基于偏微分方程的图像分割.doc

清 华 大 学文 献 翻 译二级学院 数学与统计学院 班 级 09级信息一班 学生姓名 学 号 10901010101 基于偏微分方程的图像分割 摘要：在许多应用领域中，图像分割是最重要的过程。图像分割的目的是为了检测图像中的对象。基于统计理论的方法可以很好的应用在图像上，这种方法无噪音或者是噪音小。但是，分割的步骤是难以实现的，结果的准确性也往往依赖于一些人为的因素。很多物理现象可以描述为偏微分方程（PDE），而且相关程序很容易展示出来。随着偏微分方程的应用，它很方便的完成了分割和展示的过程。关键字：图像分割 偏微分方程 水平集方法一简介图像分割是图像分析，模式识别和计算机视觉领域的一项重要活动，有很多实现方法（Caselles等人，1997; Chan和Vese，2001年；Renka，2009年；Sleigh，1986）。分割是用于检测对象和分析图像的一种重要技术，。分割方法分为几类，如直方图分析，区域增长，边缘检测和以偏微分方程（PDE）为基础的方法，等等。一种图像可以使用直方图分析法（Russ，2003年）进行分割，这种分割方法是基于其强度和一些预定义的阈值分布的。此方法不利用空间结构信息，而且对于简单与少量结构的图像，它是很有效的。基于边缘的分割方法（Jahne，2002年）第一次搜索完图像物体的边缘后，就利用边缘信息为图像中主要的对象重建完整的边界。它基于的事实是：边界的位置是由一个极端的一阶导数或二阶导数中的一零点给出的。它的主要缺点是真正的边界往往被图像中的噪声所分开从而导致错误。区域增长法（Gonzalez 和Woods，2002年）是最流行的分割方法之一。它分割图像的方法是把图像分割成更小的区域，并运用k-均值，K-近邻或其他一些聚类方法把它们合并成更大的区域。合并或分组的标准可以基于如均匀度，接近度，颜色，灰度级或纹理。基于PDE（Morel和Solimini，1995年）的图像分割方法是最方便，最有效的。它的主要优点是：它理论背后的理念和解决方案的技术在其他领域，如物理，力学，已经非常成熟。Snake方法（Kass等人，1987），梯度矢量流（Xu 和Prince，1998年）和水平集方法（Osher和Fedkiw，2003年），是很典型的方法。然而最近，无需重新初始化（Li等人，2005年）的水平集模型，索伯列夫梯度的方法（Renka，2009年），P-Laplace算子模型（Zhou 和Mu，2010年）是备受提倡的。水平集方法是由Osher和Sethian（1988年）首先提出来的。在用于计算和分析所述运动两个或三个维度中的接口时，它不但简单，而且适应性强。移动接口和正面被传统的水平集方法中的零水平集所描述。水平集方法多年来已被成功应用于广泛的领域，包括流体力学，燃烧，实体建模，电脑动画，材料科学与图像处理（Han等人，2003）的问题。这些接口可以很容易地开发尖角，掰开来，然后以一个强大和稳定的方式融合在一起。 二 基本数学公式很多函数和偏微分方程都被应用于图像分割。 图1：（a-h）平均曲率运动和拓扑结构的变化一个基本的图像分割模型是Mumford和Shah（1989年）提出来的，相关公示如下： （1）其中，和v是预先定义的。两相分割Chan和Vese（2001）所提出的演化方程可以表示为： （2）其中，c1，c2和是预先定义的。如下图所示，一个P-Laplace方程（Zhou 和 Mu, 2010年）应用于图像分割。 （3）其中p>1和是固定的。 除了上面提到的这些，也有很多其它的PDE方法已被用于相关应用。 在传统的水平集方法中，曲线或曲面（活动轮廓模型）是隐含的表示出来的，如同称为水平集函数的高维连续函数中的零水平集。函数的解可以由哈密尔顿 - 雅可比方程（天穆，2009）求得： （4） 其中，被称为函数F的速度函数。在图像分割中，函数F取决于图像数据I和水平集函数。公知的平均曲率运动在图1（a-h）第一行展示出来。另一个描述了拓扑变化的例子在第二行中。 最近，一种关于无需重新初始化水平集方法新的变分公式是由Li（2005年）等人提出的。 事实上，标准的重新初始化方法的目的是要解决重新初始化方程。 其中，是函数所要重新初始化的，sign()是符号函数。这是一个公式4简单版本。三基于偏微分方程的水平集演化为了得到水平集方程，传统上使用变分水平集方法。在这个想法，基于偏微分方程的图像分割可以实现。图2（a-d）作为第一个例子显示了图像分割的水平集演化，该图像像素是134x161，初始水平集函数的零轮廓显示在第一个数字。它包围该对象。典型零轮廓和最终零轮廓如图3(a-d)。至于第二数值例子，水平集的解和我们要分割的两个单独的对象如图3(a-d)。该图像是84x84像素的，它已经严重污染。 图2：（a-d） 不同初始轮廓提取的对象图3：（a-d）提取的两个污染严重的对象 在左边的图显示了初步的轮廓。由于水平集演化，该算法允许拓扑结构的自动变化。这个例子表明，以PDE为基础的方法可以处理污染和复杂的初始轮廓的图像。四结论 这项研究叙述图像分割和偏微分方程。许多偏微分方程可以应用于图像分割，并且已提出了非常多的以PDE为基础的方法或模型。这些都是方便和有效的图像分割方法。五致谢 这项研究是由中国国家自然科学基金（编号：10926055）支持的。作者想感谢匿名人提出的宝贵意见。参考文献1Caselles, V., R. Kimmel and G. Sapiro, 1997. Geodesic active contours. Int. J. Comput. Vision, 22: 61-79.2Chan, T. and L. Vese, 2001. Active contours without edges. IEEE Trans. Imag. Proc., 10: 266-277.3Gonzalez, R.C. and R.E. Woods, 2002. Digital Image Processing. Pearson Education Inc., Upper Saddle River, NJ., USA.4Han, X., C. Xu and J.L. Prince, 2003. A topology preserving level set method for geometric deformable models. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell., 25: 755-768.5Jahne, B., 2002. Digital Image Processing. Springer, Heidelberg.6Kass, M., A. Witkin and D. Terzopoulos, 1987. Snakes active contour models. Int. J. Comp. Vision 1: 321-331.7Li, C., C. Xu, Y, C. Gui and M.D. Fox, 2005. Level set evolution without re-initialization: A new variational formulation. Proceedings of the International Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, June 20-26, 2005, Washington, DC., USA., pp: 430-436.8Morel, J.M. and S. Solimini, 1995. Variational methods in image segmentation. Prog. Nonlinear Differential Equations Appl., 14: 245-245.9Mumford, D. and J. Shah, 1989. Optimal approximation by piecewise smooth functions and associated variational problems. Commun. Pure Applied Math., 42: 577-685.10Osher, S. and J.A. Sethian, 1988. Fronts propagating with curvature dependent speed: Algorithms based on hamilton-jacobi formulation. J. Comput. Phys., 79: 12-49.11Osher, S. and R. Fedkiw, 2003. Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. Springer, New York.12Renka, R.J., 2009. Image segmentation with a Sobolev gradient method. Nonlinear Anal. TMA., 71: 774-780.13Russ, J.C., 2003. The Image Processing Handbook. CRC Press, USA.14Sleigh, A.C., 1986. The extraction of boundaries using local measures driven by rules. Pattern Recognition Lett., 4: 247-258.15Tian, Y. and C.L. Mu, 2009. Extiction of viscous Hamiltion-Jacobi equations. J. Sichuan Univ., 46: 15-20.16Xu, C. and J.L. Prince, 1998. Snakes shapes and gradient vector flow. IEEE Trans. Image Process., 7: 359-369.| 17Zhou, B. and C.L. Mu, 2010. Level set evolution for boundary extraction based on a p-Laplace equation. Applied Math. Modelling, 10.1016/j.apm.2010.04.003关于计算智能与设计的2011年第四次国际研讨会基于偏微分方程的彩色图像分割春元 栗良信息技术部 信息技术部中国，深圳 中国，深圳yuanc shangliliang摘要图像分割在图像处理中是一项重要任务。很多的图像分割方法或模型已经被提出。但大多数这些方法都不能很好地处理彩色图像，彩色图像实际上包含更多对象里面有用的信息。在本文中，一个关于彩色图像分割模型被提出来。新的模型是基于GAC细分模型基础上的，而且把梯度的概念从一个通道延伸到三个通道。实验表明，新的模型与GAC模型相比具有更好的性能，尤其是在彩色图像分割方面。关键词：图像分割，图像处理; PDE; GAC;一简介图像分割在图像处理中是最重要的任务之一。图像分割的目的是把对象从图像的背景中分离出来，然后做进一步的处理，如目标识别，目标跟踪等等。在传统的图像处理方面已经提出来了很多的分割方法1234，根据使用的信息，这些方法可以主要分为分为三类：根据地区/阈值的分割方法，一种基于边缘的分割方法和基于纹理的分割方法。而在近几十年来，偏微分方程的理论（ PDEs）的已经很好的发展起来并被引入到图像处理方面。至今，许多基于偏微分方程新的图像分割方法的已经提出了。然而，上面提到的大部分分割方法只专注于灰度图像的处理，在彩色图像处理方面效果不好。由于彩色图像比灰度图像包含更多的对象信息，直接对彩色图像进行分割可以得到更精确结果。本文提出了基于偏微分方程彩色图像分割模型。二相关工作 最近几年，基于偏微分方程的图像分割一直发展的很好。 1987年，M. Kass，A. Witkin和D. Terzopoulos提出了主动轮廓模型和Snake模型，这是第一个基于偏微分方程的图像分割模型5。该模型的主要思想是把分离对象的问题转化为最小化封闭曲线的能量函数问题： 函数的第一两部分是曲线的内能量，用于缩短和平滑曲线。最后一部分是图像的能量，被用来保持曲线上对象的边缘。但Snake模型的问题在于能量函数不仅取决于曲线的位置和形状，也取决于曲线的参数。能量函数值根据不同类型的参数任意变化。 为了克服Snake模型的不足，V. Caselles, R.Kimmel 和 G. Sapiro提出了不包含任何自由参数的测地线活动轮廓模型6。GAC模型也是曲线的能量函数的，它由曲线的内部能量和图像的外部能量组成。由于我们新的彩色图像分割模型主要是基于GAC模型的，稍后我们将讨论更多关于的GAC模型的行为和其他细节。Cohen L. 和 Kimmel R.提出了一种交互式的分割模型，即使背景有许多噪声，也可以很精确7。 T. Chan和Vese提出了基于偏微分方程的分割模型，它对不包含强边缘的图像都可以很好的适用8。 在曲线演化过程中，可能有拓扑结构发生变化。为了处理这种状况，S. Osher和J.A. Sethian提出了水平集分割方法9。 水平集的基本思想是将曲线嵌入成二维函数，然而实际上它是一个三维模型。由于曲线对应于嵌入函数的零水平集，嵌入函数的演化实际上代表了曲线的演化。图1.水平集三几何活动轮廓模型在几何活动轮廓模型问题中，寻找对象最佳轮廓的问题被转换成使以下能量函数最小化的问题： （3.1）其中，L（C）是曲线C的弧长，LR(C)是加权弧长。而相应的梯度下降流为： （3.2）其中，g是任何单调递减的非负函数，是曲线的曲率。 在式3.2中，第一部分的作用就像一个MCM等式，这意味着曲线在曲率为正的区域收缩和在曲率为负的区域扩大，其结果是，曲线总的弧长将变得更短。但这种转变是由标量函数g（C）控制。因此，在平面区域图像中，梯度小和相应的g（C）大，根据MCM方程，曲线会完全改变和迅速通过平面区域。然而，当曲线在对象边缘的附近时，梯度变得更大，所以g（C）较小，这部分对曲线的转变不会有什么影响。当g（C）接近为零时，这意味着在曲线C正处于对象的边缘，这部分将完全没有用了，曲线将停留在对象边缘。这部分是曲线的内部能量。 式3.2的第二部分表现的更加复杂。在平面区域，因为g不会改变，。而这部分对曲线转变没有影响。当曲线在边缘附近时，g快速变化。由于g是边缘的最低量，始终代表g增大的方向，指向偏离边缘的方向。结果，如果曲线在对象以外，将指向对象外。同时，法向量N指向曲线内，所以为负，指向法向量N所指向的曲线内。因此，曲线将缩小和接近边缘。与此相反，当曲线在对象内时，也会指向对象内。所以，是正的， 指向法向量N相反的方向。因此曲线将延伸，也更接近对象的边缘。这是图像的外部能量。 所以，当根据GAC模型进行计算时，它实际上要受到两种类型的能量控制。一个来源于变形的曲线- MCM，它被称为内部能量。另一种是g的梯度，它控制边缘上的曲线。这就是外部能量。 图2. GAC模型的分割 四彩色图像分割模型 由于彩色图像包含更多对象的有用信息，直接基于彩色图像的分割可以达到更好的效果。处理彩色图像的传统方式是把彩色图像的成分分割成几个单通道图像，然后对其进行独立处理。然而，在图像分割中，这种方法效果不好，因为不同的分割结果可以从不同的单通道图像实现，然后发生碰撞。因此，最好的办法是开发一个分割模型，能把彩色图像作为均匀图像处理。 正如在上一节中，GAC模型主要是基于图像中对象的边缘上。边缘实际上是所表示的图像中灰度级梯度。因此，要把 GAC模型延伸到彩色图像分割模型，最重要的任务是要找出一个合适的表示彩色图像的梯度。 假设彩色图像的梯度是，通过更换为，GAC模型可以很容易地扩展到彩色图象分割模型： （4.1）而对应的梯度下降流： （4.2）因此，现在的问题是构建彩色图像的梯度，一个自然的做法是计算不同通道所有梯度的加权和： （4.3） （4.4）其中，是图像的第个通道。权和可以是固定的，即1/m，或者自定义。例如，权值可能在下面的形式： （4.5）这意味着梯度较大的通道，将更有助于彩色图像的总梯度。一旦梯度和相应的已知了，梯度下降流4.2式可以被用来描述曲线的演化。而当传统的GAC模型效果不好时，这种彩色图像分割模型或者说Color-GAC模型就可以很好地用于彩色图像。 图3.GAC和Color-GAC的实验五结论作为图像处理一个重要组成部分，图像分割得到了越来越多的关注。很多分割方法和模型已被提出，如基于边缘的传统分割方法和GAC分割模型。但是，大多数这些方法或模型仅仅能很好的处理灰度图像。由于彩色图像在内部对象中有更多的信息，基于彩色图像的分割可以实现更精确的结果。因此，在本文中，我们提出了一个彩色图像的分割模型。这种新的彩色图像分割模型实际上是延伸的GAC分割模型，被称为Color-GAC模型。从实验中我们可以看到当传统的GAC模型失效时，Color-GAC模型可以很好地应用于彩色图像。Color-GAC模型的关键组成部分是彩色图像梯度的表示。因此，它很容易通过修改梯度的表示来进行提高和延伸。 参考文献1 Wei YingMa, B. S. Manjunath. Edge flow: a technique for boundary detection and image segmentation. IEEE, IP, 2000, 9(8): 13751388.2 K. R. Castlemen. Digital Image Processing. Prentice Hall, 1996.3 J. K. Hawkins. Texture Properties for Pattern Recogintion, in Picture Processing and Psychopiclorics. New York: Academic Press, 1980,347370.4 M. Clark, A. C. Bobik, W. S. Geisler. Multi-channel texture analysis using localized spatial filter. IEEE, PAMI, 1990, 12(1): 5573.5 M. Kass, A. Witkin, D. Terzopoulos. Snakes: Active contour models.International journal of computer vision, 1988, 1(4):321331.6 V. Caselles, J. M.Morel, G. Spqiro. Geodesic active contours. Int. J.Comput. Vision, 1997, 22:6179.7 L. Cohen, R. Kimmel. Global minimum for active contour models: aminimal path approach. Int. J. Comput. Vis., 1997.8 T. F. Chan, L. Vese. Active contours without edges. CAM Report 98-53.UCLA. 1998.9 S. Osher, J. Sethian. Fronts propagating with curvature-dependent speed:algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations. Journal of computational physics, 1988, 79(1):1249.备注：英文原文参见网址（百度文库）译 文 评 阅导师评语（应根据学校“译文要求”，对学生外文翻译的准确性、翻译数量以及译文的文字表述情况等作具体的评价） 指导教师： 年 月 日