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第一章 函数一 内容提要：1. 集合：集合的概念；集合的运算.2. 区间和邻域:(1). 区间：实数区间R=(-，+)；自然数全体N=0,1,2,3,；整数全体Z=,-3,-2,-1,0,1,2,3, ； 开区间(a,b)=|ab；闭区间a,b= |ab；半开半闭区间(a,b= |ab；a,b)=|ab；（2） 邻域：邻域的概念是本章的重要概念，在以后的应用中经常出现，这里有必要把这个概念再详细复习一下:l 的邻域：设为一个实数，0，满足不等式的一切实数，即集合的全体实数叫的邻域. 叫邻域的中心，叫邻域的半径，的邻域记作U(,),即.满足的一切实数，即满足的一切实数，就是开区间内的一切实数，从几何上讲的邻域就是以为中心，2为长度的开区间. .l 的去心邻域：记作,Oy称为的左邻域，称为的右邻域.3. 函数的概念(1). 函数的定义.(2). 会求函数的定义域.(3). 函数的基本性质：函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性.4. 分段函数、取整函数：因为分段函数今后经常遇到，有必要在这里强调一下.(1). 分段函数：有的函数在定义域的不同部分用不同的解析式子表达，这样的函数叫做分段函数. 例如:yO1-1绝对值函数： 符号函数：(2). 取整函数：也是一个分段函数，我们单独拿出来讨论一下. 设是一个实数.表示不超过的最大整数，即 y= =n，,叫做取整函数，它的图形是一个阶梯曲线. 5. 复合函数、反函数：(1). 复合函数:两个或者更多函数如何复合成复合函数，在后面典型例题中给几个例子.(2). 反函数：设函数的定义域是D(f)、值域是R(f),如果对于每一个R(f),都有唯一的D(f)与之对应且满足y=f(),则是定义在R(f)上以y为自变量的函数，记此函数为：.并称为的反函数，通常将的、对调得函数，我们称互为反函数.如何求一个函数的反函数，也在典型例题分析中给出例子.6. 基本初等函数与初等函数.7. 函数关系的建立.8. 经济学中常用的函数.(1). 需求函数：Q=f(p),其中p表示某商品的价格，Q表示需求量.(2). 供给函数：Q=(p),其中p表示某商品的价格，Q表示供给量.(3). 成本函数：C=C0+C(Q),其中C0为固定成本，C(Q)为可变成本，Q为销售量.(4). 收益函数：R=PQ，其中p表示某商品的价格，Q表示销售量.(5). 利润函数：L= R(Q)- C(Q),其中R(Q)为总收益、C(Q)为成本.二 典型例题解析：例1 用区间表示下列不等式中的变量的变化范围:(1) ; (2); (3) .分析：解上面问题要由绝对值不等式的几何意义以及数轴上点的位置关系将点集用区间表示.解：(1).根据绝对值的性质有>+1或<-(+1).>+1无解，<-(+1)得：，即. (2).解法1：两边平方去掉绝对值符号得： 解法2：根据绝对值定义: . .综上知：.(3)解法1.根据绝对值的性质:.解法2.根据邻域的定义，满足不等式的一切就是1的去心邻域.例2 求下列函数的定义域： 分析：函数定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.例3 判定下列函数在指定区间的单调性:分析：这里利用单调函数的定义或者几何意义进行讨论.例4 下列函数哪些是奇函数，哪些是偶函数，并说明理由. 分析：判断函数的奇偶性，只能利用函数奇偶性的定义，验证等式或者是否对任意实数均成立.例5 判断下列函数那个是有界函数、哪个是无界函数？例6 判定下列函数是否为周期函数，若为周期函数求其周期:例7 求下列函数的反函数以及反函数的定义域:例8 .例9 设三 本章习题全解习题111. 按下列要求举例： (1).一个有限集; (2).一个无限集; (3).一个空集;（4）.一个集合是另一个集合的子集.解：(1).大于5而小于10的正整数组成的集合6,7,8,9.(2).大于5而小于10的实数组成的集合|5<<10.(3).平方小于-1的实数.(4).正整数集合是实数集合R的子集.2. 用集合的描述法表示下列集合: (1).大于5的全体实数集合; (2).圆内部(不包含圆周)一切点的集合; (3).解：(1).|>5, R ; (2). ;(3). .3. 用列举法表示下列集合: (1).方程的根组成的集合; (2). ; (3).集合|-1|5的整数解.解：(1). 得：=3或=4解集为3,4.(3).解|-1|5得 -46,|-1|5的整数解为-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6.4. 下列哪些集合是空集：A=|+1=0 ； ；.解：上述集合中B、C、E为空集.5. 写出A=0,1,2的所有子集.解：A=0,1,2子集有空集、0、1、2、0,1、0,2、1,2、0,1,2共八个.6. 如果集合A有n个元素，问A共有几个子集、几个真子集？解：集合A有n个元素，A的不含任何元素的子集只有一个为空集，含有1个元素的子集有含有r个元素的子集有.，含有n个元素的子集有个. 7. 如果A=0,1,2、B=1,2，下列各种写法，哪些是对的？哪些不对？ 其他都是错误的.8. 设A=1,2,3，B=1,3,5，C=2,4,6求：9. 如果I=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，B=2,4,6求: . 10. 如果A是非空集合，下列各个等式哪些是正确的？哪些是错误的？AA=、AA=A、A=、A=A 、A=、A=A、AA=A解：下列等式是错误的：AA=、A=、A=A、AA=A，其余等式是正确的.11. 如果A=a,b,c,d,B=a,b,c，求A×B解：A×B=(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c),(d,a),(d,b),(d,c)12. 设集合.13. 用区间表示满足下列不等式的所有的集合：(1). |3; (2).|-2|1; (3). |-a|<(为常数,>0) ; (4). |5; (5).|+1|>2.14. 用区间表示下列各点集，并在数轴上表示出来.(1). A=| |+3|<2; (2). B= | 1<|-2|<3 .解：(1). |+3|<2可得：-5<<-1 (-5,-1) .(2). 1<|-2|<3可得：-1<<1或3<<5,(-1,1)(3,5). 习题121. 下列对应关系是否为映射？ X=平面上一切三角形.Y=平面上全体点，X、Y之间的对应关系是：每个三角形与其重心对应.解：构成映射，按照映射的定义，只要X中每一个元素按照对应法则在Y中都有一个确定的元素与之对应即可构成映射，X中每一个三角形在平面内都有一个确定的点是该三角形的重心，所以构成映射.2. 求下列函数的定义域：;3. 下列各题中函数f()和g()是否相同？为什么？ 4. 确定函数 函数图像见下图：5. 判断下列函数中哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？6. 判断下列函数单调性： 7. 下列各个函数哪些是周期函数？如果是指出其周期. 8. 设为定义在(-2,2)上的奇函数，若函数在(0,2)内单调递增，求证在(-2,0)内也单调增加. 9. 设下面所考虑的函数都是定义在区间(-2,2)内的证明：(1)两个偶函数的和还是偶函数；两个奇函数的和还是奇函数. (2)两个偶函数的积还是偶函数；两个奇函数的积是偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数.10.习题131. 求下列函数的反函数:2. 在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这个函数分别对应的给定自变量值的函数值. 3. 指出下列函数的复合过程： 4. ;.5. . 6. 设的定义域是D=0,1，求下列函数的定义域. 习题141. 求下列函数的定义域:2. 下列函数中哪些是初等函数？哪些不是初等函数？3. 4. 5. 由的图像做出下列函数的图像. 6. 由的图像做出下列函数的图像.7. 若是以2为周期的周期函数，且在-1,1上有 做出在内的图像.8. 设是在实数集R上有意义的偶函数，且对任意的R，都有，求在上的表达式，并做出在R上的图像.习题151. 某运输公司规定货物的运输价格为：在a公里以内，每公里k元，超过a公里，超出部分每公里元，求运价和里程S之间的函数关系.2. 拟建设一个容积为v的长方体水池，设它的底为正方形，如果池底所用材料单位面积的造价为四周单位面积造价的2倍.试将总造价表示成池底边长的函数，并确定其函数的定义域.解:设k为四周单位面积的造价，底面边长的，则容器的高为，则四周的总造价为，底面的总造价为，则容器的总造价为y,3. 设一个矩形的面积为A，试将周长S表示成宽的函数，并求其定义域. 4. 在半径为r的球内嵌入一个圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并确定其函数的定义域.5. 用铁皮做一个容积为V的圆柱形罐头桶，试将它的全面积表示成底面半径的函数，并确定此函数的定义域.6. 按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2，半年期存款的年利率是4.0，每一笔存款到期后银行自动将其转存为同样期限的存款，设将总数为A单位货币的该种外币存入银行，两年后取出，问存入何种期限的存款能有较多的收益？多多少？7. 某工厂生产某种产品，年产量为，每台售价为250元，当年产量为600台以内时，可以全部售完，当年产量超过600台时，经广告宣传又可再多售出200台，每台平均广告费20元，生产再多本年就售不出去了，试建立本年的销售总收入R与产量的函数关系.解：当产量在600台（含600台）以内时，销售收益为元；当产量超过600台而小于800台时，销售收益为R=230+20×600=230+1200(元)当产量超过800台时，销售收益为R=230×800+20×600=196000元习题1-61. 某厂生产录音机的成本为每台50元，预计当以每台元的价格卖出时.消费者每月(200-)台,请将该厂的月利润表达为价格的函数.解：销售收入为(200-),成本为50(200-)月利润为y=(200-)-50(200-)=(200-)(-50)元.2. 当某商品价格为P时消费者对该商品的月需求量为D(P)=12000-200P.（1） 画出需求函数的图像.（2） 将月销售额（即消费者购买此商品的支出）表达为价格P的函数.（3） 画出月销售额的图像，并解释其经济意义.解:(1).需求函数D(P)=12000-200P,做出函数图像如右图. (2).R(P)=(12000-200P)P. (3)做出月销售额R(P)的函数图像，其意义是销售价格为P时月销售总金额.3. 某报纸的发行量以一定速度增加，三个月前发行量为32000份，现在为44000份.PDO60（1） 写出发行量依赖于时间的函数关系，并画出图像；（2） 两个月后的发行量是多少？解：(1).由题设知发行量每月按4000份的增速增加.因此发行量y与时间的函数关系为:y=44000+4000t , (2).当t=2时，得:y=52000(份),即两个月后发行量为52000份.4. 某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元，固定成本为7500元，可变成本为每台60元.(1).要卖多少台厂家可以收回成本.(2).如果卖掉100台，厂家赢利或者亏损了多少？(3).要获得1250元利润，需要卖多少台？解：总利润=总收益总成本（总成本=固定成本+可变成本）,所以L()=110-(7500+60)=50-7500.(1).要使厂家收回成本，利润不能为负数, ，所以出售150台就可以收回成本.(2). L(100)= 5000-7500= - 2500(元),即卖出100台，该厂亏损2500元.(3).令50-7500=1250，解得：=175(台).即出售175台能获利1250元.5. 有两家健身俱乐部，第一家每月会费300元，每次健身收费1元，第二家每月会费200元，每次健身收费2元，若只考虑经济因素，你会选择那一家俱乐部（根据健身次数决定）？解：若每月健身次数为，在第一家会费余额为（300-）元，在第二家会费余额为（200-2）元，即若每月健身次数小于100时，则在第二家余额大于第一家，所以当次数少于100时选第二家俱乐部.6. 设某商品的需求函数与供给函数分别是(1).找出均衡价格，并求出此时的供给量和需求量；D(p)S(p)pOS/D807010(2).在同一坐标系下画出供给与需求曲线；(3).何时供给曲线过p轴，这一点的经济意义是什么？（2）做出需求曲线和供给曲线如图.（3）当价格p=10时供给曲线过p轴经济学意义是：当价格低于10元时，供给商停止向市场供应商品.7. 某化肥厂生产某产品1000吨，每一吨定价130元，销售在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时，超过部分需要打9折出售，试将销售总收益和总销售量函数关系用数学表达式表出. 解：设销售量为，总收益为R,8. 某饭店有高级客房60套，目前租金每天每套200元，则基本客满，若提高租金，预计每套租金提高10元，均有一套客房空出来，试问租金定为多少时，饭店房租收入最大？收入多少元？这时饭店空出多少客房？解:设每间客房每天租金为元，总收入列表分析如下： 租金总收入=200R=60×200=200+10R=(60-1) ×(200+10)=200+20R= (60-2) ×(200+20)=200+30R= (60-3) ×(200+30)=200+10nR= (60-n) ×(200+10n)=-10n2+400n+12000所以总收入R= -10n2+400n+12000,这是一个二次函数，二次项系数a= -10<0，得n=20时R最大，即价格定为400元时，收益最大，最大值是R=16000元，这时空房20套.总复习题一1. 下列各对函数中哪些相同？哪些不同？ 解:第(1)、(2)组中两个函数是相同的；第(3)、(4)组中两个函数都是因为定义域不同，所以是不同的函数.2. 下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是非奇非偶函数？ 解：（1）和（2）是奇函数，（3）和（4）为非奇非偶函数.3. 下列函数中哪些是周期函数？写出周期函数的周期. 解：（3）不是周期函数，其它都是周期函数，并且周期都是.4. 指出下列函数的复合过程： 5. 求下列函数的定义域: 6. 解下列各题：7. 设是R上的奇函数，. 8.9. 10. . 11. 利用的图像做出下列函数的图像:(1) ; (2); (3) .解:(1)将图像上每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的即可得到的图像;(2) 将图像上每一个点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的2倍，即可得到的图像; (3) 将的图像沿轴翻折得到的图像，再将的图像向上平行移动1个单位，即可得到的图像.12. 收音机每台售价为90元，成本为60元，厂商为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购100台售价就降低1元，但最低为75元；（1） 将每台的实际售价p表示为订购量的函数.（2） 将厂方获得的利润L表示为订购量的函数.（3） 某一个商行订购1000台，厂方可获多少利润？（价格降到75元时订购量不能超过1600台）,.13. 一种汽车出厂价45000元，使用后它的价值按年降价率的标准贬值，试求此车的价值y（元）与使用时间t（年）的函数关系. 14. 某大楼有50间办公室要出租，若定价每间每月租金120元则可全部租出，租出的办公室每月需要由房主负担维修费10元，若每月租金每提高5元，将空出一间办公室，试求房主所获得利润与闲置办公室间数的函数关系，并确定每间每月租金多少时才能得到最大利润？这时利润是多少？解：租出的办公室间数和每间月租金列表如下：租出的办公室间数每间月租金5012050-1120+550-2120+2×550-3120+3×550-120+×515. 每印一本杂志的成本为1.22元，每售出一本杂志仅能得1.20元收入，但是销售额超过15000本时还能取得超过部分收入的作为广告费收入，试问应至少销售多少本杂志才能保本？销售量达到多少时才能获得利润1000元？解：设销售量为，显然要想保本必须>15000,所以利润函数是:y=(1.20-1.22)×15000+(-15000)×10=0.1-1800,令y=0得：=18000,即至少销售18000本才可以保本.令y=1000得0.1-1800=1000所以=28000,即销售28000本才可以获利1000元.四 考研真题精选:1. （90，01）设函数 （ B ）A. 偶函数 B. 无界函数 C. 周期函数D. 单调函数解：本题主要考察函数的四个基本性质.即单调性、奇偶性、周期性、有界性.由于2. （92,02）的定义域是 3. （2000，数一）设函数.4. （04年）函数 A . A. (-1,0) B. (0,1) C. (1,2)D. (2,3) 第二章 极限与连续一 内容提要：1. 数列的极限：数列极限的定义：收敛数列与发散数列、收敛数列的性质（极限的唯一性、收敛数列的有界性、收敛数列的保号性、收敛数列与其子数列的关系），数列极限的四则运算法则、夹逼定理、数列收敛定理（单调有界数列一定收敛）.2. 函数的极限：（1） 自变量趋于有限值时函数的极限： l .l .l 极限存在的充要条件：.（2） 自变量趋于无穷大时函数的极限： l .l .（3） 函数极限的性质： 函数极限的唯一性定理；函数极限的局部有界性定理；函数极限的局部保号性定理；函数极限的夹逼定理.3. 无穷大和无穷小:（1） 无穷小的定义:此定义可简写为：.l 有极限的变量和无穷小的关系：时的无穷小量.l 无穷小具有的性质：有限个无穷小的和还是无穷小；无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小，常量与无穷小的积是无穷小；有限个无穷小的积是无穷小.（2） 无穷大的定义: l 无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷小量，则为无穷大量.4. 极限运算法则：l .l （复合函数求极限法则）：则有：.5. 极限存在准则： （1）.极限存在准则：l l . l 准则2：单调有界数列一定有极限. (2).两个重要极限： (3).连续复利问题： 设一笔贷款(称为本金)，年利率为r，则k年后本息和为（n为每年计息期数）如果每年计息期数也即是每时每刻都计算复利（称为连续复利），则k年后本息和为： .6. 无穷小的比较：设、为在同一自变量变化过程中的无穷小，0,llllll 常用的几个等价无穷小： 7. 函数的连续性：（1）.函数在一点处连续的定义： l 根据定义，在处连续必须满足下面三个条件：在处有定义，即有确定的函数值；在处的极限存在，即；.l 左连续、右连续的定义：如果满足:，那么称在处左连续（右连续）.l 在区间a，b上连续的定义：如果在(a，b)内每一点都连续，且在=a处右连续，在=b处左连续，那么称在a，b上连续. 函数的间断点：的不连续点称为函数的间断点，在处有以下三种情况之一，为的间断点： l 间断点的分类： 第一类间断点：为间断点，但是在处左、右极限都存在且相等的，这样的间断点称为第一类间断点.第一类间断点又分为可去间断点和不可去间断点. 可去间断点里面有在处无定义，但是存在，这种间断点可以通过补充定义使其连续；另一种间断点是在处有定义，也存在但是，这种间断点可以通过改变函数值使其连续. 不可去间断点是指左、右极限存在且不相等的情形，这种间断点又叫跳跃间断点.第二类间断点：震荡间断、无穷间断点都是属于第二类间断点. （2）.初等函数的连续性：l 函数的和、差、积、商的连续：设、在处连续，则.l 反函数的连续性：如果在处连续，则其反函数在处也连续.l 复合函数的连续性：设函数.l 基本初等函数、初等函数的连续性： 基本初等函数在其定义域内是连续的；初等函数在其定义区间内是连续的，这时我们强调：初等函数连续性不能说成在定义域内连续，只能说是在定义区间内处连续.举例说明如下： 8. 闭区间上连续函数的性质：l 最大值和最小值定理：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值；l 有界性定理：闭区间上的连续函数一定有界；l 零点存在定理：设在a，b上连续，且则在(a，b)内至少存在一点，使得.l 介值定理：设在a，b上连续，,无论C是取在A、B间的一个怎样的值，在(a，b)内至少存在一个点，使得.介值定理的推论：设在a，b上连续，M为在a，b上的最大值，m为在a，b上的最小值，无论C是取在M、m间的一个怎样的值，在(a，b)内至少存在一个点，使得.二 典型例题解析：例1 求下列数列的极限：例2 求下列函数的极限： 例3 设a>0，b>0,且例4 .解：求，需要先求的表达式，再根据函数的连续性例5 . ,例6 证明: 三 本章习题全解习题211. 观察下列数列变化趋势.判断那些数列有极限，如果有极限，写出它们的极限:2. 才能使与极限之差的绝对值小于0.0001？ 3. 分别取怎样的N,才能使n>N时成立？并利用极限定义证明此数列极限为1.4. 用极限定义考查下列结论是否正确，为什么？ 5. 利用极限性质判别下列结论是否正确，为什么？ 6. 利用数列的证明下列极限: 7. 8. . 习题221. 用极限的定义证明： ;2. 利用极限定义证明: 3.提示：因为2,所以不妨设1<<2.4. .5. 证明yO.6.（1） 函数在=0处的左右极限是否存在？（2） 函数在=0处的极限是否存在？为什么？（3） 函数在=1处的极限是否存在？为什么？.7. .8. .习题231. 根据定义证明：.,为的无穷小.2. 3. 利用有界量乘以无穷小量依然是无穷小量求下列极限： .4. 结合下图说明， 习题241. 填空题：；. 2. 求下列极限： 3. 求下列极限： 4. 求下列极限： 5. . 习题251. 求下列极限： 2. 求下列极限 3. 利用极限存在准则证明： ； 4. 某公司计划发行公司债券，规定以年利率6.5的连续复利计算利息，10年后每份债券一次偿还本息1000元，问发行时每份债券的价格应定为多少？，习题261. 当0时，下列各个函数都是无穷小，试确定哪些是的高阶无穷小？同阶无穷小？等价无穷小？ 2. 证明当时有： 3. 利用等价无穷小的性质求下列极限: 4. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: 习题271. 研究下列函数的连续性，并画出函数的图像：解：函数在而函数在处不连续，在处连续；函数图形在处连续 . 2. 确定常数a，b使下列函数连续： 3. 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类型，如果为可去间断点，则补充或者改变函数的定义使函数连续.4. . 5. 求下列函数的极限： 6. 讨论函数的连续性，若有间断点判断其类型. 习题281. 试证下列方程在指定区间内至少有一个实数根:2. 设在区间a，b上连续，且，证明在(a，b)内必存在一点，使,其中m，n为自然数.3. 设函数在区间0，2a上连续,且,证明在0,a上至少存在一点,使. 4. 一个登山运动员从早晨7:00开始攀登某座山峰，在下午7:00到达山顶，第二天早晨再从山顶沿着原路下山，下午7:00到达山脚，试利用介值定理说明，这个运动员必在这两天的某个相同时刻经过登山路线的同一地点.解:设每一天运动员从早上出发经小时时所走距离为，则是连续函数.根据介值定理推论. 第一天上山，第二天下山：，两式相加，从运动员上山到运动员下山在下午13:00时经过同一地点，这一点就是到水平面距离为最高处一半的点处.总复习题1. 在“充分”，“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填在下列空白内：(1)数列有界是数列收敛的 必要 条件，数列收敛是数列有界的 充分 条件.(2)在处的某一去心邻域内有界是存在的 必要 条件，存在是在的某一邻域内有界的 充分 条件.(3) 在处的某一去心邻域内无界是的 必要 条件，是在的某一去心邻域内无界的 充分 条件.(4) 时的右极限以及左极限都存在且相等是存在的 充分必要 条件.2. 求下列极限： 3. 确定下列各式中a,b的值: 4. p、q取得何值为无穷小量？p、q取得何值为无穷大量？ 5. 当时，下列无穷小与相比是什么阶无穷小？ 6. 利用夹逼定理证明：.7. 利用单调有界必有极限准则证明下列数列的极限存在，并求极限： 8. 求下列函数的间断点并确定所属类型，如果是可去间断点则补充定义使其连续. 9.10. 讨论下列函数的连续性，若存在间断点判断其类型：11.12. 证明：若和都在a，b上连续，且,则存在点 .13. 一片森林现有木材a,若以年增长率1.2均匀增长.问t年时，这片森林木材有多少？ 14. 国家向某企业投资2万元，这家企业将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于抵押品80的贷款，该企业将这笔贷款再次进行投资，并且又将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于新抵押品价格的80的贷款，该企业又将新贷款再投资，这样贷款投资再贷款再投资，如此反复扩大投资. 问其实际效果相当于国家投资多少万元所产生的直接效果？解：(1) 国家投资=20000元.(2) 第一次贷款=20000×0.8=16000元.(3) 第二次贷款=20000×0.8(4) 第三次贷款=20000×0.8 (5) 第n次贷款=20000×0.8n次共有资金如此无限扩大下去，利用资金总额即实际相当于国家投资10万元四 考研真题精选（一） 求极限问题：1 （90.数四，3分）求极限. 2 （91.数四，5分）求极限 3 （92.数四，5分）.4 （94.数四，5分）.5 （2000.数四，3分）若a>0,b>0均为常数，则.6 （2003.数四，4分）. 7 （2003.数四，8分）.8 （2005.数四，8分）.9 （2005.数四，8分）.10 （2008.数四，10分）.结论：通过以上10个题目，我们可以看出考研题目中求极限的问题，经常利用罗比达法则和等价无穷小的关系，特别是等价无穷小的几个等价式子要熟记.在利用等价无穷小的关系式时，乘积和商的形式才可以用，和与差的式子不能使用.（二） 有关函数的连续性以及间断点问题：1. （1987.数四，2分）下列函数在其定义域内连续的是 （ A ） 2. （98.数四，3分） 3. (04.数四，4分) 4. （2008.数四,4分）. 第三章 导数、微分、边际与弹性一 内容提要：1. 导数概念：1）. 函数在一点处的导数的定义：存在则称此极限为在处的导数，记为；即： .2）. 单侧导数：函数在处可导的充要条件是：在处的左、右导数存在且相等.3）. 函数在区间（a,b）内可导的定义：如果在区间（a,b）内每一点处都可导，称在区间（a,b）内可导.如果在区间（a,b）内每一点处都可导，且在处右可导，在处左可导，就称在区间a,b上可导.4）. 函数的可导性与连续性之间的关系：如果函数在处可导，则在处一定连续，其逆命题不真.所以函数连续是可导的必要不充分条件.2. 求导法则与基本初等函数的求导公式：1）. 求导法则：可导函数的和、差、积、商仍为可导函数.：l .l .l .l 反函数求导法则：如果单调可导，且，则他的反函数在对应区间内可导，并有:.也就是说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.l 复合函数的求导法则：若函数可导，函数在处可导，则复合函数在处可导且，简写为： .简言之，复合函数的导数等于外函数的导数与内函数的导数的积，这个法则也叫做链式法则.2）. 基本初等函数的求导公式：这里不在一一写出基本初等函数的导数公式，但是要求熟练掌握并灵活应用.3）. 导数的几何意义：函数在在几何上表示曲线在点处的切线的斜率.3. 高阶导数：一阶导数：;二阶导数：如果叫n阶导数：如果的(n-1)阶导数仍然可导，则(n-1)阶导数的导数叫4. 隐函数以及由参数方程所确定的函数的导数：i. 隐函数的导数：在多元函数的微分中要介绍，这里不再复习.ii. 由参数方程确定的函数的一阶导数和二阶导数：.5. 函数的微分： (1).函数，其中A是不依赖于的常数，的高阶无穷小，称(2).可导与可微之间的关系：函数在处可微的充要条件是在处可导.(3).函数在处微分的几何意义：表示曲线在处当自变量取得改变量时图像上的点的纵坐标的改变量，而函数的微分在几何上表示曲线在处的切线上点的纵坐标的改变量.(4).基本初等函数的微分公式以及微分法则：(5).复合函数的微分法：设，则:.6. 边际与弹性：1）. 边际：l 边际函数的定义：设在处可导，则称为的边际函数，在处的值叫边际函数值，即当时，改变一个单位，改变个单位. 有了边际函数的定义，在经济学中常见的边际函数就好理解了.l 边际成本：C=C(Q)为成本函数，叫边际成本函数，当时叫做边际成本值，即当Q在处改变一个单位时，总成本改变了个单位.边际平均成本.l 边际收益：设函数为总收益函数，,由于R(Q)=PQ,叫总收益函数在处的边际收益值，即当Q在处改变一个单位时，总收益改变了个单位.l 边际利润：叫边际利润函数，即,叫总利润函数在处的边际利润值，即当Q在处改变一个单位时，总利润改变了个单位.l 边际需求：叫边际需求函数，即.即当P在处改变一个单位时，需求量改变个单位.2）. 弹性：l 弹性函数的定义：设函数在处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比，称为函数从两点间的平均相对变化率，或称为两点间的弹性，当时，的极限为处的相对变化率，也就是相对导数或称弹性，记为或，即.对一般的，如果可导，且, 则有:是的函数，称为的弹性函数(简称弹性)表示在处,当产生1的改变时,近似的改变(应用中略去近似二字)