复积分在实积分中的应用.doc

复积分在实积分计算中的应用摘 要在数学分析以及实际问题中，需要计算一些定积分或反常积分的值，而这些积分中被积函数的原函数，往往不能用初等函数表示出来；有时即使可以求出原函数，也比较复杂。而利用复积分的计算方法，我们不用求出原函数而可以得到某些定积分或反常积分的值，使得问题大大简化。但利用复积分来计算定积分或反常积分没有通用的方法，本文就一些具体类型的实变定积分的求解方法作一些探讨。关键词 复积分；实积分；柯西积分公式；柯西留数定理Application of Complex Integral in the Calculation of Real IntegralAbstract In the mathematical analysis and practical problems, we need to obtain the values of some definite integrals or abnomal integrals. However, the original functions of integrand in these integrals usually can not be signified in elementary function. Sometimes even if the original function can be obtained, the calculation is often very complicated. Using the method of complex integral, we do not need to obtain the original function, and can get the value of the definite integral or the abnomal integral, what makes the problem greatly simplified. But using the method of complex integrations calculation, we do not have the generally applicable method in calculating the real integral. In this article we concretely discuss the solvers of some real integrals.Keywords Complex integral; real integral; Cauchy integral theorem；Cauchy residue theorem目 录第1章 绪论1第2章 预备知识22.1 柯西积分定理与柯西积分公式22.2 孤立奇点22.3 留数及柯西留数定理3第3章 复积分在实积分中的应用53.1 计算形如型积分53.2 计算形如型积分（其中-1<r,s<1,且r+s=1,0或-1）83.3 计算形如的积分93.4 计算形如型积分103.5计算形如型积分103.6 计算形如型积分123.7 计算形如型积分123.8 计算积分路径上有奇点的积分133.9 计算菲涅尔（Fresnel）积分与143.10 计算多值函数的积分15结 论17致 谢18参 考 文 献19附录X 译文20附录Y 外文原文24第1章 绪论众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有着许多的相似之处.但是，复变函数又有与实变函数不同之点.复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况.在很长时间里，人们对这类数不能理解.但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来.复数的一般形式是：，其中是虚数单位.以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一.从柯西(Cauchy)算起，复变函数论已有170多年的历史了. 它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分.它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程.而且在数学领域的许多分支也都应用了复变函数的理论.它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响.柯西积分定理、柯西积分公式及柯西留数定理构成了复积分中的三大定理. 1825年, 柯西在其关于积分限为虚数的定积分的报告中,基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题, 并给出了关于留数的定义. 应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便. 计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁.综观复分析理论的早期发展, 留数这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义. 同时, 它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段, 通过函数的选取,积分路线的选取等等, 求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况, 为积分理论的发展奠定了基础.第2章 预备知识2.1 柯西积分定理与柯西积分公式柯西积分定理是解析函数中最重要的基础定理,解析函数的很多重要性质,都是由这个定理派生出来的.下面给出几个定理：定理11（柯西积分定理） 设函数在平面上的单连通区域上解析，为内任一条周线，则.柯西积分公式是解析函数的积分表达式，是研究解析函数的重要工具由柯西积分公式，我们可以从解析函数的边界上的值推出它在内部的一切值，它反映出解析函数的特性,是解析函数论中最基本的公式.定理21（柯西积分公式） 设区域的边界是周线（或复周线），函数在内解析，在上连续，则有 .上式称为柯西积分，且有 2.2 孤立奇点定义1：若函数在点不解析，但在点的某一去心邻域内处处解析.则称为的孤立奇点.孤立奇点可分为三种：可去奇点、m阶奇点与本性奇点，下面我们将对孤立奇点的这三种类型进行介绍：设为的孤立奇点,在点的洛朗展式为.(1) 若有恒成立，则称为的可去奇点.(2) 若有,但对于有恒成立，则称为的m阶极点.(3) 若，有,则称为的本性奇点.定义2 若存在R>0,函数在无穷远点的邻域内解析,则称无穷远点为的孤立奇点.孤立奇点在无穷远点处也可分为三种：设在无穷远点的邻域内的洛朗展式为.那么规定(1) 若有恒成立，则称为的可去奇点.(2) 若有,但对于有恒成立，则称为的m阶极点.(3) 若有,则称为的本性奇点.2.3 留数及柯西留数定理定义1 设是解析函数的孤立奇点，我们把在处的洛朗展开式中一次幂项的系数称为在处的留数.记作，即=.显然，留数就是积分的值，其中C为解析函数的的去心邻域内绕的闭曲线.关于留数，我们有如下定理.定理31 设函数在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么.一般来说，求函数在其孤立奇点处的留数只须求出它在以为中心的圆环域内的洛朗级数中项系数就可以了.但如果能先知道奇点的类.型，对求留数更为有利.例如，如果是的可去奇点，那么. 如果是本质奇点，那就往往只能用把在展开成洛朗级数的方法来求. 若是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数.第3章 复积分在实积分中的应用在实际运用中，例如研究阻尼振动时计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分.在热学中将遇到积分 (a>0，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂.如果能利用复积分来计算它们，那就简单了.其中最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来或使原函数变形为我们所能求解的类型.把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：将定积分的积分区间a,b看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路；或者另外补上一段曲线，使和合成回路,包围着区域B，得出左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了，下面具体介绍几个类型积分可以用复积分来进行简化计算.3.1 计算形如型积分在计算形如型的积分在计算时要注意，这里表示有关的有理函数，并且在上连续，把握此类积分要注意两点：第一：积分上下限之差为，这样当定积分时从变到，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周.第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量.当满足这两个特点之后，我们可设，则，得 由于，所以，且当由变到时，恰好在圆周上转动一周.故使积分路径也变成了我们所期望的围线.于是，计算积分型积分的方法找到了，只需令即可.例1 计算的值解 令，则 例2 计算积分解：令得： 接着先求函数的奇点及其留数. 令其分母为零得：这就是的两个单极点.单极点的模为：所以极点在单位圆内.而单极点的模为所以在单位圆外，在极点处. 所以 此积分在力学和量子力学中甚为重要，由它可以求出开普勒积分之值.例 3 计算积分解 为偶函数，故.令 则 在内部，仅有为一级极点，故，比较实部得，故 .3.2 计算形如型积分（其中-1<r,s<1,且r+s=1,0或-1）定理51 设在围线C所围成的区域D内，除外解析，不在上，设-1<r,s<1,s不为0，且r+s是整数，如果，则这里例4 计算解 这里而 所以 3.3 计算形如的积分若b=0，则 若b不为0，由于是偶函数，所以只考虑b>0的情况. 选择,，依次拼接而成的积分闭曲线C，由柯西积分定理得：令，从而取得极限：例5 计算 解 3.4 计算形如型积分 设为有理分式，其中 为互质多项式，且符合要求：(1) 比的次数至少高两次.（2）在实轴上那么.其中表示在上半平面内的所有孤立奇点出的留数总和.例6 计算解 取孤立点为，其中落在上半平面的为，故.3.5计算形如型积分 设为有理函数，如果，为互质多项式，且满足下列条件；（1）比的次数至少高一次（2）在实轴上（3）m>0则其中表示在上半平面内的所有孤立奇点出的留数总和.注 由欧拉公式及即可以推得以下实积分的计算公式：例7 计算（）解 被积函数为偶函数，所以，设，它共有四个一阶极点，即（），并且（），因为，所以在上半面只有两个一阶极点及，于是 ，故 3.6 计算形如型积分设为有理实函数，如果，互质，且满足下列条件；（1）比的次数至少高两次（2）在上恒不为零则.其中为上的主值支，为解析分支在内的孤立奇点，即在内的零点.例8 计算积分解 3.7 计算形如型积分设为有理函数，如果，互质，且满足下列条件；（1）在上恒不为零，且，（2），互质则 .其中为上满足的解析分支，为在内的孤立奇点，即在内的零点.例9 计算实积分，其中.解 由上述方法得知：，由于函数在内仅有一个一阶极点，且，所以 所以 3.8 计算积分路径上有奇点的积分当被积函数在积分曲线（如在实轴上）有奇点时， （奇点在a、b之间）属于广义积分.如果在实轴上有奇点.那我们在计算时要先绕过奇点.例如在实轴上有一个奇点 (为实数)，要计算，在作辅助线时，应绕过奇点，具体办法是在上半平面，作一个以为心，半径为的半圆周，积分沿进行，然后令取极限(如图所示)令，上式左端用留数定理计算，再令 若满足条件，主要的就是求积分.如果实轴上有n个奇点，那么分别以各奇点为心，为半径作上半平面的半圆，经过奇点即可，所以，我们在计算积分路径上有奇点的积分的一般方法为作辅助积分路径，绕开奇点，再计算.例10 计算狄利克雷积分（Dirichlet）积分： 解 由于被积函数是偶函数，所以. 设，从而. 因为点是的一阶极点.所以3.9 计算菲涅尔（Fresnel）积分与 在一般的高等数学教材中对于Fresnel积分的计算少有涉及，而在实际问题中，例如在研究光的衍射时就会遇到Fresnel积分. 因其被积函数的原函数不是初等函数，不能用一般方法计算其积分值，但我们仍然能够通过其它途径来求其值.作辅助函数，它是一个整函数.取值范围，圆弧以及线段组成的积分曲线C.由柯西积分定理可知，即当时，.而 因此 在计算菲涅尔（Fresnel）积分这一类没有标准模式的实函数时，一般的方法是设辅助函数使当时，（是原实积分中的被积函数）、或者.辅助路径添加的原则是：使添加的路径上的积分能够通过一定的办法估计出来，或者转化为原来的定积分，但在具体选取时，形状是各种各样的，有半圆周周线、长方形周线、扇形周线、三角形周线等，但要注意的是，周线上的奇点还是要绕过去的.3.10 计算多值函数的积分当被积函数或者选取的辅助函数是多值解析函数的时候，我们要分出单值解析分支，这时要适当的切开平面，然后才能应用柯西积分定理或留数定理来求出给定的积分的值.例12 利用欧拉积分计算：.解 做辅助函数，这一函数为多值函数，其支点为0及，它在从0沿着正实轴方向到点割破的z平面上可以分出单值分支.选取由支割线上岸，经过圆弧，然后沿着支割线下岸的反方向，在经过圆弧的反方向回到A的积分路径C，在C围成的区域内只有一个一阶极点,由留数定理得：即 （1） 沿AB上：（2）沿，从而（3）沿上：，（4）沿，可知：.在上式中而取得极限. 所以结 论我们在运用复积分计算实积分时，一般可以采用的方法有两种：对所求积分进行变换或构造闭合曲线.在构造闭合曲线时我们要选取一个除了孤立奇点外都解析的被积函数，然后计算被积函数在孤立奇点上的留数，最后计算闭合曲线上的积分值.在对积分进行变换和选取辅助线的时候需注意选取使积分是否简单易求，这样可使计算大为简化.致 谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了.尤其要感谢我的论文指导老师孙桂荣老师，她对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的改进. 另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助. 在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！感谢这篇论文所涉及到的各位学者. 本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作.此外，我还要感谢我的同学，在我写论文的过程中给予我了很多素材，还在论文的撰写过程中提供热情的帮助. 由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！参 考 文 献1 钟玉泉，复变函数论（第三版）（M）,高等教育出版社，北京，20042 方企勤, 复变函数的应用(M), 北京大学出版社, 19963 James Ward Brown,Ruel V.Churchill, 复变函数及其应用（M），机械工业出版社，20044 刘惠娟, 剖析解析函数惟一性（J），玉林师范学院学报，2000/035 吴桂荣, 解析函数惟一性定理的一个应用（J），高等数学研究，2004/046 Henri Cartan，解析函数论初步（M），高等教育出版社，20087 闻国椿、殷慰萍，复变函数的应用（M）,首都师范大学出版社，1999.8 周双、焦丹，解析函数惟一性定理在Q-级数中的应用（J），宜春学院学报，2009/08.9 储亚伟、汪代明、朱茱，解析函数惟一性定理的两点应用（J），阜阳师范学院学报（自然科学版），2005/12.10 范宜传，彭清泉，复变函数习题集（M），北京人民教育出版社1980/07.11 路见可，钟寿国，复变函数（M），武汉大学出版社2001/09.12 M.A.拉夫连季耶夫等，复变函数论方法（第六版）2006/01.附录X 译文幅角原理与儒歇定理若函数在区域D内除了极点外是解析的，则称函数在区域D内是亚纯的.假设在区域D内亚纯，D的边界是一个正向的简单闭围道C，在C上解析没有零点，曲线C在映射下的像也是平面的闭围道，但不一定是简单围道.当点z沿着围道C的正方向移动时，它的像以定方向沿移动，这就决定了的方向，主要到，由于在围道C上没有零点，因此围道在w平面不经过原点.假设和都是围道上的点，其中是不动点，是的幅角，然后使的幅角主值以角为起点连续变化.由于点是从点开始的，并且通过映射按照指定的方向环绕围道一周，当点回到起点时，这时的幅角是幅角中的某一个值，我们用表示.因此，当点在围道上沿着一定方向环绕一周时，它的幅角的变化是.显然，该值的变化大小是由我们选择的决定的，由于，因此当从开始，沿着C的正方向绕一周时，的值事实就是的幅角改变值.我们记的值显然是的整数倍，且整数表示点w在w平面上环绕原点的次数，因此，这个整数有时称为源于原点的环绕数，当围绕原点以逆时针方向旋转时，这个整数为正，反之，为负.当围道内不包含原点时，这个数为零.环绕数由围道C内的零点数和极点数决定，极点数必定是有限的，类似的可以理解在C内并不恒等于零，的零点数目有限而且都是有限阶.现在假设在C内有Z个零点和P个极点，若为的重根，我们认为在有个根，同样若为的阶极点，这个极点讲被计算次，下面的定理，幅角原理，说明环绕数Z-P之差.定理 假设(i) 函数在一个正向简单闭围道C所围成的区域内亚纯.(ii) 在C上解析且没有零点.(iii) 按重数计算，Z和P分别为在C内的零点数和极点数.则(1) 为了证明该结论，沿围道C，用两种不同的方法计算的积分，首先，令 是C的参数表示，因此 (2) 由于在映射下，C的像不穿过w平面上的零点，因此C上的任何点可以表示为指数形式，若，则（3） 而且，沿围道的每一光滑弧线，则有（4） 由于和在区间上是分段连续的，现在用（3）和（4）式写积分（2）如下但是 and 因此(5) 另外一种计算积分（5）的方法是利用柯西留数定理，具体来说，在C内和C上除了零点和极点外是解析且不为零，因此(6) 其中在解析且不为零，因此或者(7) 由于在处解析，因此，在可作泰勒级数展开，由（7）式可知为的简单极点.留数为，另一方面，若在有重极点，我们可知(8) 其中在解析且不为零.若把（6）式的正整数换为则（8）和（6）相同，由此从（7）显然可知的简单极点为,留数为.利用留数定理，则可得(9) 利用（5）和（9）就可得到表达式（1）.本节的主要结果是儒歇定理，它在复平面上的一个局部区域非常有用，这个局部区域上给定一个有零点的解析函数.定理 假设(i) 函数和在简单围道C上和它的内部均是解析的.(ii) 在围道C上每点均有成立，则按重数计算，函数和 在围道C内有相同的零点.定理中围道C的方向显然是不重要的.因此，不妨设为正方向，注意到，和在C上都没有零点，因此当z在围道C上时，有 和 若用和分别表示和在C内按重数计算的零点数. 和 相应地，由于显然有(10) 其中但是这意味着，在映射下，C的像落在开圆盘内，这个像不包含，因此，由（10）可知，定理得证.附录Y 外文原文ARGUMENT PRINCIPLE AND ROUCHES THEOREMA function is said to be meromorphic in a domain D if it is analytic throughout D except for poles. Suppose now that is meromorphic in the domain interior to a positively oriented simple closed contour C and that it is analytic and nonzero on C. The imageof under the transformation is a closed contour, not necessarily simple, in the plane. As a point z traverses C in the positive direction, its images w traverses in a particular direction that determines the orientation of . Note that , since has no zeros on C, the contour does not pass through the origin in the w plane.Let andbe points on ,where is fixed and is a value of arg.Then let arg vary continuously, staring with the value ,as the point begins at the point and traverses once in the direction of orientation assigned to it by the mapping.When returns to the point ,where it started, arg assumes aparticulai value of arg ,which we denote by .Thus the change in arg as describes once in its direction of orientation is .This change is, of course, independent of the point chosen to independent it. Since , the number is, in fact, the change in argument of as z describes C once in the positive direction, starting with a point ,and we write.The value of is evidently an integral multiple of , and the integerRepresent the number of times the point winds around the origin in the plane. For that reason, this integer is sometimes called the winding number of with respect to the origin .It is positive if winds around the origin in the counterclockwise direction and negative if it winds clockwise around that point. The winding number is always zero when does not enclose the origin. The verification of fact for a special case is left to the exercises.The winding number can be determined form the number of zeros and poles of interior to C. The number of poles is necessarily finite, according to Exercise 11,Sec.69.Likewise,with the understanding that is not identically equal to zero everywhere else inside C, it is easily shown(Exercise 4,Sec.80)that the zeros and P poles in the domain interior to C. We agree that has zeros at a point if it has a zero of order there, and if has a pole of order at , that pole is to be counted times. The following theorem, which is known as the pole is to be counted times. Following theorem, which is known as the argument principle, starts that the winding number is simply the difference .Theorem. Suppose that (i) a function is meromorphic in the domain interior to a positively oriented simply closed contour C.(ii) is analytic and nonzero on C.(iii) counting multiplicities, Z is the number of zeros and P is number of poles of inside C.Then(1) To prove this, we evaluate the intergral of around C in two different ways. First, we let be a paramentric representation for C, so that (2) Since, under the transformation , the image of C never passes through the origin in the w plane, the image of any point on C can be expressed in exponential form as .Thus(3) And, along each of the smooth arch making up the contour ,it follow that(4) Inasmuch as and are precewise continuous on the interval ,we can now use expressions (3) and (4) to write integral (2) as followsBut and Hence(5) Another way to evaluate integral (5) is to use Cauchys residue thermo. To be specific, we observe that the integrand is analytic inside and on C except at the points inside C at which the zeros and poles of has a zero of order at , then(6) Where is analytic and nonzero at .HenceOr(7) Since is analytic at , it has a Taylor series representation about that point, and so equation (7) tells us that has a simple pole at , with residue . If, on the other hand, has a pole of order at , we know from the theorem that(8) Where is analytic and nonzero at . Because expression (8) has the same form as expression (6), which the positive integer in equation (6) replaced by , it is clear from equation (7) that has a simple pole at , with residue . Applying the residue theorm, then , we find that (9) Expression (1) now follows equating the right-hand sides of equations (5) and (9).The main result in this section is known as Rouches theorem and is a consequence of the argument principle. It can be useful in locating regions of the complex plane in which a given analytic function has zeros.Theorem. Suppose that(iii) two function and are analytic inside and on a simple closed contour C.(iv) at each point on C.Then and have the same number of zeros, counting multiplicities, inside C.The orientation of C in the statement of the theorem is evidently immaterial. Thus, in the proof here, we may assume that the orientation is positive. We begin with the observation that neither the function nor the sun has a zero on C, since and When is on C.If and denote the number of zeros, counting multiplicities, of and , respectively, inside C. and Consequently, sinceIt is clear that(10) WhereBut And this means that, under the transformation , the image of C lies in the open disk . That image does not, then, enclose the origin . Hence, since equation (1) reduces to , the theorem here is proved.