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多元函数微分法讲义第十章 多元函数微分学§10.1多元函数：一、平面点集1、定义：把全体有序实数对组成的集合，称为二维空间，记为（或），（实际上这里的二维空间的概念就是解析几何中的二维空间概念）。下面我们看一看这里的二维空间有一个什么样的几何意义，显然都唯一对应着直角坐标平面的一个点，反之然，中的有序数对与直角平面上的点是一一对应的，它们的本质是一样的，可以不加区别，所以：可以把看成直角坐标平面，坐标平面也可以看成是二维空间，以后把叫点的坐标，而把看成是平面全体点的集合.2、平面上两点的距离（由解析几何知：）：设中的两点，则称叫P1与P2两点间的距离.···有叫三角不等式.请同学们回忆：数轴上邻域的概念（一维空间的领域）：3、定义2：设，以点为中心，为半径的全体点组成的集合：叫以点为中心，为半径的圆形领域记为：即·从几何上看：圆形领域就是平面上的一个开圆：讨论：集合表示一个什么图形？以为中心，为边长的开矩形的全体点组成的集合叫以为中心的半径的方形邻域.圆中有方，方中有圆，方形领域与圆形领域是等价的.以后在证明题目时，可以取圆形领域，也可以取方形领域，都一样.把圆形领域和方形领域统称为为心，为半径的领域，记为.去掉邻域中心后的集合叫去心领域，记为.讨论：去心领域怎样表示：圆形去心领域，方形去心领域：当不需指出半径时，领域可简写为有了领域的概念后，就可以定义两个特殊的概念：开区域和闭区域。3、定义3：设是平面点集，是平面上一点。1）若，有，则称是的内点。2）若，内既含有中的点，同时又含有不属于的点，则称是的界点，并把全体界点组成的集合叫点集的边界.1）讨论：的内点和界点的区别在哪里？内点是，存在一个正数，使以为中心为半径的领域完全包含在中，若有中的点同时也有不属于的点就是界点讨论：下面点是内点还是界点，为什么？2）的界点有多少个？都属于吗？的边界是否属于？（）（2）（1）···3）若，领域内含有的无限多个点，则称点叫的聚点，（讨论如上图，内点是不是聚点？界点呢？（不一定！）聚点是否一定属于？）4）若，使，则称是有界点集，否则叫无界点集。讨论：下面点集是有界点集还不是无界点集？1）2）第一象限：3）4、定义：设是平面点集：（开、闭区域统称为区域）1）若的任意点都是的内点，且的任意两点都能用属于的折线连接起来（称的连通性）则称是开区域。（如上图）2）由开区域和它的边界构成的区域G的闭区域。讨论：下列点集是不是开或闭区域。并指出它的有界性和内点、聚点和界点。1）（开区域，有界）2）3）4）（闭区域，无界）5）（不是区域（？没有内点；只有界点集）6）（是区域的边是，表示抛物线下方全体点组成的点集，不含边界）5、有界区域的直径：设是有界区域，把叫有界区域的直径，记为：.讨论：下列点集的直径（）？1） 2）长方形：3） 是无界区域（没有直径）4）,.注：上面的定义及定理（概念）可以推扩到n维空间上去.例：描绘下列点集，并指出开、闭性，有界性，聚点、界点及边界。2）3）1）解：1）是二维空间的点集，点集的边界是（是无界闭区域）2）是二维空间的点集，边界是曲面，是椭球内部的点，不含托球面上的点，是有界开区域.3）是的点集，边界是三个坐标面及平面，是这四个面围成的四面体的全体点，是有界闭区域。作业1521、5二 多元函数1. 二元函数定义：设是二维空间的非空子集，若，按某一对应法则，都唯一的对应着一个实数，则称对应法则是定义在上的一个二元函数记为，。把叫的定义域，全体函数值组成立集合：叫函数的值域。例如：是定义在闭圆的一个二元函数。2. 二元函数的图像设二元函数的定义域为，显然是是平面上的一个点集。，都对应着一个函数值，于是就确定了中的一个点，当在中变化时，就得到了中的若干个点，把这些点组成的集合叫函数的图象。一般地二元函数的图象是中的一块曲面。例：判别下列函数的图象是什么图形1）（）闭圆上的上半球。2）， ，是在三个轴上截距为的一个平面。当自变量是三个时，叫三元函数，是个时叫元函数（见P144定义），. 把二元和二元以上的函数叫多元函数。为什么要把函数分为一元和多元呢？因为一元函数过渡到二元函数时，有些性质要发生变化，但从二元过渡到三、多元函数时，性质就完全一样了.我们知道二元函数的定义域是中的一个点集，其图象是的一块曲面（一般情况下）三元函数的的定义域是的一个一个立体，而函数的图象是的一个点集，没有同和何模型.例：求下列多元函数的定义域，并指出定义域所表示的图形，1）2） 3）解：1）定义域是上以为边界（不包含边界）的半平面2）是上以为中心1与2为半径的闭圆环。3）是上以球面为边界的开球体。例：已知求作业：1439, 10, 11, 123. 二元函数的极限在一元函数中，是指当在X轴上，从的两侧以任意方式趋于时，都超于，用“”语言来描述，。那么二元函数的极限又怎样呢？设是的定义域D的一个聚点。A是一个常数。二元函数的自变量的变化范围不再只是轴上的一个区间，而是平面的一个平面区域.所以二元函数的极限应该是：当动点以任意路径和任何方式(其趋于的路线可以是直线，抛物线或任意曲线)都有：，这时把A叫二元函数当时的极限记为，又，上面的极限又可改写成：上面根据只是一种形象的描述，下面定出严格中的“”定义。（1）二重极限定义：设函数在区域的有定义，是的聚点，是常数.若，则称函数在点二重极限是.因为：上面定义又可写成：定义：设定义在点集上，是D的聚点，是常数.若则称函数在存在极限A，记为.1）解释定义的义意：，当点一旦入进了以为心的的去心邻域，函数在点的函数值与A的着的绝对值就小于.2）上面定义可写为：例：用“”定义证明：1）1）分析：用定义证明二元函数的极限的方法与一元函数完全一定：首先后有.可先由解出一个含与的不等式，通过观察可找出.证明：1）（本题领域是，要想办法在绝对值中找出），就有。2）分析：（要通过不等式向右方放大，消去，这须把点限制在的某一个邻域里找出它们的界即可. （把限制在以点的“”领域中），证明：取，限制：，要使成立，只要取即可.讨论1：限制的目的是什么？半径不取，可不可？例：证明：函数，在原点（0,0）的极限是0.讨论：函数在原点（0,0）有没有定义。（没有！）证明：0,（分两种情况讨论。？当进入以（0,0）为心的领域时，函数值有两种情况）；1）当时，显然都2）当 ， 综上所述：从本题看到在（0,0）无定义，但存在极限，函数在点P0的极限与在点P是否有定义无关。讨论2：当沿一条固定的路径，趋于：时，能不能说在存在极限？（不能）。例：证明在原点（0,0）不存在极限分析：极限定义的意思是：不管点以什么方式和什么路径超时于时，都有，因此要证在不存在极限，只须证明，当沿两条不同的路径超于时，超于不同的两个数；或沿某一条路径不存在极限不存在即可。（可通过观察取两条特殊路径证之）.证明：当动点沿直线趋于点时有： 。当动点沿抛物线趋于（0,0）时。在点（0,0）不存在极限。课堂作业：证明：在（0,0）不存极限。取路径：1）；2）作业：P1551, 3, 4前面我们讲了时的极限概念，下面对这个概念加以扩展，在一元函数有：，类似的定义：1）：2）：3）：上面我们讲的二元函数的二重极限在本质上是：是两个互不相关的，互相独立的变量，当它们以独立的，任意方式同时，时，都有，就称A是在点的二元函数的二重极限（即：极限）.二重极限的性质和有关定理与一元函数的极限相似，略：下面讲一种新的极限：二次累次极限（2） 二次累次极限：（1）若当时（看作常数），函数存在极限，设，且当时，存在极限：，则称B叫在点先后的二次累次极限：，（1）若当时（看作常数），函数存在极限，设，且当时，存在极限：，则称叫在点先后的二次累次极限：，注：一般情况下不一定等于C.实际上二次累次极限就是两次求一次元函数的极限，只须用求一元函数的极限方面的知识就能求二次累次极限。例：求因为二重极限和二次累次极限是两个完全不同的概念，它们没有必然的联系。注：1. 因为两个累次极限：实上是对的一元函数不同顺序的极限，所以两个累次极限可能不同，甚至一个存在另一个不存在；例如：不存在（存在，时不存在）；而累次极限可以不存在.注2. 二重极限存在，但累次极限可能不存在；或两个累次极限存在相等，但二重极限可能不存在：例如：，在原点（0,0）两个累次极限存在且相等，但二重极限不存在；例. 证明：函数在（0,0）二重极限存在，但累次极限不存在.证明：显然，累次极限的计算要比二垂极限简单得多，所以我们希望通过累次极限来计算二重极限，那么在什么条件下它们相等吗？4. 定理：若二元函数的二重极限和累次极限（都存在，则：推论：（充分条件）：若下面三个极限都存在：，则两个累次极限存在且相等；等于其二垂极限：例：已知：存在点（0,0）存在二重极限，求；作业：P15674. 二元函数的连续性我们曾经定义了一元函数一元函数在一点：连续：若，则称在点连续.这个定义我们可以推广到二元函数和元函数上去：（1）定义：设二元函数在区域有定义，点(a,b)，若：，则称在(,)连续.讨论：上面定义用“点表示法”怎样书写：设函数在区域有定义，点，若，则称二元函数。即：设是区域的点，在，例：已知.定义：若二元函数在区域的每一点都连续，则称在区域连续。2、连续函数的性质（150）1）若在点都连续，则；，（）在点也连续，称为连续函数的四则运算。2）连续函数的复合函数也连。（P150）3）Th4（保号性）4）若二元函数关于或的一元是初等函数，则称是二元初等函数。二元初等了函数在有定义的点都连续，（一般地，用一个解析式表达的二元函数都是初等函数）。请同学们自学 Th3Th8下面介绍一个间断点的概念：请大家想一想在点连续应满足几个条件：1）在有定义；2）存在极限；3）在的极限值等于其函数值。上面三条任破坏一条，函数在点都不连续。定义：若在不连续，则称是的间断点（或不连续点）。二元函数的间断点集常常是平面上的一条曲线。（裂缝）例：求下列函数的间断点，并指出其图形1） 2）解：1）由得。间断点集(0,0)，且。例：求下列极限：1） 2） （令，则） 3）4）上面二元函数的定义和性质可以推广到元函数上去.作业：（参考）5；6.10作业评讲：1、下面做法是否正确，为什么？（是否正确关键是判别是否存在）上面做法不正确。由定理知：必须是二重极限和累次极限存在时，才能象上面这样做。正确做法：令，则原式=2（）=2（）2、注：令，则.3、若将函数限制在区域=(x,y)|y|<x2，例函数在原点（0,0）存在极限（关于）。分析：这里动点P(x,y)的变化范围是，P只能取内的点：|y|<x2，只须证明：（即：满足条件|y|x2的点P（x,y）：的，的找法与前面的一样。证明：；要使只须取（注：不等式中不含，表示对任意，时，都能保证）证明：，取都有.#.讨论：能源能说在（0，0）的二重极限是？（不能，二重极限的动点必须是邻域：，的全体点，但上题中的P不能取M域的全体点，而只能取）。不是二重极限，而只是限制在中的极限，实际上在（0,0）不存在二重极限。当动点沿轴x=c趋于（0,0）时，当沿x轴y=0趋于（0,0）时，。 作业： : 1 (1),(2); 6; 7;10; 11. §10.3 多元函数的微分法在讲多元函数的导数前，首先来回忆一下导数的概念：设在有定义：若把一元函数导数的概念推广到多元函数上去，就是下面要讲的偏导数的概念：偏改变量：设二元函数定义在区域，是的内点，将看作常数，给一个改变量，于是就得到的另一个内点（），把这两点的函数值之差：叫在点关于x的偏改变量。同样：把叫在点关于的偏导改变量。1.偏导数定义：若函数在点的关于的偏改变量与之比的极限：存在，则称此极限叫在关于x的偏导数，记为（）. 同理称：，叫在关于的偏导数，记为例：已知： ， 求解：当为区域的任意点时：二元函数在任意点的偏导数为：（叫在关于的偏导数）（叫在关于y的偏导数）它们仍然是关于、的二元函数，又简称偏导函数。由于偏导数在本质上就是导数的概念，所求关于偏导数时，只须把看成常数，对求导即可.例：已知，求，例：已知： ，求关于与的偏导函数，.分析：是分段函数，对于不同的表达式，要分成不同的情况来计算。解：当，（是一个连续可导的函数，可以直接求偏导）当（,）=（0，0）时（是求节点的导数，只能根据定义求），例：设 .分析：在求时，看成常数，对求导.解： 例：设，求分析：函数是与=的复合函数，由复合了函数的求导法则：（也可以两边先取对数再求导）。解：由复合函数的求导法则下面两个请同学们自己计算。课堂作业，计算 求导，解：令，则，由复合函数的求导法则在一元函数中，在点的导数的几何意义是曲线在的切线的斜率。那么偏导数的几何意义是什么？的几何意义：曲面与过轴点且垂于y轴的平面交线的方程为： 偏导数的几何意义：表示过交线上的点的切线的斜率；表示过曲线上点的切线斜率。在一元函数中，若在可导，则在连续，即在连续是在可微的必要条件。那么这一条性质在二元函数中是否成立呢？实际上：注：在二元函数中，仅管在点两个偏导数，都存在，也推不出 连续，这是多元函数与一元函数的一个不同之点。例：证明，在存在两个偏导数，但在原点不连续.证明：同理（要证在不连续，只须证明：不存在极限）当以趋于时，当以趋于时，所以连续.作业：P176 1、2、2全微分定义：在一元函数时我们曾经定义了函数在一点的微分的概念：若函数在点的改变量能表成：（即表成的一个线性函数与高阶无穷小的和）就称在可微，并把就微分，后面我们进一步推出：。这一概念可以推广到多元函数上，就是下面的全微分的概念：2. 全微分的定义：若二元函数在点的全改变量：可表成：，其中，是与、的无关的常数。则称二元函数在点可微，且把线性主部叫函数在点的全微分，记为注：全微分的定义必须满足两条：1）的线性（一次）函数（即A、B与无关的常数）。2）是的高阶穷小（），即在上面定义中，我们自然要问系数A、B是什么呢？3. 定理：（可微的必要条件）：若二元函数在点可微，则函数存在两个偏导数与，且，。讨论：上面定理实际上告诉我们在可微的必要条件是什么？证明：在点存在全微分。，令，想一想变成了什么？则 存在，同理：=。由上面定理得：，当在区域的任一点都可微时，称在区域可微，且.这里我们要指出：在一元函数中，在一点可微在可导，但在二元（或多元）函数中：可微在存在两个偏导数（即：；但存在两个偏导数（可导）在可微。注：在二元函数中，“可导”仅仅是“可微”必要而不充分的条件.例：设，证明在可导，但不可微.证明：由前面17页例题知：，在点可导，又，取。则，不是的高阶无穷小，。于是，自然要问，在什么条件下，可微呢？即：充分条件.4.定理（可微充分条件）： 若二元函数的邻域存在偏导数，且两个偏导数在连续，则在可微。注：的偏导数在点，连续仅是在可微的充分而非必要的条件.例：设=，则函数的两个偏导数，在点不连续，但在可微.分析：首先计算偏导数.证：当时，当时，因为：=同理（下面证明导函数在不连续）取轴，当动点P轴超于时，在（0,0）不存在二重极限，在原点不连续.（下面证明在点（0，0）可微，只须证明：）因为：，所以： （注：）.例：计算出数在点，0.01，0.03的全微分，并计算：的近似值.解：， 函数在点（2,01，1，03）的全微分+0.0278=0.6944上面全微分的概念也可以推广到多元函数上去：在点的全微分：例：计算=的全微分。注：在一元函数中，一阶微分具有形式不变性，而高阶微分不具有形式不变性，这一性质对于多元函数是否成立呢？多元函数也具有一阶全微分形式不变形，而高阶全微分不具有形式不变性.作业：P177 9、10、11、16、154. 全可微的几何意义（偏导数在几何上的应用）：一元函数在可微的几何意义是：曲线在点存在切线斜率是：.那么二元函数，可微的几何意义又是什么呢？（1）切平角和法线：在空间解析几何中知道：一个三元一次方程表示一个平面，而一个三元高次方程表示一个曲面S：.设空间有一个曲面S，其方程为，点是曲面S上一点，则曲面S可看成是过M点的无限条光滑曲线组成的，而每一条光滑曲线在点都有一条切线，过点也就有无限多条切线（由立体几何知：）这无数条切线位于同一个平面，从而这无数条切线就构成了一个平面，这个平面叫曲面S在点的切平面，过点而垂直于切平面的直线叫曲面S在点的法线，叫切点.（2）定理：二元函数在点P0(x0,y0)可微平面：是曲面S：在的切平面.曲面S：在的切平面，且切平面的法向量是：.而这个法向量正好是法线的方向矢量，所以法线方程：注：（由必要性知：）函数在点可微的几何意义是：由面S：z=存在切平面，且切平面的法向量是：.这就为我们认识全微分提供了一个很好的几何模型.例如锥面在顶点不存在切平面，函数点（0,0,0）不可微.注：在解析几何中知道：空间矢量与三个坐标轴正向夹角;叫矢量的方向角。而方向角的余弦叫矢量的方向余弦.矢量的方向余弦也叫空间直线的方向余弦.由解析几何知道：若，则 .例：求曲面在点M（2 1 4），的切平面、法线和法线的方向余弦。解：， ， 切平面的法向量，切平面：法线： 又， ， .作业：P188：12， 15， 165. 复合函数的微分法下面我们来讲多元函数的复合函数的微分法：1、定理：若二元函数在点的邻域存在连续的偏导数（可微）而，可导，则复合函数在地可导，且。定理的意思是：函数与所复合成的复合函数：的导数为：z对第一个中间变量的偏导乘以第一个中间变量对的导数，加上对第二个中间变量的偏导乘以第二个中间变量对t的导数。例：设，其中，计算解：，而， 熟悉以后可以直接计算：讨论：本题可不可以用一元函数的复合函数求导： 当然对于一般情况而言，用一元函数的复合函数求导，在计算上是很麻烦的。课堂作业：计算下列导数1、，（。2、，求注意：在函数中，本身含有自变量，这时，我们可以即把复合函数中含的自变量看成中间变量，这时该自变量相对于其它自变量而言是常数。即：复合函数是由函数是由及中间变量，复合成复合函数：）解：以后可以直接写成：上面定理实际上解决了复合函数是一元函数的求导问题，那么当复合函数不是一元函数而是二元函数时怎么办呢？例如：由，而，求。推论：若二元函数在点可微，在点存在偏导数，则； .例. 已知，而，求.解：+课堂作业：求下列偏导数：1、 其中，计算，2、求，求 分析：这里，是自变量，若直接计算是比较困难的，为了简化计算，可考虑复合函数求导法，这就要引进适当的中间变量。解：令，则是由，注：若函数的解析式中含有中间变量，同时还含有自变量时，要把解析式中的自变量也看成中间变量，而应用复合函数的求导法则：若在点（），而在点存在偏导数，则：例. 设求：解：令则函数由复合而成.（注上面求偏导数时，首先要搞清楚自变量是那两个量，这两个自变量是独立的，即：对求导把看成常数！）课堂作业：讨论怎用复合函数的求导法则，计算下面偏导：（1） （2）（，是自变量，令）则. (当变化时，t不变，相对于而言是常数)2、 则：当中间变量的个数多于2时，并且满足定理的条件，其结果类似：设在点可微，而在都存在偏导数，则复合函数：在也存在关于s,t的偏导,且：讨论：如果中间音量有四个、五个等时，偏导数怎样求例：设， ，求解：（对那个字母求导，就把这字母看成变量，其它字母看成常量）例：设解：令可看成是复合而成的复合函数）课作业：已知：求解：令，课作业：已知：求解：令，例：设其中，计算.分析：此题的函数与上面例子不同，函数本身含有自变量，同时还含有中间变量，这时我们可以把数函中的自变量看成是中间变量，于是函数可看成是由中间变量，复合成的复合函数：。于是由复合涵数的微分法：.作业P174，2 (1) (3) (6) (7) (8)（用复合函数的求导法则）；5、6、11、12五、方向导数在研究方向导数以前，先来看一看一元函数在导数的义意：在一元函数中我们把函数的改变量与自变量在的改变量之比：叫函数在的平均变化率，而把叫函数在的瞬时变化率，也叫在的导数。在的导数实际上就是函数的瞬时变化率。那么，这个瞬时变化率：的物理意义是什么呢？设表示质点的运动方程，（表路程，表时间），则表示质点在时刻的瞬速率，瞬时速率不是瞬速度，速度有方向，当时，把叫函数沿轴正向的变化率，而在则表示质点沿轴正、负向的速度.而函数的瞬时变化率的几何意是什么呢？它表示曲线在点的切线的斜率为：。在二元（或多元）函数中，的偏导数的义意：实际上表示函数沿着轴（两个）方向的改变量，（动点P是从P0点出收沿轴方向变动的）。实际上表示二元函数在沿平行于轴（两个）方向的平均变化率，而偏导数则表示函数在点沿平行于轴两个方向瞬时变化率，它的几何意义，则表示交线，在点，的切线斜率。同样，表示函数在P0点沿y轴方向的瞬时变化率，几何义意是交线在点的切线斜率。但在物理、化学或其它斜研中，常常要研究函数在P0点沿任意方向的瞬时变化率，这就是我们下面要介绍的方向导数的概念。1、方向导数：设射线的顶点为，给任一个改变量得到上任一点，用，则： （其中是射线的方向角）。定义1在以为顶点的射线上任取设，若极限存在，则称此极限是函数在P0点沿射线的方向导数，记为或。即：/讨论：1、方向导数，是不是沿射线方向的瞬时变化率？（）相当于自变量的改变量，在沿射线方向的方向导数就是在点沿方向的瞬时变化率。讨论2：偏导数是不是方向导数？偏导数实际上是特殊的方向导数，当，偏导数（）就是在点沿轴平行的方向（两个方向）的方向导数，（注方向导数只沿一个方向：射线的方向）反之，方向导数是偏导数沿任意方向的推广。我们还可以把方向导数（二元函数）推广到三元乃致多元函数上去：定义2，设是空间射线的顶点，在上任取一点，设，若极限：存在，则称此极限值叫函数在P0点设沿射线的方向导数，记为或，即：。同样：三元函数的偏导数和方向导数之间的关系是：分别表示函数沿平行轴方向的方向导数；而在沿任意方向的方向导数实际上是偏导数沿任意方向的推广。注：方向导数实质上是函数在点P0关于任意方向的改变量：与之比的极限： （其中：）这概念还可以推广到多元函数上去介绍了方向导数的概念后，下面我们来研究一下方向导数存在的条件。下面以三元函数为例介绍方向导数存在的条件。Th5，若函数在点可微，则函数在点沿任意射线的方向导数都存在，且.（其中：是射线的方向余弦.）注：Th5告诉我们在点沿任意方向的方向导数存在的充分条件是：在可微，而且进一步指出了方向导数可由偏导数表示出来：证明：（分析：由在可微能得出什么结论：在点的全改变量）=，那么怎样由此等式结论：，将等两边同除证明：在可微，全改变量。 有 存在.讨论：我们用表示射线在点关于射线反向的方向导数，那么，是否存在，如果存在（存在，与的方向余弦只是一个页号，）讨论：用分别表示在点轴正方和负向的方向导数，则：在存在偏导数的充要条件：最后我们指出Th的条件只是充分的，而不是必要的：即：若在点不可微，则在沿任意线射的方向导数可能存在.例：证明：函数在点（0,0）不可微，但沿任意射线的方向导数都存在.证明（欲证在（0,0）不可微，只须证明在（0,0）不存在两个偏导数），当时，不存在，在（0,0）不存在关于的偏导数，同理也不存在关于的偏导数。在（0,0）不可微。又设点（0,0）沿任意射线的方向余弦是，在上任取一点0+,0+，所以，存在.作业：P177,6P188： 13, 14§10.3 二元函数的泰勒公式一、高阶偏导数：前面我们看到二元函数的两个偏导数仍是二元函数，例如. 于是我们又可对偏导数在求导。把对的关于x的偏导数记为或,即：，同样有：fxy(x1y)()讨论：或；或表什么意思？把函数的导函数的四个偏导数，fyx(x1y)，叫函数的二阶偏导数。（其中fxy与fyx叫混）。讨论1：怎样写出函数在点的二阶偏导数的定义？ 讨论2：二阶混合偏导数fxy与fyx是对自度量x、y的不同顺序的求偏导，它们是否根等呢？（看下列例子）例：已知f(x1y)= 证明.证明：，当时, =同理:= . 于是：两个混合偏导数是关于不同顺序的求偏导，它们不一定相等。那么两个混合偏导在什么条件下才相等呢？定理：若二元出函在区域D存在二阶混合偏导数且它们在点连续，则此定理告诉我们二阶混合偏导数在连续的条件下就相等。因二阶偏导数是偏导数的偏导数，求二阶偏导数时，只须对一阶偏导数再求偏导就可以了。例：的二阶偏导数解：，课堂作业，求二阶偏导数：（1） (按课堂作业（2），见后面)1.已知：.2. 设.解：令，则，所以;课堂作业：求（）课堂作业：例. 设令：，则：，例一，证明：若，则：分析：实际上是证明 是偏微方程的解。这只须把三个二阶导数求出即可。证明：P168例2已知：=-，= , =-，代入方程左边得：补充作业：1、证明：满足微分方程：2、设，求：，3、设， , ,求 、.4. 设，证明：二.二元函数的中值定理及二元函数的泰勒公式1. 二元函数的中值定理：若函数f（x、y）在点P0（xo、yo）的邻域G存在两个偏导数，则全改变量：其中，这个定理叫二元函数的中值定理.在上册我曾介绍了一元函数y=f(x)的泰勒公式：若在a的邻域存在n+1阶连续导数，则有：（0），令a=0，就得到了f（x）在a点的麦克劳林公式.把这个定理推广到二函数上去就是下面的二元函数的泰勒公式.2.（P163）定理2：若函数f（x，y）在点P（a，b）的邻域存在n+1阶的导数，则有+ .其中符号（在点P（a，b）的值.当点P（a，b）=（0，0）时，就是麦克劳林公式：f（h，k）=f（0，0）+ （想一想：令h=x，k=y公式的形式怎样？）.二元函数的泰勒公式中，当n=0时，有：f（a+h，b+k）=f（a，b）+k. 这就是我们前面介绍二元函数的中值定理另一种形式.2. 二元函数的极值：上册学习了一元函数的极值，把一元函数的极值推广到二元函数上，就是下面所研究的二元函数的极值.（1）定义：设函数在点的邻域有有定义：，若称是函数的一个极大值，并把点叫函数的一个极大值；若称是函数的一个极大值，并把点叫函数的一个极大值点；（2）稳定点定义：把方程组的解所确定的点叫函数的稳定点.（3）定理：设点是函数的极值点，则.注：本定理说明：极值点必是稳定点，但反之不然.（4）极值的充分判别法：设函数有稳定点，且在的某邻域存在二阶连续偏导数.令,则： 若，则是函数的极值点，且若，则不是函数的极值点，若，则可能是，也可能不是函数的极值点.例1. 求函数的极值.解：因为解得稳定点：, (为了计算，先求二阶偏导数)， ， A或C不去极值不去极值不去极值极大值所以是极大值点，极大值为.（4）二元函数的最值：设函数在区域有定义， (或)，则称是函数在区域的最大值（或最小值），称其最大值点（最小值点）.注：最值可能在区域内部取得，也可能在区域边界取得，所以必须把区域内部的全体极值和边界的全体最值求出来，加以比较方可得到函数在区域的最值.例2. 求函数的最值.解：（先求定义域）函数的定义域，得稳定点，而边界，（因为是常数，所以可以看成是最大值，也可看成是最小值）所以：，所以函数的最小值是0，最大值是注：在一些实际问题中，可以根据实际意义判别函数的最值：若函数有最大值（或最小值），且在区域内只有唯一的稳定点，则这个稳定点必是最值点.例. 用钢板制造容积为的无盖长方形水箱. 问水箱的长、宽、高各为多少时，水箱的容积最大？分析：设水箱的长、宽、高各为； 钢板最省表面积最小，所以：问题转化为：各为多少时，表面积最小. 这关键是找出：和的函数关系.解：设水箱的长、宽、高各为表面积为，则（想办法化为二元函数-？）代之有： 得：函数在区域有唯一稳定点，又因为函数在区域有最小值，所以唯一稳定点就是其最小值点，此时. 所以当：长宽，高时钢板最省.例3. 设有半径为的圆的内接三角形，问怎样的内接三角形有最大面积？分析：设面积为，三个中心角为.因为·的形状由三个中心角为唯一确定，所以问题就转化为为多少时，面积最大.解：设三边所对的中心角为:, 面积为. ，定义域为：，因为函数在区域只有唯一稳定点，又因为函数在区域有最大值，所以唯一稳定点就是的最大值点，当,最大，这时三角形为等边三角形. 作业： P210：12.：（1）（3）（4）、13.、14、11. 第十一章 隐函数存在定理§11.1 隐函数的存在性隐函数的概念: 在上册P177我们已经介绍过，一个二元方程F(x，y)0在一定条件下可以确定一个函数，把由方程F(x，y)=0所确定的函数叫隐数。如果用代数的方法将由方程F(x，y)=0所确定的隐函数表为：例如：由，可解得：，这样就把由方程所确定的隐函数表示成了显函数，并且这样的隐函数都是初等函数.例：求由方程所确定的隐函数.实际上，由一个方程组也可以确定一个隐函数组，例如： 在的条件下就确定一个隐函数组： 一般地一个元个方程组成的方程组，在一定的条件也可以确定一个个函数组成的隐函数组.现在我们提出一个问题：怎样来研究隐函数（或者隐函数组）的分析性质？（即：连续、可微、可导性）显然如果能把隐函数表成显函数，则隐函数的分析性质就可以转化成显函数来研究，但绝大多数隐函数都不是初等函数，从而不能用代数的办法解出来。例如：在原点（0,0）的某邻域内确定一个隐函数，但却不能把此隐函数表成显函数的形式.那么怎样来研究由方程，所确定的隐函数的分析性质呢？这就是下面我们要的隐函数存在定理.1. 由一个二元方程确定的隐函数存在性定理：（1）隐函数存在定理1：若函数在以点P(x0，y0)为心的矩形区域D满足下列条件：1）2）3）.则：）隐函数,使, ,且 ) ).讨论：定理结论中的）) )说明什么?例:验证方程在原点(0,0)的某邻域确定了唯一的隐函数并求.解:,在点(0,0)为中心的矩形邻域连续; 2) F(0,0)，3) 由定理1: 在的邻域，而注:求隐函数的导数时,可以将方程两边同时对求导,求导时要把隐函数看成中间变量应用复合函授的求导法则进行计算.解: 两边对求导: y+xy, .例: 验证方程 在点(1,0)某邻域确定隐函数解:令 ，= ，在点(1,0) 某邻域D连续. 2) F(1,0), 3) 所以由方程在点邻域(1-确定隐函数 且)注: 以后当题目没要求时,可以不验证,而直接求导.例: 求由方程所确定的曲线在点的切线和法线. 解：， 切线：2.定理2（书P205）：若函数在点为中心的矩形邻域满足条件: ). )=0 ),则在点 的邻域存在唯一一个有连续偏导数的隐函数 且注:上面定理2就是定理1推广到元隐函数的情形, 应用定理2时,关键要搞清楚那一个变量是隐函数.例: 求由方程所确定的隐函数的偏导数.解: 令 ,=注: 在求多元隐函数偏导数时,也可将方程两边同对自变量求偏导数, 求偏导数时只须把隐函数看成中间变量,应用复合函数的求导法则计算即可.解: 将方程两边对求偏导:cosz , .作业: P216: 1. 2. 3. §11.1隐函数的存在性在上新课之前,我们先来复习一下变换的概念: 设,则把A到R的一个映射:叫A到R的一个变换,也叫定义在A上关于的一个函数记为 ,所以A上的一个函数就是A到R的一个变换.同样,二函数就是二维空间的子集A(A到R的一个变换.元函数 就是维空间的子集A到R的一个变换.也可以把这个概念推广到函数组上去就是维空间的子集A到二维空间的一个变换.而函数组 , 就是维空间到维空间的一个变换,它把的点变换到了中.1.函数行列式(雅可比行列式): 设有个元函数组成的元函数组: (1)特点及记忆方法.式记为: (, 若(I=1,2,; j=1,2,n)都存在, 则称行列式: 叫函数组(1) (的函数行列式记为: (或)= , 请大家观察一下函数行列式的结构 当然函数行列式的结果还是一个函数,且当动点为一个已知点时, 函数行列式: =的结果就是一个数.例: 求函数组的的函数行列式及 解: =2z(