常微分方程教学大纲.doc

常微分方程教学大纲第一部分 大纲说明一、课程的作用与任务“常微分方程”课程是中央广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课。常微分方程是一门与微积分一起成长起来的学科，是自然学科中表述各种基本规律的根本工具之一，已经成为数学联系实际问题的重要手段之一。近些年来，常微分方程的研究与应用已经深入到自然科学和社会科学的众多领域，并且成功地揭示了许多自然和社会现象的内在规律。本课程的任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力。学习本课程，学生应具备微积分和高等代数的基础知识。通过本课程的学习，还能为其它后继课，如微分几何、数学物理方程和泛函分析初步等课程的学习做好必要的准备。二、课程的目的与要求1.学习常微分方程基本理论时，学生要注意了解学科的理论特征，理解其思维方式，掌握基本的推理方法。2.常微分方程的求解方法主要包含在初等积分法，线性方程与线性方程组的代数解法中，这是学习常微分方程的基本功，要求学生熟练掌握。3.线性系统理论是常微分方程理论中不多见的比较完整的理论，其内容与线性代数的有关知识有密切关系，通过这部分内容的学习，使学生在高等代数有关理论的框架下，对常微分方程线性系统理论有更深层次的理解，有助于学生对数学理论的统一性加深理解。4.定性理论是常微分方程近代理论中重要的研究方向，本课程简略介绍问题的背景、解决问题的方法和重要结果，以此引发学生进一步深入学习常微分方程的兴趣。5.由于常微分方程是一门与实际问题联系紧密的学科，在教学中，尽量多安排一些在物理、化学、生态学及几何学中常见的与之有关的实际问题，培养学生把实际问题转化成为数学问题的能力。三、课程的教学要求层次教学要求中，有关定义、定理、性质、特征等概念的内容按“知道、了解和理解”三层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。 第二部分 学时、教学安排、教材与教学环节一、学时和学分1本课程共54学时，学时分配为：章号内容课内学时电视学时IP学时备注1初等积分法1457 2基本定理934 3线性微分方程组935 4线性微分方程1457 5定性理论简介824 合 计541827 2.学分本课程共3学分。二、教学安排常微分方程课程安排在第3学期，一个学期完成全部教学任务。三、教材1根据远程开放教育的要求和电大学生入学时水平参差不齐的实际情况，文字教材由主教材和辅导教材两部分组成。主教材和辅助教材是学生学习的主要用书，主教材是课程的基本内容，是教和学的主要依据。辅导教材对主教材的内容进行归纳、总结，帮助学生进一步理解基本概念，掌握基本方法，并通过典型例题介绍解题规律和技巧，提高学生解题能力。文字教材是学生获得知识和提高能力的重要媒体之一，教材的内容要具科学性，叙述和论证要直观和清楚，突出重点，讲透实质内容，以便适合成人业余学习为主的特点，便于学生自学。2. 电视录像教材是学生获得本课程知识的主要媒体之一。本课程的电视课以重点内容系统讲授和非重点内容精讲相结合的方式进行。精讲是讲要点、讲方法，或解答疑难问题。在电大多年录像教材的基础上，进行多种媒体的一体化设计，适当地多引入一些现代化教学手段，如计算机虚拟教室环境、动画、字幕、实镜等,强化教学效果。3IP课程是基于网络的新型教学媒体之一。本课程要积极探索基于网络环境的远程开放教育的教学模式、学习模式，充分利用IP课程的卫星、网络传播的优势，充分发挥IP课程的教学内容可选和交换性，为学生自主学习本课程提供更方便的教学资源。四、教学环节1本课程配有电视课和IP课程，是重要教学形式2自学自学是电大学生获得知识的重要方式，自学能力的培养也是远程开放高等教育的目的之一，本课程的教学要注意对学生自学能力的培养。学生可以通过自学，收看电视、IP课程、直播课堂和网上教学辅导等方式进行学习，各教学点可以采用灵活多样的助学方式，帮助学生学习。3面授助学面授助学要服从于教学大纲、文字教材、音像教材或IP课程，采用讲解、讨论、答疑等方式，通过解题思路分析，基本方法训练，培养学生基本运算的能力和分析、解决问题的能力。4作业独立完成作业是学生学好本课程的一项重要的、必不可少的工作。作业内容以教材中的习题为主，通过这些习题的练习，逐步加深对课程中各种概念的理解，熟悉各种基本解题方法，达到基本掌握本课程主要内容的目的。5考试考试题目要全面，符合大纲要求，同时要做到体现重点，题量适度，难度适中，题量和难度的梯度应按照教学的三个不同层次安排。不出难题，怪题。 第三部分 教学内容和教学要求一、初等积分法 (14学时)(一)教学内容微分方程与解：常微分方程与解的概念。变量可分离方程：变量分离方程解法。齐次方程：齐次方程解法。一阶线性方程：常数变易法，贝努利方程解法。全微分方程及积分因子：全微分方程解法。一阶隐式微分方程：隐式方程的参数解法。一阶微分方程应用举例：列方程的一般方法。几种可降阶的高阶方程：高阶方程降阶法。重点：五种基本初等积分法变量分离方程解法，常数变易法，全微分方程解法，参数法，降阶法。难点：判断方程类型采用正确解法求解。 (二)教学基本要求1.了解常微分方程与解的概念，掌握方程类型的判别。2.熟练掌握初等积分法中的变量分离方程解法、常数变易法和全微分方程解法（含积分因子的解法），掌握参数法和降阶法。3.会把实际问题抽象为常微分方程的方法。二、基本定理 (9学时)(一)教学内容解的存在与唯一性定理：存在唯一性定理。解的延展：解延展的概念及定理，饱和解的性状，比较定理。奇解与包络：奇解定义，奇解的包络线求法。解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖性定义和定理。重点：解的存在与唯一性定理，解的延展定理。难点：解的存在与唯一性定理的证明。(二)教学基本要求1.理解解的存在与唯一性定理的证明，理解解的延展定理的证明。2.了解解对初值的连续依赖性定理及其证明。3.了解奇解定义，掌握奇解的包络线求法。4.掌握利用解的存在与唯一性定理、解的延展定理证明有关方程解的某些性质的基本方法。三、线性微分方程组 (9学时)(一)教学内容一阶微分方程组：一阶微分方程组有关定义，解的存在唯一性定理。线性微分方程组的一般概念：线性微分方程组的解的存在唯一性定理的特性。线性齐次方程组的一般理论：线性齐次微分方程组解的性质，解空间的结构，刘维尔公式。线性非齐次方程组的一般理论：线性非齐次微分方程组通解结构，常数变易法。常系数线性微分方程组的解法：常系数线性微分方程组的待定指数函数解法。重点：线性微分方程组解的结构，常系数线性微分方程组的解法。难点：常系数线性微分方程组的重特征根情况。(二)教学基本要求1.了解线性微分方程组的有关概念，解的存在唯一性定理及证明。2.理解线性微分方程组解的结构，通解基本定理，掌握常数变易法和刘维尔公式。3.熟练掌握常系数线性微分方程组的解法（单特征根情形）。 四、线性微分方程 (14学时)(一)教学内容n阶线性微分方程的一般理论：n阶线性微分方程解的存在唯一性定理，通解基本定理，刘维尔公式。n阶常系数线性齐次方程解法：待定指数函数解法，单特征根和重特征根情形。n阶常系数线性非齐方程解法：常数变易法，待定系数法。二阶常系数线性方程与振动现象：二阶常系数线性方程在振动方程中的应用。幂级数解法简介：幂级数解定理及其应用。重点：n阶线性微分方程解的存在唯一性定理，通解基本定理，n阶常系数线性方程的解法。难点：线性非齐次微分方程解的特解的求法。(二)教学基本要求1.了解n阶线性微分方程解的存在唯一性定理，理解n阶线性微分方程解的结构，通解基本定理，常数变易法和刘维尔公式。2.熟练掌握n阶常系数线性方程的待定指数函数解法，待定系数法。3.许多实际问题可以归结为二阶线性微分方程，学会其分析问题的步骤及解题方法。4.知道幂级数解定理及其应用。 五、定性理论简介（8学时）(一)教学内容基本概念：相空间和相轨线。李雅普诺夫第二方法：稳定性、渐近稳定性定义和定理。平面自治系统的定性方法：奇点，极限环，环域定理及其应用。重点：平面自治系统的奇点分析。难点：稳定性有关定理的证明。(二)教学基本要求1.理解稳定性有关定义及定理的证明，掌握奇点的分类方法。2.了解环域定理，知道平面定性理论的研究目的。3.知道简单的李雅普诺夫函数的构造方法。