将区间对分几次？并请用二分法求此根。 3. 下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解？如不能，将方程变形，给出一个收敛的迭代格式。 （1） ； （2） 4. 求方程 的隔根区间，对方程的下列四种等价变形，判断各迭代格式的收敛性，选一种收敛最快的迭代格式，求出具有四位有效数字的近似根。 （1） （2） （3） （4） 5. 考察方程 有几个根，选择合适的迭代格式求这些根，允许误差 6. 用牛顿法求出的方程 根的迭代结果见表2-6，试估计所求根的重数。 表2-6kXkxkxk100.75 10.7527010.0027020.7547950.0020830.7563680.0015740.7575520.0011850.75844410.0008897. 用二分法求方程的正根，使误差小于0.05.8.求方程在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.(1) ，迭代公式.(2) ,迭代公式.(3)，迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.9.设方程的迭代法(1) 证明对,均有,其中为方程的根.(2) 取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过,并列出各次迭代值.(3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论.10 给定函数，设对一切x,存在，而且.证明对的任意常数,迭代法均收敛于方程的根.11.用Steffensen方法计算第12题中(2)、(3)的近似根，精确到12用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.(1)在=2附近的根.(2)在=1附近的根.13.应用Newton法于方程,求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性.习题八 1.已知矩阵试用格希哥林圆盘确定A的特征值的界。2.设是矩阵A属于特征值的特征向量，若，试证明特征值的估计式.3.用幂法求矩阵 的强特征值和特征向量，迭代初值取。4.用反幂法求矩阵 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取。5.设非奇异，A的正交分解为A=QR，作逆序相乘A1=RQ，试证明（1） 若A对称则A1也对称；（2） 若A是上Hessenberg阵，则A1也是上Hessenberg阵。6.设矩阵（1）任取一非零向量作初始向量用幂法作迭代，求A的强特征值和特征向量；（2）用QR算法作一次迭代，求A的特征值；（3）用代数方法求出A的特征值和特征向量，将结果与（1）和（2）的结果比较。7. 设矩阵（1）用Householder变换化A为对称三对角阵。（2）用平面旋转阵对进行一步QR迭代计算出。8. 用带位移的QR方法计算下列矩阵的全部特征值。9. 设，且已知其强特征值和对应的特征向量，（1）证明：若构造Householder阵H使（常数），则必有其中，且A的其余n-1个特征值就是的特征值。（2）以为例，已知，用以上方法构造H阵，并求出A的第二个特征值。10.对以下的实对称阵用QR方法求其全部特征值。习题九 1. 取步长h = 0.1，分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题 （1） ； （2） 准确解：（1） ；（2） ；显示答案 2. 用四阶标准龙格库塔法解第1题中的初值问题，比较各法解的精度。显示答案 3. 用欧拉法计算下列积分在点 处的近似值。 显示答案 4. 求下列差分格式局部截断误差的首项，并指出其阶数。 （1） （2） （3） （4） 显示答案 5. 用Euler法解初值问题取步长h=0.1，计算到x=0.3(保留到小数点后4位).6. 用改进Euler法和梯形法解初值问题取步长h=0.1,计算到x=0.5，并与准确解相比较.7. 证明中点公式(7.3.9)是二阶的，并求其局部截断误差主项.8. 用四阶R-K方法求解初值问题取步长h=0.2.9. 对于初值问题10. (1) 用Euler法求解，步长h应取在什么范围内计算才稳定?11. (2) 若用梯形法求解，对步长h有无限制?12. (3) 若用四阶R-K方法求解，步长h如何选取?13. 用四步四阶的Adams显式方法求解初值问题取h=0.1.14. 用形如的线性二步法解15. 试确定参数，使方法具有尽可能高的阶数，并求出局部截断误差主项.习题一 显示答案 1. （1）5， ， ； （2）2， ， ； （3）4， ， ； （4）5， ， ； （5）1， ， ； （6）2， ， ； （7）6， ， 显示答案2. ； ； 显示答案 3. （1） ； （2） ；（3） 4. 第（3）个结果最好显示答案 5. 不稳定。从 计算到 时，误差约为 显示答案6. ， 显示答案7. （1） ； （2） ； （3） ； （4） 求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，有已知x*的相对误差满足，而，故即10.直接根据定义得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，11.要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）（2）12. 3位13.习题二 1. 显示答案 显示答案2. ； ， 介于x和0，1决定的区间内；，当 时。 3. 0.54667，0.000470；0.54714，0.000029 4. 5. 1，0 6. ， 7. 向前插值公式 向后插值公式 8. （1） ； （2） 9. 0.337648910. 11. 显示答案12. 显示答案 13. 显示答案 14、 解仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故15、 解：用误差估计式，令因得16、 解：由均差与导数关系于是17、 解：，由均差对称性可知当有而当Pn1时于是得18、 解：只要按差分定义直接展开得19、 解：根据给定函数表构造均差表当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式可得由于20、 计算，用n=4得Newton前插公式误差估计其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计得这里仍未0.56521、 解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足，显然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A ，于是22、 解：因23、 解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为24、 解答：（1）（2）（3）（4）习题三 1. 显示答案 ， 2.（1） ； （2） ，其中c为任意常数显示答案 3. 显示答案 4. ， 5. ， ， 显示答案 6. ， 。习题四 1. （1） ，代数精度为3；（2） ， ，代数精度为3；（3） ， 或 ， ，代数精度2； （4） ，代数精度为3。 2. ， 显示答案 3.（1） ， ； （2） ； （3） ， ；（4） ， 显示答案 4. ， 显示答案 5. （1） ；（2） ；（3） 6.（1） ， 显示答案 7. 3.141580072显示答案 8. （1）1.099768； （2）1.09862； （3）1.098612； （4）1.098039； （5）1.098609. ， ， 10. ， ， 11. 显示答案 0.2600 12. 0.35355413、解本题只要根据复合梯形公式及复合Simpson公式（6.13）直接计算即可。对，取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按复合梯形公式求出，按复合Simpson公式求得，积分14、解：直接用Simpson公式得估计误差，因，故15、解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。（1）令代入公式两端并使其相等，得解此方程组得，于是有再令，得故求积公式具有3次代数精确度。（2）令代入公式两端使其相等，得解出得而对不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。（3）令代入公式精确成立，得解得，得求积公式对故求积公式具有2次代数精确度。16、解：由Simpson公式余项及得即，取n=6，即区间分为12等分可使误差不超过对梯形公式同样，由余项公式得即取n=255才更使复合梯形公式误差不超过17、解：本题只要对积分使用Romberg算法（6.20），计算到K3，结果如下表所示。于是积分，积分准确值为0.71327218、解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。由于区间为，所以先做变换于是本题精确值19、解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算即于是，因n=2,即为三点公式，于是，即故习题五 显示答案 1. （1） ； （2） ； （3） 显示答案2. （1）(1.2,1.4,1.6,0.8)T； （2）(1.5,2,1,1)T 3. 对第1题中的系数矩阵 （1） ；（2） 对第2题中的系数矩阵 （1） （2） 4. 8， ，5；6， ，85. 解本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。故6. 解：先选列主元，2行与1行交换得消元3行与2行交换消元回代得解行列式得7. 解：由矩阵乘法得再由求得由解得8.解：A中，若A能分解，一步分解后，相互矛盾，故A不能分解，但，若A中1行与2行交换，则可分解为LU对B，显然，但它仍可分解为分解不唯一，为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯一。9. 解：用解对三角方程组的追赶法公式计算得10.解：用分解直接算得由及求得11.解：即，另一方面故12. 解：故13. 证明：根据矩阵算子定义和定义，得令，因P非奇异，故x与y为一对一，于是14. 解：记则的解，而的解故而由（3.12）的误差估计得表明估计略大，是符合实际的。15、答案：（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）（6）（）（7）（）（8）（）习 题 六 1.显示答案 （1）（2）（3）（4）雅可比迭代法收敛发散收敛发散高斯一赛德尔法收敛发散收敛发散 显示答案 2. 雅可比迭代法： 塞德尔迭代法： 3 （1）范数 ，故雅可比迭代法收敛 （2）范数 ，由 可判定雅可比法收敛。4. 方程组系数矩阵对角占优，因此塞德尔迭代法收敛 与3题（1）迭代结果相比较，这里收敛速度快。5. 解：由于而故6. 解：因为具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。（2）J法得迭代公式是取，迭代到18次有GS迭代法计算公式为取7. 解：Jacobi迭代为其迭代矩阵，谱半径为，而Gauss-Seide迭代法为其迭代矩阵，其谱半径为由于，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。8. 解：Jacobi法的迭代矩阵是即，故，J法收敛、GS法的迭代矩阵为故，解此方程组的GS法不收敛。9. 解J法迭代矩阵为，故J法收敛的充要条件是。GS法迭代矩阵为由得GS法收敛得充要条件是10. 解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为取，当时，迭代5次达到要求若取，迭代6次得11. 解：J法的迭代矩阵为，故，因A为对称正定三对角阵，最优松弛因子J法收敛速度由于，故若要求，于是迭代次数对于J法，取K15对于GS法，取K8对于SOR法，取K512、解答:(1)(2)J法是收敛的，(3)J法迭代矩阵是，GS法迭代矩阵(4)满足(5)满足习题七1. （1） ， ， ；（2） （3） ， ， ；（4） 为根。 2. 6 3. （1）能； （2）不能， 4. （1.4,1.5）； （1）收敛； （2）收敛； （3）发散； （4）发散； 1.465573 5. 1.989761；0.3758122 6. ； ； 7. 解使用二分法先要确定有根区间。本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间1,2为有根区间。另一根在-1,0内，故正根在1,2内。用二分法计算各次迭代值如表。其误差8解：（1）取区间且，在且，在中，则L<1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。（2），在中，且，在中有，故迭代收敛。（3），在附近，故迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取，则9解：（1）迭代函数，对有，（2）取，则有各次迭代值取，其误差不超过（3）故此迭代为线性收敛。10解：由于，为单调增函数，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。迭代函数，。令，则，由递推有，即11解:在(2)中,令,则有令,得,与第2题中(2)的结果一致,可取,则满足精度要求.对(3)有,原迭代不收敛.现令令12解：（1）Newton迭代法取，则，取（2）令，则，取13解：方程的根为，用Newton迭代法此公式迭代函数，则，故迭代法2阶收敛。还可证明迭代法整体收敛性。设，对一般的，当时有这是因为当时成立。从而，即，表明序列单调递减。故对，迭代序列收敛于习题八 1. 解：2解：由 得 3.。解：y=1,1,1'z=y;d=0;A=2,3,2;10,3,4;3,6,1;for k=1:100 y=A*z;c,i=max(abs(y);if y(i)<0,c=-c;endz=y/cif abs(c-d)<0.0001,break; endd=cend强特征值为11，特征向量为。4. 解：y=1,1,1'z=y;d=0;A=6,2,1;2,3,1;1,1,1;for k=1:100 AA=A-6*eye(3);y=AAz;c,i=max(abs(y);if y(i)<0,c=-c;endz=y/c;if abs(c-d)<0.0001,break; endd=cendd=6+1/c最接近6的特征值为6+1/c=7.2880，特征向量为。5.证明：（1），对称 （2）A是上Hessenberg阵，用Givens变换对A作正交分解，即显然A1也是上Hessenberg阵。6. 解：（1）A的强特征值为2.6181，特征向量为（2）for i=1:10Q,R=qr(A);A=R*Qend A的特征值为2.6180，0.3820（3），特征值特征向量7. 解：（1）(2) 8. 解：（1）for k=1:20p=A(3,3);AA=A-p*eye(3);Q,R=qr(AA);A=R*Q+p*eye(3)end全部特征值为 4 , 1 , 3(2) 全部特征值为 3.7321, 2.0, 0.2679 9. 解：（1）构造Householder阵H使即HAH的第一列为, （2）A的第二个特征值为 -3。10. 解：（1）全部特征值为 5.3465, 2.722, -0.0687（2）全部特征值为 6, 3, 1习题九 1. （1）欧拉法： ， ， ， 改进的欧拉法： ， ， ， 2. 显示答案 （1） ， ， ， 3. 显示答案 0.5000,1.1420,2.5011,7.2450 4. 显示答案 （1） ，2； （2） ，3； （3） ，4； （4） ，45. 解:直接将Eulerr法应用于本题，得到由于，直接代入计算，得到6. 解：用改进Euler法求解公式，得计算结果见下表用梯形法求解公式，得解得精确解为7. 证明根据局部截断误差定义，得将右端Taylor展开，得故方法是二阶的，且局部截断误差主项是上式右端含h3的项。8. 解直接用四阶RK方法其中计算结果如表所示：9. 解因f'(y)=-100，故
